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文档简介

1上次课回顾复变函数,及其极限,连续的定义.2第二章解析函数解析函数的概念函数解析的充要条件初等函数3本次课内容第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件主题1、复变函数可导、可微、解析的定义2、可导与解析的关系3、复变函数可导与解析的充要条件4D一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:z一元实函数回顾：复变函数5练习:解：巧合？必然联系？6例1：解：72.可导与连续:证函数在

处可导则在

处一定连续,但函数在

处连续不一定在

处可导.83.求导法则:94.微分的概念:

复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.事实上特别地10二、解析函数的概念1.解析函数的定义(3)函数在区域内解析区域内可导(可微)注解(2)(１)在一点可导是局部定义,在一点解析是整体概念.112.奇点的定义问：奇点有几种情况?(1)无定义;(2)有定义,但导数不存在;(3)仅在此点可导例2

解:1213例3解:14定理根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.15小结(1)理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;(2)掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.

注意:

复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与

趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.16第二节函数解析的充要条件

(1)函数在一点可导的充要条件(2)函数在区域内解析的充要条件17

预备知识若则称其可微可微的一个充分条件连续★★18问题定理一设函数定义在区域Ｄ内19思路上式又有可导20可导即证:21证(1)必要性.(2)充分性.由于2223解析函数的判定方法:（１）由解析函数的定义，证明函数在区域Ｄ内可导；（２）若中的Ｕ，Ｖ在Ｄ内有一阶偏导数且连续，并且满足Ｃ－Ｒ方程，则由函数解析的充要条件可得．24例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足C-R方程,25四个偏导数均连续26例2解例327例4证28例5解2930三、小结与思考

在本节中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—

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