量子力学习题答案

量子力学习题答案1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知：E=hv；p=h/人由于所考虑的电子是非相对论的电子(E<3eV)叩(0.5k106))，故:E=P2/(2四)eX=h/p=h/(2口E=hc/\,：2p,c2E=1.24x10-6/v'2x0.51x106x3=0.71x10-9m=0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当T=1K时，其能量为E=3kT=3x1.381x10-23J.K-ix1K=2.07x10-23J2 2于是有p=h/v2ghE6.626x10-34J•s =1.26nm<2x6.690x10-27kgx2.07x10-23J一维谐振子处于寸3)=Ae-O2x2/2状态中，其中口为实常数，求:1.归一化系数；2.动能平均值。(言e-a2x2dx=Vk/a)-8解：1.由归一化条件可知：

Jg甲*(x)w(x)dx=J"A2e-a2x2dx=1一8 —8=A2\'冗/a=1取相因子为零，则归一化系数A=必/2/冗1/42.2.-J8(-a-J8(-a2xe-a2x2/2)2dx}-8=—A2a4J8x2e-a2x2dx2g -8力2A/ 1\「=——A2a4( )(-xe-a2x22g 2a2=—A2a4(-—!—)(-^^)2g 2a2 a方2 , 1、=—A2a4( )J8xd(e-a2x2)2u 2a2-82卜一8-J8e-a2x2dx}-8冗A2a力2_a2力24p4口T=J8w*(x)T「(x)dx=A2J8e-a2x2/2(P2/2p)e-a2x2/2dx-8 -88」力2d2、=A2J e-a2x2/2(———)e-a2x2/2dx=-H2e-a2x2/2d(-a2xe-a2x2/2)dx2g -8 dx力2= A2(-a2xe-a2x2一82一8若a=、:'号，则该态为谐振子的基态，T=籍解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为：力2d2 1————+g®2x22gdx2K它的基态能量E0=2血选择L为参量，则:

dE 1 .dH hd2 2 /力2 d2、 2丫—Q-=—CO/=———=—\——)——1

d力 2d力 (Idx h2g dx h仞剥哗(T)由F-H定理知：叫=何|理|0)=-M=d力 'Id力I，h\I2可得：2.2由下列定态波函数计算几率流密度：11(1)W=一eikr (2)W=—e—ikrTOC\o"1-5"\h\z1r 2r从所得结果说明W表示向外传播的球面波，w表示向内(即向原点)传播的1 2球面波。解：］和了只有,分量1 2在球坐标中 V=r—+e+e————0drer50rsinO5(p-V*VW)iii-V*VW)iii、iaa、「一(—e-ikr)—_e-ikr(_°沏)Jfrrdrr°1—⑴J(VVV12m1 1ih1d=[一eikr 2mr drih1z1 1lz1r1、「=[_(-一-ik_)__(一一+ik-)\r2mrr2rrr2rohk一hk一—r—rmr^°mr3、宇同向。表示向外传播的球面皮。―二 i力，一一、(2)J2=__(v2Vv2*-甲2*W)场「1.、合/Ia1 6,1= [—e-ikr(_eikr)—_Cikr(—e-ikr)Jli力「1,1 "1,1 .]1、「=[_(一—+ik_)-_(-—-ik_)]r2mrr2rrr2r0_ 力k__ 力k_mr20mr3可见，J与r反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。2.3 一粒子在一维势场8,X<0U(x)=加，0<x<a8,x>a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(X)与1无关，是定态问题。其定态S一方程一堕 v(尤)+u(x)v(x)=Ev(x)2mdx2在各区域的具体形式为TOC\o"1-5"\h\zI：x<0一 d^Lv(x)+U(x)v(x)=Ev(x) ①H：0<x<a一 djLv(x)=Ev(x) ②B：x>a一 dJLv(x)+U(x)v(x)=Ev(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(X)=8，要等式成立，必须v(X)=0v(X)=0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程（2）可变为dj（'）+普也3=°―2-

