湘教版九年级数学下册第2章圆课件1

2.1圆的对称性第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（XJ）教学课件学习目标1.理解圆的有关概念及圆的对称性；(重点)2.掌握点与圆的位置关系的性质与判定．(重点)

如图所示，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.

问题这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当怎样站队？情境引入不公平；四个人应该站在离玩偶距离相等的位置上.讲授新课圆的概念一概念学习圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.·定长叫作半径.这个定点叫作圆心.OA圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心.以点O为圆心的圆叫作圆O，记作⊙O定点与动点的连线段叫作半径.如图,点O是圆心.线段OA的长度是一条半径.线段OA的长度也叫作半径,记作半径r.·rOA概念学习典例精析例1

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OD.

又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上..问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B..A点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系二问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系？要点归纳点和圆的位置关系rPdPrd

Prd点P在⊙O内

d<r点P在⊙O上

d=r点P在⊙O外

d>r数形结合：位置关系数量关系1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

.

圆内圆上圆外典例精析2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内

B.小圆内C.小圆外

D.大圆内，小圆外oD

弦:·COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC，AB）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意圆的有关概念三弧:·COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧·COAB半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“⌒”表示.以A、B为端点的弧记作

AB

，读作“圆弧AB”或“弧AB”．(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC

;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.ABCEFDO劣弧：优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(AED,(ACD.(练一练要点归纳1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．2.直径是圆中最长的弦.附图解释：·COAB连接OC,在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.这两个圆问题3用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？重合圆的对称性四探究能够重合的两个圆叫作等圆，把能够互相重合的弧叫作等弧.概念学习问题4现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？·仍然重合问题5这体现圆具有什么样的性质？圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合.特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自身重合.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.知识要点问题6在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？·OABCDE能够重合你能讲出圆具有这种对称性的道理吗？圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.知识要点为什么车轮要做成圆形的？中心与路面距离相等中心与边缘距离相等中心与边缘距离不相等中心与路面距离不相等观察与思考

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有

条直径，

条非直径的弦，

圆中以A为一个端点的优弧有

条，

劣弧有

条．直径半径一二四四当堂练习ABCDOFE2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)圆既是中心对称图形又是轴对称图形.

3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

.上外上4.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内

B.在⊙O上

C.在⊙O外

D.在⊙O上或⊙O外B5.观察下列图形：请问以上三个图形中是轴对称图形的有______，是中心对称图形的有______(分别用以上三个图形的代号填空)．①③①②③

6.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是

.7cm或3cm定义平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形平面内一动点绕一定点旋转一周所形成的图形有关概念弦(直径)直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧等圆、等弧课堂小结课堂小结位置关系数量化点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d>rd=rd<r圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴2.2圆心角、圆周角第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（XJ）教学课件2.2.1圆心角学习目标1.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角；2.能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．(重点)导入新课情境引入飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？讲授新课圆心角一概念学习OABM1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.2.圆心角∠AOB

所对的弧为

AB.⌒判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆内角圆外角圆周角（后面会学到）圆心角练一练问题1已知在⊙O中，圆心角∠AOB=∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒C·OABD圆心角、弧、弦之间的关系二⌒因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合，所以可将⊙O绕圆心旋转，使点A与点C重合.由于∠AOB=∠COD，因此，点B与点D重合.从而AB=CD,AB=CD.⌒⌒在同圆中探究O

·AB问题2如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？

·O′CD在等圆中探究

通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠CO'D，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.⌒⌒

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC要点归纳弧、弦与圆心角的关系问题3在结论“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC要点归纳

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC弧、弦与圆心角关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.要点归纳典例精析例1

如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，求圆心角∠AOB的度数.·ABCO∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.解：∵△ABC是等边三角形,又∵

∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.∴∠AOB＝（∠AOB+∠BOC+∠AOC）=360°=120°.如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．解：∵·AOBCDE针对训练1.如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是(

)当堂练习A．∠ABCB．∠AOBC．∠OABD．∠OCBB2．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦和弧分别均相等D．以上说法都不对3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于

.D60°4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，.

