2023年高二数学必修5全套教案(人教版)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高二数学必修5全套教案(人教版)1．1．1正弦定理

●教学目标学问与技能：通过对随意三角形边长和角度关系的探究，把握正弦定理的内容及其证实办法；

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与办法：让同学从已有的几何学问动身,共同探索在随意三角形中，边与其对角的关系，

引导同学通过观看，推导，比较，由特别到普通归纳出正弦定理，并举行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养同学在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养同学合

情推理探究数学逻辑的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点

正弦定理的探究和证实及其基本应用。●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。●教学过程一.课题导入

如图1．1-1，固定?ABC的边CB及∠B，使边AC围着顶点C转动。思量：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

明显，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课

[探究讨论]

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,按照锐角三角函数中正弦函数的定义，

有

sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==,

则sinsinsinabccABC

===从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabc

ABC

==

思量1：那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由同学研究、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如图1．1-3，（1）当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，按照随意角三角函数的定义，

有CD=sinsinaBbA=,则sinsina

b

A

B

=

，C

同理可得sinsinc

b

CB=

，ba从而

sinsina

b

A

B

=

sinc

C

=

AcB

（2）当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由同学课后自己推导）思量2：还有其办法吗？

因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来讨论这问题。

CAB

BC

A

（证法二）：过点A作单位向量jAC⊥，由向量的加法可得ABACCB=+

则()jABjACCB?=?+

∴jABjACjCB?=?+?

()()00cos900cos90-=+-jABAjCBC

∴sinsin=cAaC，即

sinsin=

ac

AC

同理，过点C作⊥jBC，可得sinsin=bcBC从而sinsinabAB=sinc

C

=

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinsina

b

A

B

=

sinc

C

=

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，

即存在正数k使sinakA=，sinbkB=，sinckC=；（2）

sinsina

b

A

B

=

sinc

C

=

等价于

sinsina

b

A

B

=

，

sinsinc

b

C

B

=

，

sina

A

=

sinc

C

思量：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbA

a=

；②已知三角形的随意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

sinsinaABb

=。

普通地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]

例1．在?ABC中，已知032.0=A，081.8=B，42.9=acm，解三角形。

解：按照三角形内角和定理，

0180()=-+CAB000180(32.081.8)=-+066.2=；按照正弦定理，0

0sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0=

=≈aBbcmA；按照正弦定理，0

sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0=

=≈aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在?ABC中，已知下列条件解三角形。

（1）45=A，30=C，cmc10=，（2）60=A，

45=B，cmc20=

例2．在?ABC中，已知20=acm，28=bcm，040=A，解三角形（角度精确到01，边长精

确到1cm）。

解：按照正弦定理，

sin28sin40sin0.8999.20

==≈bABa由于00＜B＜0180，所以064≈B，或

116.≈B

⑴

当

64≈B时，

00

00180()180(4064

=-+≈-+=CAB

，0sin20sin7630().sin40==≈aCccm

⑵

当

116≈B时，0

1

80()

180(401

=-+≈-+=CAB

，00

sin20sin2413().sinsin40==≈aCccmA

应注重已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习

第4页练习第2题。思量题：在?ABC中，

sinsina

b

A

B=

(>o)sinc

kkC=

=，这个k与?ABC有什么关系？

三.课时小结（由同学归纳总结）（1）定理的表示形式：

sinsina

b

AB=

sinc

C=

=

()0sinsinsinabc

kkABC++=>++；

或sinakA=，sinbkB=，sinckC=(0)k>（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四.课后作业：P10面1、2题。

1.2解三角形应用举例第一课时

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和办法解决一些有关测量距离的实际问题，了

解常用的测量相关术语

2、激发同学学习数学的爱好,并体味数学的应用价值；同时培养同学运用图形、数学

符号表达题意和应用转化思想解决数知识题的能力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点：按照题意建立数学模型，画出暗示图

三、教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请同学回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们碰到这么一个问题，“遥不行及的月亮离我们地球毕竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇特的办法探究到这个神秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供挑选的测量计划，比如可以应用全等三角形、相像三角形的办法，或借助解直角三角形等等不同的办法，但因为在实际测量问题的真切背景下，某些办法会不能实施。如由于没有足够的空间，不能用全等三角形的办法来测量，所以，有些办法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的办法所不能解决的。今日我们开头学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先讨论如何测量距离。

3、新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程普通要充分仔细理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=?

