《概率论与数理统计》知识点归纳总结

第一部分：事件与概率

（定义：基本事件、样本事件、复合事件、

Au8=>BuA

复合事件、S、①

性质<A^B=>AuB=B,AB=A

AuBAUAD8,ABUA

关系<A=B交换

A与5互斥(AB=①)结合

事件〈

分配n

AD8(至少)

运算律<A-

AnB(都)UA

/=1_

/=“l

运算A-B^AB对偶，U-

—[ALJB=SA

A=B<=><AA

An5=0li=lI=I

（公理化定义:非负、规范、

古典：P（A）='=.包含的基本事件数（排列、组合）

IJnS中基本事件的的总数

直接计算4

几何•P（A]='白勺'则度

儿仃.（）一S的测度

尸(5)=1,尸(①)=0

加法公式：P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)o

间接计算(特别地=①时P(4uB)=P(A)+P(B))

（关系）

Bu4时尸=P(A)-P(B)

减法公式：P(A-B)-P(A)-P(AB)=><

当A=0时，P(耳)=1-P(B)

概率

(乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

定义尸@A）=瑞

计算

根据题意分析

乘法公式

全概率公式:P(A)=£P(4)P(A|B,)

条件概率"P(吗)

贝叶斯公式:P(B/4)=~；~------」

之P(瓦)P(A|瓦)

i=\

独立性：P（AB）=P（A）P（8）=>性质

A,4，…，4独立,则丁鼠，…,£，&m+l），…4“独立

1

第二部分：随机变量与分布函数

分布律：P{X=x,}=Pi，i=1,2,...

P,N0

分布律性质节

离散型〈乙P,=l

IJ=1

三个常见分布X~W〃,p乂几何分布、超几何分布)

<.X~1㈤

分布函数：F（x）=P（X<x）

不减项<x2=>F（%]）<F（X）

般2

一维随性质,规范04万（x）41,F（+oo）=1,F（-oo）=1

机变量右连续F（x+0）=F（x）

(概率密度函数：F(x)=['f(u\lu

J-oo

Vxe7?,/（x）＞0

性质

f{x）dx=\

连续型J—00

X~u（a,b）

三个常见分布X~NLQ2）

X~e（/l）

随机变量函数的分布：已知/Kx),y=g(x),求/“y)

注：考研大纲中规定参数为;1>0的指数分布X其密度函数为

〜Ax"0，对应的分布函数为F(x)=(1一，A二xX>Q'

0,x<0.[0,x<0.

期望、方差为Mx)=:、。⑻/

2

‘分布律：p｛x=Xj,y=力｝==1,2,…

Pi.jN°

性质<+8+8

离散型〈7=1j=l

尸｛x=玉｝=ZPij

边际分布

尸卜=匕｝=£〃”

/=!

分布函数：F（x,=P（X<x,Y<y）

对每个变元单调不减；

一般<

性质F（x,-oo）=F（-oo,y）=F（-00,-00）=0,F（+oo,+oo）=1；

对每个变元右连续；

VX1</，必<为，/（尤2，，2）一厂（无22）一尸（々，凹）+/（尤1，%）20。

概率密度函数：F(x,y)=「「f(u,v)dudv

二维随J-00J-x

fVx,ye/?,/(x,y)>0

机变量

贞"匚)必力=1

/x(x)=J：7(x，yMy

边际密度

/y(y)=「/(x'y)dx

连续型J—co

Aqx(yIx)=(/x(x)>0)

NA

条件密度

&y(x|y)=密伉(>)>o)

fY\y)

概率计算：P｛(X,y)eG｝=JJf(x,y)dxdy

随机向量函数的分布：已知/x,y(x,y),z=g(x,y),求/z(z).

(X+K(、max(X,y)、min(xM)

一般:

FyY(x,y)=Fx(x)FY(y),Vx,y€R

独立性离散：尸

(X=x；,7=)=P(X=xt)P\Y=x),i,j=1,2,--•

连续:fx.r(x，y)=AWA(y),TX,yeR

(x,y)~N仇,生q；,,夕)则x与y相互独立o夕=o

3

第三部分：数字特征与极限定理

£（*3）=卒方，

+x

A离散E（X）=Zx，P（X=x）x马y独立=＞E（XY）=£1（%）-E（Y）

期望〈/=!