―2-

dx2(X)+k2W(x)=°其解为w(x)=Asinkx其解为w(x)=Asinkx+Bcoskx根据波函数的标准条件确定系数A,B，由连续性条件，得W（。）=w（。）W(a)=W(a)⑥nAsinka=°A丰°sinka=°nka=n兀 (n=1,2,3,…)n兀丫.・W(x)=Asin——x由归一化条件』W(x)|2dx=18由J由Jasin坚xx0 aSin7XdX=务nnn兀——x

a■ynA=—Va，、•.•即2(x)=¥asm

[ 2mE,/k2=——方2=E=22加^2 (皿=1,2,3,...)可见E是量子化的。对应于en的归一化的定态波函数为|2.n兀 _%, …,, 、J—sin——xehn, 0<x<aW&(x,t)=仲aa0, x<a,x>a2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：*(x)=j.2axe-2a2x2a①(x)=W(x)|2=4a2.——.x2e-a2x22a3.x2e-a2x2K竺旦=蚂[2x-2a2x3]e@x2dx 槌兀令血i⑴=0，得dx由w1(x)的表达式可知，x=0,x=±8时，w1(x)=0。显然不是最大几率的位置。而刁气⑴=^^[(2-6a2x2)-2a2x(2x-2a2x3)]e-a2x2dx2 <K4a3r[(1一5a2x2—2a4x4)]e-a2x2K4a31A=-6—=-4a31A=-6—=-—<01J冗ex=±adx2可见x=±a=±拾是所求几率最大的位置。32氢原子处在基态W(r,0,甲)=,1e-r/a0，求:J：冗a3, 0

r的平均值;势能—£2的平均值;r最可几半径；动能的平均值；动量的几率分布函数。解：(1)r-frMr,6,甲)|2&-!卜j2”"re-2r/a0r2sin6drd6d甲兀a300004。 ,- r3a-2r/a0dra300

n!jXn£-axdx— 0 an+13!(2)e2、_e2[打2打812/k2—)— e2r/a0r2r 冗a3000r0sin6drd6d中一^^卜j2”「e-2r/a0rsin6drd6d中兀a300 00一Jl!』8e-2r/a0rdra30

04e2 1 e2a30(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为①(r)dr—卜j2”[W(r,6,甲)]2r2sin6drd6d甲——e-2r/a°r2dr4w(r)———e-2r/a0r2

a30dw(r) 4 2、 ———(2- r)re-2r/a0dr a3 a00

令d®(r)令一d——=0，nr=0,r=8,r=a当r=0，r=8时，®(r)=0为几率最小位置TOC\o"1-5"\h\zd2①(r) 4 8 4 、 =—(2——r+—r2)e-2r/a0dr2 a3 a a2d2®(r) 8 n =-——e-2<0dr2 a3r=a 0r=a0是最可几半径。⑷T=217p2=-壬v2e(r2⑷T=217p2=-壬v2e(r2A)+义A(sine4)+ --Jdr drsine80 80sin2e8中2〒—加[打2打81 /Vg/t———JJJ e—r/a0V2(e—r/a02旦°。。m30)r2sin0drded甲=—加卜4"1e—r/a01—[r2—(e—r/a0)]r2sin0drd0d甲27000mj 0r2drdr~4五2(-1J8(2r-|l)e-2r/a0dr2”0 00 04力22pa40a2力22pa20⑸c(p)=jW*(r)W(r,e,甲)dTpc(p)— J8—] e—r/a0r2drJ”e一方prcosesinedeJ2”d。(2兀方)3/20;”a3 0 0v02” J8r2e-r/a0drJ”e-：prcosed(一cose)(2”方)3/2.(”a30 0 J8r2e-r/adr—e-择cose(2”力)3/2/”a00 ipr02” 方 Li J8re—r/a0(e方p一e方p)dr(2”方)3/2、.'”a3ip0V0f8 」n!JXne—axdx= 0 an+12” 方1TTT： 二[~~;(2”方)3/2,,”a3ip(土—Lp)20a方— 1 ],1,i、.(—+—p)2

an_ 1 4ip、:可p冗a力(_!+马2

0a2 力24 a4力4= 0 ]2。3力3兀a(a02p2+力2)2(2a力)3/2力= 0 兀(a2p2+力2)2动量几率分布函数8a3力5①(p)=|c(p)|2=—-__0~~—兀2(ap2+再2)43-5 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是H=端,L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有L=L2Z哈米顿算符 H=—L=-竺土21Z 21d(p2其本征方程为(丑与^无关，属定态问题)袈户8(0=珈(们21dq2d2。何) 2IE 、=-8(q)dq2 力2d2。(中)+m2©(中)=0W2