51，∠ACB=?

75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

提问1：?ABC中，按照已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请同学回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离的问题，题目条件告知了边AB的对角，AC为已知边，再按照三角形的内角和定理很简单按照两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：按照正弦定理，得

ACBAB∠sin=ABC

AC∠sinAB=ABC

ACBAC∠∠sinsin=ABC

ACB∠∠sinsin55=

)7551180sin(75sin55?-?-??=?

?54sin75sin55≈65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观看站C的距离都等于akm,灯塔A在观看站C的北偏东30?，灯塔B在观看站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？教师指导同学画图，建立数学模型。解略：2akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不行到达），设计一种测量A、B两点间距离的办法。

分析：这是例1的变式题，讨论的是两个不行到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。按照正弦定理中已知三角形的随意两个内角与一边既可求出另两边的办法，分离求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分离测得∠BCA=α，

∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得

AC=)](180sin[)sin(δγβδγ++-?+a=)sin()sin(δγβδγ+++a

BC=

)](180sin[sinγβαγ++-?a=)

sin(sinγβαγ++a计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=αcos222BCACBCAC?-+

分组研究：还没有其它的办法呢？师生一起对不同办法举行对照、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60?，∠ACD=30?，∠CDB=45?，

∠BDA=60?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

评注：可见，在讨论三角形时，灵便按照两个定理可以寻觅到多种解决问题的计划，但有些

过程较繁复，如何找到最优的办法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

4、同学阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、课堂练习：课本第14页练习第1、2题

6、归纳总结

解斜三角形应用题的普通步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出暗示图

（2）建模：按照已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建

立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、课后作业

1、课本第22页第1、

2、3题

2、思量题：某人在M汽车站的北偏西20?的方向上的A处，观看到点C处有一辆汽车沿公

路向M站行驶。马路的走向是M站的北偏东40?。开头时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才干到达M汽车站？

解：由题设，画出暗示图，设汽车前进20千米后到达B处。在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

cosC=BCACABBCAC?-+2222=31

23,

则sin2C=1-cos2C=

2

31432,sinC=313

12,

所以sin∠MAC=sin（120?-C）=sin120?cosC-cos120?sinC=62

3

35在?MAC中，由正弦定理得MC=

AMCMACAC∠∠sinsin=2

331?

623

35=35从而有MB=MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才干到达M汽车站。

作业：《习案》作业三

1.2解三角形应用举例其次课时

一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和办法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题

2、巩固深入解三角形实际问题的普通办法，养成良好的讨论、探究习惯。

3、进一步培养同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点

重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能观看较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程Ⅰ.课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不行到达的建造物高度呢？又怎样在水平飞翔的

飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]

例1、AB是底部B不行到达的一个建造物，A为建造物的最高点，设计一种测量建造物高

度AB的办法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在?ACE中，如能求出C点到建造物顶部A的距离CA，再测出由C点观看A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：挑选一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分离是α、β，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在?ACD中，按照正弦定理可得

AC=

)sin(sinβαβ-aAB=AE+h=ACαsin+h=)

sin(sinsinβαβα-a+h例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5404'?，在塔底C处测得A处的俯角β=501'?。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)

师:按照已知条件,大家能设计出解题计划吗？

若在?ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再按照∠BAD=α求得。解:在?ABC中,∠BCA=90?+β,∠ABC=90?-α,

∠BAC=α-β,∠BAD=α.按照正弦定理,

)sin(βα-BC=)

90sin(β+?