2

连续E（X）=^\f^x）dx性质-£＞（CX）=CZ）（X）

D（X+C）=Z）（X）

方差：D（X）=£|（X-£（X））2]

L＞（x±y）=£＞（%）+L＞（Y）±2Cov（X,Y）

.x与海立=＞D（X±y）=£＞（%）+D（Y）

[p《x-Mx]*”叩

一维随/切比雪夫不等式£,、

机变量\P（|X-＜£）＞1

X~8（1,p）n£（X）=p,D（X）=〃。-P）

X~B（n,p）=>E（X）=np,D（X）=np（l-p）

X-^-（2）E（x）=2,D（x）=2

常见分布

X~U（4,b）nE（X）=^,Z）（X）=^t

的期望方差.

X~N（//,b2）nE（X）=〃,O（X）=，

IX~e（/1）=MX）=：,O（X）T

'协方差c°y（x,y）=可俨一后⑻心—E（y））］=E（xy）—E（x）.E（y）

相关系数0xy=f吸I

fc^x,±x2,y）=cov（xl,r）±c<?v（x2,r）

二维随Cov（aX,bY）=abCov（X,Y）

机变量'

|Px3<UPXJ=1=叩=aX+.）=1

性质=0

PXY、

c»v（x,y）=o

不相关="E（xr）=E（x）-E（r）

D（x+y）=D（x）+o（y）

jKO

离散E[g（X）]=£g（x）P（X=%,）

一维i=l

连续E[g（X）]=广g（x）fx（%「

随机变量、v—00

函数的期望'+00+8/、/\

离散瓦g（x,y）]=,x）P（X=七,y=为）

二维＜i=lj=\

连续E[g（x,y）]=J；]二g（x，y）/x）（%，

4

(及fp^Bernoulli]

—-〃*二0

〃TOOn)

(n(nn\

",fx,」fE(Xj

X],X2,…两两不相关

nlimP上」---->£=0---->上1(切比雪夫)

(“TOO〃

大数DXZ)<C,z=1,2,-nn-----------n

定律

(〃\

Ex：p

…独立同分布

X1,X2,-----(辛钦)

E（X）=〃存在n"吧-——〃之£=0

nn

X1,X2,…独立同分布

-①(x)^Lindeberg-Levy)

E（X）O（Xj存在

中心极限定理

/\

X-np

X〜B(n,p)nlimP<x=①(x)(DeMoivre-Laplace)

、/npQ

数理统计：估计与假设检验

‘总体、个体

样本（X1,X2,…，xj样本容量〃

样本观察值（外，》2,…,X”）

基本概念・

P(X1=xt,X2=x2,---,Xn=x„)=pjP(X=xj

样本的分布■i=i

fXl.X2.-,Xn=11fX(xj

i=\

样本平均值X,

样本方差S2=，_之（X：-外、样本标准差5=斤

〃一5

统计量样本A阶（原点）矩A*=-之X,*、样本都介中心矩2=-¥（%,.-X）

«zr

经验分布函数F,（x）=X],X,,X,,中不大于x的频率（X/xeR）

——(J2

EX=N，DX=——

数字特征n

ES2=a2

5

构造：z2=£x,2~72(〃),其中诸X,独立，且X,~%(()/)

/2分布,Ex2=n,Dx~=2〃

22m2且虫立n%」+^2~篦+〃)

Zi~Z(Xz2~%2(",32%2(，

.分位数：2(〃),尸

Z~%2(%2<%/(〃))=a,0<a<1

构造：7=/X其中X〜N(O,l),y~%2("),且独立

1Y/n

f分布渐进分布：nf8时，，(〃底J渐进分布为N((),l)

抽样分布I

分位数：T〜，(〃),P(T<ta(〃))=CW-。(九)=-ta(n)

构造：F=-X/二〜户(W),其中X〜力2s1y〜力2(九),且独立

Y/n2

户分布VF~广(〃7,n)=>—〜户(〃，771)

F

分位数：F~〃),P(FvFa(m,〃))=c;Fx_a(/??,n)=——---r

Z_(X-P)-(〃|-〃2)

L—I-------~N(O,1)