取其解为 。（9）=Aeim9（m可正可负可为零）由波函数的单值性，应有怖取其解为 。（9）=Aeim9（m可正可负可为零）由波函数的单值性，应有怖+2冗)=。(0neim(中+2冗)=gim^即 gi2m兀转子的定态能量为E=m22m 21(m=0,±1,±2,...)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为A为归一化常数，由归一化条件1=J2兀。*ed9=A2』2"d9=A22兀00mm,丁nA=■——\：2兀转子的归一化波函数为综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为1H= L221H与t无关，属定态问题，其本征方程为1人云L2Y(0,9)=EY(0,9)（式中Y（0押）设为H的本征函数，e为其本征值）LY(0,时=2IEY(0,9)令2IE=人力2，则有L2Y(0,9)=M2Y(0,9)此即为角动量L的本征方程，其本征值为L=人力2=心+1)方2 (/=0,1,2,...)其波函数为球谐函数Y(0,9)=NP^(cos0)eim9bm %mI转子的定态能量为_£(£+1)方2E b 21可见，能量是分立的，且是(2b+1)重简并的。3.6设t=0时，粒子的状态为W(x)=4[血2kx+严kx]求此时粒子的平均动量和平均动能。解：wG)-AEsin2kx+士coskx]-A[+(1-cos2kx)++cos奴]=-[1-cos2kx+coskx]2A「一2[1-士(ei2kx+e-i2kx)+十(eikx+e-ikx)]A\：&力 1= [ei0x—1ei2kx—壬e—2kx+1eikx+1e-ikx]•―可见，动量，的可能值为0 2检-2检检-检动能土的可能值为02k2方2 2k2方2k2方2k2方22hh h2h2h对应的几率O应为A2 A2 A2A2A2——)•2兀方n(4 16 1616161111(2 8 8 8上述A为归一化常数，可由归一化条件，得1=£⑦=(A2+4x—).g=A2.2丸方n动量P的平均值为p=£p①nTOC\o"1-5"\h\zA2 A2 A2 A2=0+2游x——-2兀方-2湖x——-2兀方+湖x——-2兀方-游x——-2兀方=016 16 16 16c2k2方21 k2方2 1c=0+ •一x2+ x—x2日 8 2日 85k2方28口3-7 一维运动粒子的状态是Axe-北,当x>0、0, 当xv0其中人〉0，求：(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由1=j"k(x)|2dx=卜a2x2e-2为dx一8 0

上A24上A24x3--A=2人3/2W(x)=2人3/2xe-xx(X>0)(XV0)c(p)=J^ Te-ikxw(x)dx=(-^)1/2・2人3/2J8xe-(x+ik)xdxTOC\o"1-5"\h\z-»72冗 2湖 0/2人3 「x 8 1f8 』=(—)1/2[- e-(x+ik)x8+ i^Je-(x+ik)xdx=(2人3)1/2 1 _(2X3)1/2 1(X+i冗力 (人+ik)(X+i动量几率分布函数为2人3 1 2人3力3 1®(P)=c(P)2=冗力 P2冗(力2X2+p2)2(人2+ )2力2‘⑵p=J8w*(x)pw(x)dx=-i/J84X3xe-xx—(xe-xx)dx-8 0 dx=-i力4X3J8x(1一Xx)e-2xxdx0=-i力4X3J8(x一Xx2)e-2Xxdx0=-i方4X3( —)4X2 4X2=0或：p=J8c2pdp=0被积函数是个奇函数3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为“，如果粒子的状态由波函cdcdk。xp(x)>x事Esw，VAIH、If、f&s苗系00—xp(x)>x)*-©-8II

noduNzinizE-s昌陆o®s汁g邮摧巨用々鄙曰g出金弦If<、明ffi(了&wNs，撤xp{寸H+H0000—xp(zx+X1BZI料vxervHxpz(xIezxzvejHxpz(x)w8II=竺5[1_(_1)肩n3冗3240..①(E)=C|2=^4^[1_(_1)n]2n n6冗6n=1,3,5,…

0,n=2,4,6,…一8TOC\o"1-5"\h\zW(x)Hw(x)dx=』。W(x)虫W(x)dx

0 2四一8=Ja30x(a_x).[_—尊x(a_x)]dx

0a5 2四dx2=咂Jax(a_x)dx=3^L(a3_竺)