AB

所以AB=)

sin()90sin(βαβ-+?BC=)sin(cosβαβ

-BC在Rt?ABD中,得BD

=ABsin∠BAD=

)

sin(sincosβαα

β-BC

将测量数据代入上式,得BD=)

1500454sin(0454sin150cos3.27'-'''????=934sin0454sin150cos3.27''

'???≈177(m)

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

思量：有没有别的解法呢？若在?ACD中求CD，可先求出AC。思量如何求出AC？

例3、如图,一辆汽车在一条水平的马路上向正东行驶,到A处时测得马路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山的高度CD.

思量1：欲求出CD，大家思量在哪个三角形中讨论比较适合呢？（在?BCD中）

思量2：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,按照条件,易计算出哪条边的长？（BC边）

解:在?ABC中,∠A=15?,∠C=25?-15?=10?,按照正弦定理,

ABCsin=CA

Bsin,B

C=CAABsinsin≈7.4524(km)CD=BC?tan∠DBC≈BC?tan8?≈1047(m)

答:山的高度约为1047米

Ⅲ.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及按照题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中举行加工、抽取主要因素，举行适当的简化。Ⅴ.课后作业1、作业：《习案》作业五

1.2解三角形应用举例第三课时

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和办法解决一些有关计算角度的实际问题

2、通过综合训练强化同学的相应能力，让同学有效、乐观、主动地参加到探索问题的过程中来，逐步让同学自主发觉逻辑，举一反三。

3、培养同学提出问题、正确分析问题、自立解决问题的能力，并激发同学的探究精神。二、教学重点、难点

重点：能按照正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：灵便运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角

求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会碰到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今日我们接着探讨这方面的测量问题。Ⅱ.讲授新课[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A动身，沿北偏东75?的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B动身,沿北偏东32?的方向航行54.0nmile后达到海岛C.假如下次航行直接从A动身到达C,此船应当沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01nmile)

同学看图思量并叙述解题思路

分析：首先按照三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再按照正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB。

解：在?ABC中，∠ABC=180?-75?+32?=137?，按照余弦定理，AC=

ABCBCABBCAB∠??-+cos222=????-+137cos0.545.6720.545.6722

≈113.15

按照正弦定理,CABBC∠sin=ABCAC∠sinsin∠CAB=AC

ABCBC∠sin=15.113137sin0.54?

≈0.3255,

所以∠CAB=19.0?,75?-∠CAB=56.0?

答:此船应当沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15nmile

例2、在某点B处测得建造物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建造物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，

AC=BC=30，AD=DC=103，∠ADC=180?-4θ，∴θ

2sin310=

)

4180sin(30

θ-?

。由于sin4θ=2sin2θcos2θ∴

cos2θ=2

3

,得2θ=30?∴θ=15?

，∴在Rt?ADE中，

AE=ADsin60?=15

答：所求角θ为15?，建造物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h

在Rt?ACE中,(103+x)2+h2=302在Rt?ADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15∴在Rt?ACE中,tan2θ=

x

h+310=

3

3

∴2θ=30?,θ=15?

答：所求角θ为15?，建造物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建造物高为AE=8，由题意，得

∠BAC=θ，∠CAD=2θ，AC=BC=30m,AD=CD=103m

在Rt?ACE中，sin2θ=

30x

①在Rt?ADE中，sin4θ=3

104,②②÷①得cos2θ=

2

3

,2θ=30?,θ=15?，AE=ADsin60?=15

答：所求角θ为15?，建造物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发觉北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立刻以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？需要多少时光才追逐上该走私船？

师：你能按照题意画出方位图？老师启发同学做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时光这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,

∠ACB=?75+?45=?120

∴(14x)2=92+(10x)2-2?9?10xcos?120∴化简得32x2-30x-27=0，即x=23,或x=-16

9

(舍去)

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又由于sin∠BAC=ABBC?120sin=21

15

?

23=1435∴∠BAC=3831'?,或∠BAC=14174'?（钝角不合题意，舍去）

，∴3831'?+?45=8331'?