求证:AB＝CD..CABDO能力提升：5.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？⌒⌒答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.取的中点E,连接OE，CE，DE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以==，所以=2，所以弦AB=CE=DE,在△CDE中CE+DE>CD,即CD<2AB.⌒⌒ABCDEO圆心角圆心角相等弧相等弦相等弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或等圆中概念：顶点在圆心的角应用提醒①要注意前提条件；②要灵活转化.课堂小结2.2圆心角、圆周角第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（XJ）教学课件第1课时圆周角定理与推论1

2.2.2圆周角

学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.问题图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ABCDE情境引入导入新课顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.(如∠BAC)我们把∠BAC叫作BC所对圆周角，BC叫作圆周角∠BAC所对的弧.讲授新课圆周角的定义一概念学习⌒⌒·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA练一练下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√圆周角定理二图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC都是AC所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？⌒ABCDE为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系.我们猜测也相等ABCDE问题1如图，点A、B、C是☉O上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角?合作探究圆心角：∠BOC圆周角：∠BAC问题2分别量出这些角的度数，你有什么发现？∠BOC=2∠BAC问题3变动点A的位置，看看上述结论是否依然成立？AAA变动点A的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.推导与验证已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.求证：∠BAC=∠BOC.圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠COABDOACDOABCD圆心O在∠BAC的内部OACDOABDOABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心O在∠BAC的外部圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理知识要点···100°AO20°O90°ABABBCC(1)(2)(3)求∠AOB求∠AOB求∠A练一练1.解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为,

例1

如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.AB⌒BCO.70°A∴∠ACB=∠AOB=25°.同理∠BAC=∠BOC=35°.

典例精析例2如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（）A．90° B．45° C．180° D．60°A例3如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°解析：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．讲授新课圆周角定理的推论1三问题4回归到课堂初始探讨的问题中，∠A、∠A1、∠A2和∠A3都是弧BC所对的圆周角，那么他们相等吗？因为∠A、∠A1、∠A2和∠A3所对弧上的圆心角均为∠BOC，由圆周角定理可知∠A=∠A1=∠A2=∠A3.A1A2A3要点归纳圆周角定理的推论1在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.完成下列填空

∠1=

.∠2=

.∠3=

.∠5=

.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678练一练例4

如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．75°典例精析C当堂练习1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.图１图２图３图４图５2.指出图中的圆周角.AOBC∠ACO∠ACB∠BCO∠OAB∠BAC∠OAC∠ABC××√××3.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（）D

A.60°B.50°C.40°D.30°4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(

)A．25°B．30°C．35°D．50°A5.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是(

)A．50°B．40°C．30°D．25°D6.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

.130°7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=

，∠ADB=

.DAOCB130°50°8.如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠DCB=28°，则∠ABC=_______°．289.如图，分别求出图中∠x的大小.解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.(2)连接BF，F∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°x30°20°xADBEC圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论1课堂小结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角2.2圆心角、圆周角第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（XJ）教学课件第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形2.2.2圆周角

学习目标1.探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质；(重点)导入新课情境引入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？讲授新课圆周角定理的推论2一问题1如图，AC是圆O的直径，那么∠D，∠D1，∠D2的度数分别是多少呢？

D1D2这三个角所对弧上的圆心角是∠AOC，而∠AOC=180°，利用圆周角定理，∠D=∠D1=∠D2=90°.问题2如图，若已知∠D=90°，它所对的弦AC是直径吗？是的.要点归纳圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.问题3回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.典例精析例1

如图，AC是圆O的直径，∠CAD=60°，点B在圆O上，求∠ABD的度数.B解：∵AC为直径，∴∠ADC=90°.又∠DAC=60°，∴∠C=30°.又∵∠ABD和∠C都是弧AB所对的圆周角，∴∠ABD=∠C=30°.

例2

如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交☉O于B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B圆内接四边形的性质二概念学习如图，A，B，C，D是圆O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.

(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º性质探究(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º试一试证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知12由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质要点归纳OABCCD典例精析例3

如图，ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，求∠BAD及∠BCD的度数.解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为弧BD，∠BOD＝100°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.∴∠BAD=∠BOD=100°=50°.例3

已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）若AB=4，BC=，求CD的长．解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=，∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴=4CD，∴CD=．1．四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．☉O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º当堂练习3.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°

B.110°C.90°

D.120°BACBODE4.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A．10° B．20° C．30° D．40°B5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B．C．D．2A6.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）变式：已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.ABCOD7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，解:BD=CD.理由是:连接AD,课堂小结2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.1.圆周角定理的推论2：直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.2.3垂径定理第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（XJ）教学课件导入新课问题引入问题1圆是轴对称图形吗？问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形其对称轴是直径所在的直线无数条问题3你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课讲授新课垂径定理及其推论一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒⌒·OABDP互动探究C线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(结论)归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC例1证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

已知：如图，⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒.MCDABON⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒典例精析例2

如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索：·OABDCP已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直径，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例3如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径．典例精析解：连接AO，∵点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，∴OC⊥AB，∵AB=12，∴AD=BD=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2，即：R2=（R-2）2+62，∴R=10即，⊙O的半径为10．

你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试垂径定理的实际应用二ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.