呻o 呻2 33.9.设氢原子处于状态_ 1 一3W(r,6押)=分R1(r)七0(0抑)一普R(r)Y^<0,时求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此状态中，氢原子能量有确定值(n=2)角动量平方也有确定值L2L2=0(0+1)力2=2力20=1)角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为TOC\o"1-5"\h\z1 3—/ —4 4其平均值为1十L=-x0-hZ43.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系商.市=?解：TOC\o"1-5"\h\z— 5p2=2口T=—k2h24x=j8A2x[sin2kx+—coskx]2dx=0-8 21x2= A2x2[sin2kx+—coskx]2dx=8-8 2(Ax)2-(Ap)2=(X2一x2).(p2—p2)=84.L求在动量表象中角动量l的矩阵元和L的矩阵元。1 i_,_ i解：0)=( )3je~hp'r(yp一zp)ehprdxxp'p 2兀h Zyi——(yp一zp)ehprdxzyTOC\o"1-5"\h\z1j-工a ai——=(—)3je-hp.「(-ih)(pz—-py—)ehprdxy z工aa1 L-——=节fy商y脱e强一dyz=ih(p—^―—p—^―)6(p—p。ydp zQp(L2)=』W二(五)LV—dTxpp p xpTOC\o"1-5"\h\z1 i—— i——=(r)3"-方P'(yp-zP)(yp-zP)e方p，赤2丸， zyzy1j- - .aa 「—=(疏)3Je力(ypz—zpy)(仍)(py-ap-—Pz—)e力pdz ya ai i——人人工——=(ih)(p p )( )3Je一h「寸(yp-zp)e方p'rdxyap zap 2兀h zy=-h2(p—-p—)2(上)3je：(p-p'对d气yap zap 2兀h=-h2(p 一-^—)25(p一pr)yap zap4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为1 d2 P2一2岬功2必°(P，,)+割C(p,t)=EC(P,t)d2一，、，P2、一，-了岬2h2；C(p,t)+(E-P-)C(P,t)=0dp2 2g2两边乘以一h®二单C(p,t)+(2E-当)C(p,t)=0idp2 h①g®hg®h■1令"'—k|nwh.2E人=—h①C(p,t)+d2)C(p,t)=0跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为TOC\o"1-5"\h\zE=(n++)方①n 21 i_C(p,t)=Ne-262P2H(Pp)e-力今nn式中Nn为归一化因子，即v6 、n=(商由),4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：H=^―p2+-!-日①2X2=一+L日①2x22日 2 2顷22r，、二 ,、，H广jW*(x)Hw(x)dx1L力2d2 1 上，，—Je-力px(- +_旦①2x2)e力pxdx2兀力 2旦dx22生(Lpf)2-LJ8e*p'一p)xdx+1旦①2上J8x2e7p'一p)xdx2旦力 2兀力一8 2 2兀力一8p25(p-p)+-岬2—卜(攵)2_£Le:(p，-p)Xdx2旦 2 2兀方-；i dp'2土5(p-p)+1岬2(攵)2里「上e:(P'-p)xdx2旦 2i dp'2一8a兀方=§5(p‘—p)一2岬2加奈5(pp-p)=狞(pp-p)—2岬2加宗5(pp-p)么5设已知在么和E的共同表象中，算符L和L的矩阵分别为Z xy(010)(0-i0)方J2方L=—p=101L—i0-ixV2y2〔010J{0i0J求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵乙和乙对角化。解：乙X的久期方程为一人方0n人=0,人=方，人=―方方-X方一人•••L的本征值为0,XL的本征方程X力，一力(010)(a)(a)11101a=Xa22k010)ka)ka)方71'气、aa2

ka3J当人1=。时，有f01k0其中w=设为l的本征函数在L和L共同表象中的矩阵a2a+ak"]0%'aa2八a3)'0]00k)na=-a3k-a1)由归一化条件

1=v+V=(a*,0,—a*)0 0 1 _=2laJ=2laJ(a~F=a“22fa1anv2"a3)(a~F=a“22fa1anv2"a3)[a2a2a=a3(010)(a)(a)11101a=方a22、010,a[a方33.侦2a由归一化条件

3 \12.••归一化的w力=J2对应于£的本征值力1k2当人2=项时，有(1a11(a1、寿a2(一(1a11(a1、寿a2(一a「r一“