答：巡逻艇应当沿北偏东8331'?方向去追，经过1.4小时才追逐上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以按照正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习

课本第16页练习Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会碰到两种状况：

（1）已知量与未知量所有集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要挑选条件足够的三角形优先研

究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业

《习案》作业六

1.2解三角形应用举例第四课时

一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和办法进一步解决有关三角形的问题,把握三角形的面积公式的容易推导和应用

2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导同学证实，同时总结出该公式的特点，循序渐进地详细运用于相关的题型。另外本节课的证实题体现了前面所学学问的生动运用，老师要放手让同学试探，使同学在详细的论证中灵便掌握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要同学自行把握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

3、让同学进一步巩固所学的学问，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养同学讨论和发觉能力，让同学在探索中体验愉悦的胜利体验二、教学重点、难点

重点：推导三角形的面积公式并解决容易的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证容易的证实题三、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。在

?ABC中，边BC、CA、AB上的高分离记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表

示？

生：ha=bsinC=csinBhb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA

师：按照以前学过的三角形面积公式S=

21

ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=2

1

absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

生：同理可得，S=21bcsinA,S=2

1

acsinB

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、在?ABC中，按照下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150?;（2）已知B=60?,C=45?,b=4cm;（3）已知三边的长分离为a=3cm,b=4cm,c=6cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的学问，观看已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：略

例2、如图,在某市举行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量

得到这个三角形区域的三条边长分离为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？

思量：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设a=68m,b=88m,c=127m,按照余弦定理的推论，

cosB=cabac2222-+=68

127288681272

22??-+≈0.7532

sinB=≈-27532.010.6578应用S=2

1

acsinBS≈

2

1

?68?127?0.6578≈2840.38(m2)答：这个区域的面积是2840.38m2。

变式练习1：已知在?ABC中，∠B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面积S

提醒：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注意分状况研究解的个数。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

例3、在?ABC中，求证：

（1）

;sinsinsin222222C

B

Acba+=+（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证实问题，观看式子左右两边的特点，用正弦定理来证实

证实：（1）按照正弦定理，可设

A

asin=B

bsin=C

csin=k明显k≠0，所以

左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin+=+=C

B

A2

22sinsinsin+=右边（2）按照余弦定理的推论，

右边=2(bcbcacb2222-++cacabac22

22-++abab

cba2222-+)

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习2：推断满足sinC=

B

AB

Acoscossinsin++条件的三角形外形

提醒：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（解略）直角三角形

Ⅲ.课堂练习课本第18页练习第1、2、3题

Ⅳ.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的外形。特殊是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

Ⅴ.课后作业

《习案》作业七

2．1数列的概念与容易表示法（一）

一、教学要求：

理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；对于比较容易的数列，会按照其前几项的特征写出它的一个通项公式.

二、教学重点、教学难点：

重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

难点：按照一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课

“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。。。。。”，（一）、复习预备：1.在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即假如将初始量看成“1”，取其一半剩“1

2

”，再取一半还剩“

14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18

，、、、、、、2.生活中的三角形数、正方形数.阅读教材

提问：这些数有什么逻辑？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：

1.教学数列及其有关概念：

（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，···

（2）1，2，3，4……的倒数罗列成的

一列数：

（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……罗列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。。。。。（4）无穷多个1罗列成的一列数：1，1，1，1，。。。。。。有什么共同特点？1.都是一列数；2.都有一定的挨次

①数列的概念：根据一定挨次罗列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？

与“1，3，2，4，5”呢？数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区分？

集合考究：无序性、互异性、确定性，数列考究：有序性、可重复性、

确定性。

②数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在其次位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n位的数称为这个数列的第n项.③数列的普通形式可以写成123,,,

,,

naaaa，简记为{}na.

④数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，

(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.

⑤数列中的数与它的序号有怎样的关系？

序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。

即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次

取值对应的一列函数值。反过来，对于函数)(xfy=，假如

??，，，，4

131211

、２、３、４）

iif1)((=故意义，可以得到一个数列：\)3(\)2(\)1(fff假如数列}{na的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就

2例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分离是下列各数：（1）;4

1

,31,21,1--

（2）2，0，2，0．练习：按照下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9,11,……；(2)

32,154,356,638,99

10,；(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,－6,18,－54,162,例2.写出数列..(13)

5

,104,73,42,

1的一个通项公式，并推断它的增减性。思量：是不是全部的数列都存在通项公式？按照数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？例3．按照下面数列{}na的通项公式，写出前五项：

（1）1

+=

nn

an（2）nann?-=)1(例4．求数列}{

3922++-nn中的最大项。

例5．已知数列{}na的通项公式为2)3(log22-+=nan，求3log

2

是这个数列的第几项？

三.小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.四、巩固练习：

1.练习：P31面1、2、题、

2.作业：《习案》九。

2.1数列的概念与容易表示法（二）

教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会按照数列的递推公式

写出数列的前几项；理解数列的前n项和与na的关系.

教学重点：按照数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习：

1).以下四个数中,是数列{})1(+nn中的一项的是(A)

A.380

B.39

C.32

D.18

2).设数列为,11,22,5,2则24是该数列的(C)

A.第9项

B.第10项

C.第11项

D.第12项

3).数列5,4,3,2,1--的一个通项公式为nann1)1(+-=．

4）、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。

二、探索新知

（一）、观看以下数列，并写出其通项公式：

,11,9,7,5,3,1)1(12-=nan,8,6,4,2,0)2()1(2--=nan,81,27,9,3)3(nna3=

思考：除了用通项公式外，还有什么方法可以确定这些数列的每一项？

2,,25,2213,1)1(123121+=+==+=+===-nnaaaaaaa2,0)2(11-==-nnaaa113,3)3(-==nnaaa

（二）定义：已知数列}{na的第一项（或前几项），且任一项na与它的前一项1-na（或前

几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.

练习:运用递推公式确定一个数列的通项：

,11,8,5,2)1()2(3,211≥+==-naaann

,21,13,8,5,3,2,1,1)2(

)3(,1,12121≥+===--naaaaannn

例1:已知数列}{na的第一项是1,以后的各项由公式1

11-+=nnaa给出,写出这个数列的前

五项．解:5

8

,35,23,

2,1．

???=≥-=-1)(

2)(

,}{11nSnSSaSnannnnn则项之和为的前若记数列

练习:已知数列}{na的前n项和为:,1)2(;2)1(22++=-=nnSnnSnn求数列}{na的通项公式.

例2.已知4,211-==+nnaaa,求na.解法一:

)

1(42)4)(1(2:,,10,6,2,2:4321--=--+=-=-=-==nnaaaaan观看可得可以写出观看法

解法二:

)

1(42)1(4:4444,4:112322111--=∴--=--=--=--=--=-∴-=+nanaaaaaaaaaaaannnnnnnnnn相加得由题设累加法

例3:已知nnaaa2,211==+,求na.

解法一:解法二:迭乘法

n

naaaa2

:,,222,222,2323221==?==?==观看可得

三、课堂小结：1.递推公式的概念；

2.递推公式与数列的通项公式的区分是：

(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项(或n项)之间的关系.

(2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取,4,3,2,1即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n项），才可依次求出其他项.

3．用递推公式求通项公式的办法：观看法、累加法、迭乘法.四、作业

1.阅读教材P3033面

2.《习案》作业十

2．2等差数列(一)

n

nnnnnnnnnnnnn

nnaaaa

aaaaaaaaaaaa2222

,2,

21111

2322111

1

1=?=∴=????∴

==∴=+即由

一、教学目标

1．学问与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探究并把握等差数列的通项公式；能在详细的问题情境中，发觉数列的等差关系并能用有关学问解决相应的问题；

2.过程与办法:让同学对日常生活中实际问题分析，引导同学通过观看，推导，归纳抽象

出等差数列的概念；由同学建立等差数列模型用相关学问解决一些容易的问

题，举行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中

二、教学重、难点

重点：理解等差数列的概念及其性质，探究并把握等差数列的通项公式；

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想办法。

三、教学设想

[创设情景]

上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教导贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的学问来解决。今日我们先学习一类特别的数列。

[探究讨论]

由同学观看分析并得出答案：

（放投影片）1、在现实生活中，我们常常这样数数，从0开头，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……

2、2000年，在澳大利亚悉尼进行的奥运会上，女子举重被正式列为竞赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。假如一个水库的水位为18cm，自然放水天天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开头放水算起，到可以举行清理工作的那天，水库天天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。根据单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按

思量：学生们观看一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②

18，15.5，13，10.5，8，5.5③

10072，10144，10216，10288，10360④看这些数列有什么共同特点呢？引导同学观看相邻两项间的关系，

由同学归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念]

等差数列：普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

注重：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵对于数列{na},若na－1-na=d(d是与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差；(3)若d=0,则该数列为常数列．

提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？

（2）假如在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由同学回答：由于a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

A-a=b-A所以就有2

b

aA+=

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最容易的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前

一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，73645142,aaaaaaaa+=++=+

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则qpnmaaaa+=+

[等差数列的通项公式]

提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？

⑴、我们是通过讨论数列}{na的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由学生们按照通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由同学经过分析写出通项公式：①猜测得到这个数列的通项公式是nan5=

②猜测得到这个数列的通项公式是)1(548-+=nan③猜测得到这个数列的通项公式是)1(5.218--=nan④猜测得到这个数列的通项公式是)1(7210072-+=nan

⑵、那么，假如随意给了一个等差数列的首项1a和公差d，它的通项公式是什么呢？引导同学按照等差数列的定义举行归纳：,12daa=-

,23daa=-

,34daa=-

…

所以,12daa+=

,23daa+=,2)(123daddadaa+=++=+=,34daa+=,3)2(134daddadaa+=++=+=……

思量：那么通项公式到底如何表达呢？

得出通项公式：以1a为首项，d为公差的等差数列}{na的通项公式为：dnaan)1(1-+=也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a和公差d，那么这个等差数列的通项na就可以表示出来了。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）：}{na是等差数列，（迭代法）：}{na是等差数列，则有daann+=-1所以,1daann=--ddan++=-2

,21daann=dan22+=-

,32daann=ddan23++=-……dan33+=-,12daa=-……两边分离相加得,)1(1dnaan-=-dna)1(1-+=所以dnaan)1(1-+=所以dnaan)1(1-+=[例题分析]

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？假如是，是第几项？解：⑴由1a=8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-?-+=a

⑵由1a=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--==nnan由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

（n-1）个等式

例2：（1）在等差数列}{na中，已知31,10125==aa，求首项1a与公差d；

（2）已知数列}{na为等差数列4

3

,4573-==

aa，求15a的值.解：(1)解法一：∵105=a，3112=a，则

???=+=+31111041

1dada???

?=-=32

1da所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．解法二：∵3710317512=?+=?+=dddaa,

由3)15(101?-+=a得21-=a所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．

例3：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．

解：设{}na表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，

由已知条件，可知：1a=33,12a=110，n=12

∴daa)112(112-+=,即10=33+11d解得：7=d因此，,61,54,47740,407335432===+==+=aaaa

,103,96,89,82,75,6811109876======aaaaaa

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.解：设这三个数为a-d,a,a+d则??

?

=+++-=+++-116

)()(182

22daadadaada解得这三个数依次为4，6，8或8，6，4

[注]（1）设未知数时尽量削减未知数的个数.（2）结果应给出由大到小和由小到大两种状况.例5：已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.解：设这个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d则?

?

?=+-=++++-+-40))((28

33dadadadadada

解得:??

?==37da或???==7

3

da

∴这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.

例6．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。假如某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，迎候时光为0，需要支付多少车费？

解：按照题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增强1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列}{na来计算车费.

令1a=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元=?-+=a答：需要支付车费23.2元。

[随堂练习]课本39页“练习”第1、2题；[课堂小结]

①等差数列定义：即daann=--1(n≥2)②等差数列通项公式：=nadna)1(1-+(n≥1)推导出公式：dmnaamn)(-+=

四、作业《习案》作业十一。

2.2等差数列（二）

一、教学目标

1、把握＂推断数列是否为等差数列＂常用的办法；

2、进一步娴熟把握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步娴熟把握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵便应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．三、教学过程（一）、复习

1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：

dnaan)1(1-+=(=nadmnam)(-+或na=pn+q(p、q是常数))

3．有几种办法可以计算公差d:

①d=na－1-na②d=

11--naan③d=m

naam

n--

4.{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2022,则n=()A.667B.668C.669D.670

5.在3与27之间插入7个数,使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()A.18B.9C.12D.15二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq

特殊地,若m+n=2p,则am+an=2ap例1.在等差数列{an}中

(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6;(3)若a5=6,a8=15,求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15,∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m

(3)a8=a5+(8﹣3)d,即15=6+3d,∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33

.13030802)()(2)

(2)()(2,22,1277,11166)4(5211076151211107652115121112271116=-?=+++-+++=+++∴+++=++++++++=+=∴+=++=+aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa从而

2．推断数列是否为等差数列的常用办法：（1）定义法:证实an-an-1=d(常数)

例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.

解:当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣[3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.

（2）中项法:利用中项公式,若2b=a+c,则a,b,c成等差数列.（3）通项公式法:等差数列的通项公式是关于n的一次函数.

例3.已知数列}{na的通项公式为,qpnan+=其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定}{na是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--nnaa（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列}{na中的随意相邻两项1-nnaa与（n＞1），

求差得pqppnqpnqnpqpnaann=+--+=+--+=--](])1{[)(1它是一个与n无关的数.

所以}{na是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分离是多少？

这个数列的首项pdqpa=+=公差,1。由此我们可以知道对于通项公式是形如qpnan+=的数列，

一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.假如一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必然是等差数列。

[探索]

引导同学动手画图讨论完成以下探索：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=nan的数列的图象。这个图象有什么特点？⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发觉了什么？据此说一说等差数列

qpnan+=与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的na可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是匀称分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发觉数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列

qpnan+=的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对

应的点的集合。

该处还可以引导同学从等差数列qpnan+=中的p的几何意义去探索。三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.推断数列是否为等差数列常用的办法．四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第4、5题．作业：《习案》作业十二

2.3等差数列的前n项和（一）

一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其猎取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些容易的与前n项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵便应用等差数列前n项公式解决一些容易的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入：1．等差数列的定义：na－1-na=d，（n≥2，n∈N+

）2．等差数列的通项公式：

（1）dnaan)1(1-+=（2）=nadmnam)(-+（3）na=pn+q(p、q是常数)

3．几种计算公差d的办法：①nad=－1-na②1

1--=naadn③m

naadmn--=

4．等差中项：,,2

bab

aA?+=

成等差数列5．等差数列的性质：m+n=p+q?qpnmaaaa+=+(m,n,p,q∈N)

6．数列的前n项和：数列{}na中，naaaa++++321称为数列{}na的前n项和，记为

nS.

“小故事”1、2、3

高斯是宏大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次教师出了一道题目,教师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”

过了两分钟,正值大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起往返答说：“1+2+3+…+100=5050．”老师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“由于1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告知我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就擅长观看，敢于思量，所以他能从一些容易的事物中发觉和寻觅出某些逻辑性的东西．

（2）该故事还告知我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想办法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：2

)

(1nnaanS+=

证实：nnnaaaaaS+++++=-1321①1221aaaaaSnnnn+++++=--②

①+②：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS++++++++=--

∵=+=+=+--23121nnnaaaaaa∴)(21nnaanS+=由此得：2

)

(1nnaanS+=

．2．等差数列的前n项和公式2：2

)1(1d

nnnaSn-+

=．用上述公式要求nS必需具备三个条件：naan,,1．但dnaan)1(1-+=代入公式1即得：2

)1(1d

nnnaSn-+

=

此公式要求nS必需已知三个条件：dan,,1

总之：两个公式都表明要求nS必需已知nadan,,,1中三个．公式二又可化成式子：nd

andSn)2

(212-+=

，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．三、例题讲解

例1、(1)已知等差数列{an}中,a1=4,S8=172,求a8和d;

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：(1)392

)

4(817288=?+=

aa5)18(439=?-+=dd(2)设题中的等差数列为

{}

na，前n项为

n

S则

54,4)10()6(,101===-=nSda

由公式可得5442