2022届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试数学(文)试题解析

2022届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合U1,0,1,2，AxNx1，B2．则AB的子集的个数为

U

（）

A．1B．2C．3D．4

答案：D

根据集合的运算法则求得AB，得出其中元素个数后可得子集个数．

U

解：由题意B{1,0,1}，所以AB{0,1}，共有2个元素，因此它的子集有4个．

UU

故选：D．

2．若复数z满足12iz1i，则zz（）

2310

A．B．C．D．10

555

答案：A

由复数除法求得z，再计算其与共轭复数的积．

1i(1i)(12i)12ii2i213

解：由已知zi，

12i(12i)(12i)555

1313132

所以zz(i)(i)()2()2．

5555555

故选：A．

3．设x0且x1，y0且y1，则“logy0”是“1x1y0”的

x

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案：C

由充分必要条件的定义判断．

0x1x1

解：logy0或，因此有(1x)(1y)0，充分性满足，

xy10y1

当(1x)(1y)0时，1x0,1y0或1x0,1y0，结合前提条件可得logy0，

x

必要性满足．

因此是充分必要条件．

故选：C．

4．在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非

2

负半轴重合，它们的终边关于直线yx对称，若cos，则sin（）

3

5225

A．B．C．D．

3333

答案：C

由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．

解：角和角的终边关于直线yx对称，则2(k)2k，kZ．

42

2

sinsin(2k)cos．

23

故选：C．

5．为弘扬中国传统文化，某兴趣小组从5首描写中秋节或端午节的诗歌（其中描写端

午节的诗歌有2首，描写中秋节的诗歌3首）中任选2首背诵，若每首诗歌被选中的可

能性相同，则被选中的2首诗歌中全是描写中秋节的概率是（）

3237

A．B．C．D．

105510

答案：A

把5首诗歌编号后用列举法写出任选2首的所有基本事件，并得出2首诗歌中全是描写

中秋节的事件，计数后可得概率．

解：描写端午节的诗歌有2首编号为a,b，描写中秋节的诗歌3首编号为1,2,3，从中任

选2首的所有基本事件有：ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23共10个，其中2首诗歌中全

是描写中秋节的有12,13,23共3个基本事件，

3

所以所求概率为P．

10

故选：A．

6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图

如图，则它的外接球的体积为（）

4828

A．B．C．42πD．

333

答案：B

作出直观图，找到外接球球心得球半径后可得体积．

解：由三视图知如图直三棱柱ABCABC的底面ABC是等腰直角三角形，

111

ACB90，设D,D分别是AB,AB的中点，则D,D分别是两个底面的外接圆圆心，DD

11111

的中点O是三棱柱的外接球的球心．

由三视图知，AD1,OD1，因此OA2，

482

球体积为V(2)3．

33

故选：B．

7．已知函数fxsinxcosx，则下列结论正确的是（）

A．fx的最小值为2

7

B．fx在区间,2上单调递增

4

C．yfx1在,上有3个零点

D．曲线yfx关于直线x对称

2

答案：C

根据绝对值定义分类讨论，确定函数的周期，单调性，作出函数的图象，由图象观察函

数性质，判断各选项．

解：ysinx的周期是，ycosx周期是2，ysinxcosx的周期是2，

22

x[,0]时，f(x)sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)，

224

x[0,]时，f(x)sinxcosx2sin(x)，作出f(x)在[,]上的图象并延展，

4

如图，由图可得，f(x)最小值是1，A错；

7

fx在区间,2上单调递减，B错；

4

f(x)的图象与直线y1在[,]上有三个交点，C正确；

直线x不是函数的一条对称轴，D错．

2

故选：C．

x2y2

8．若椭圆1的弦被点2,1平分，则这条弦所在的直线方程是（）

169

A．x2y0B．3xy70

C．x2y40D．9x8y260

答案：D

设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

解：设弦的两个端点分别为Ax,y,Bx,y．

1122

x2y2x2y2

则111,221，

169169

xxxxyyyy

两式作差可得：12121212，

169

yy9xx949

∴1212k．

xx16yy1628AB

1212

99

即弦所在直线的斜率为，直线方程为y1x2，

88

整理得：9x8y260．

故选:D．

9．在ABC中，ABBC，BAC45，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双

曲线的离心率为（）

57

A．B．C．21D．3

22

答案：C

由已知求得ABC90.由题意2cAB,2aCACB，设ABBC2，求出a,c，即

得离心率.

解：解：在三角形ABC中，ABBC，BAC45，所以ABC90，设ABBC2，

则AC22，

双曲线以A、B为焦点，且经过点C，2cAB2,c1.

由双曲线的定义得2aCACB222,a21.

c1

离心率e21.

a21

故选：C.

10．若定义在R上的奇函数fx在,0上单调递减，且f30，则不等式

xfx10的解集为（）

A．1,13,B．3,10,1

C．4,12,D．4,10,2

答案：D

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘

积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

解：解：因为定义在R上的奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(3)0，

所以f(x)在(0,)上也是单调递减，且f(3)0，f(0)0，

所以当x(,3)(0,3)时，f(x)0，当x(3,0)(3,)时，f(x)0，

所以由xf(x+1)0可得：

x0x0

或或x0，解得4≤x≤1或0x2，

3x+100x+13

所以满足xf(x+1)0的x的取值范围是[4,1][0,2]，

故选：D.

11．定义在R上的函数fx满足fx1fx1，当x0,1时，fxx2，若对

19

任意的xm,，fx，则m的取值范围是（）

9

57

A．,B．,

23

57

C．,D．,

23

答案：B

根据函数的特点，利用fx1fx1求得x在不同区间上的表达式，并容易判断函

数是单调递增的，根据fx单调性即可解得不等式.

解：根据题意，当x0,1时，fxx2，则fx在0,1上单调递增，所以fxx21；

当x1,2时，fxx121；则fx在1,2上单调递增，fxx1212；

当x2,3时，fxx222；则fx在2,3上单调递增，x2222,3，

1919

要使fx，则只需：x222

99

7

解得：x

3

故选：B

二、多选题

12．已知x1，那么在下列不等式中，不成立的是（）

4

A．1x20B．x2C．xsinx0D．xcosx0

x

答案：D

对A，由x1可得x21，可判断；对B，由x1，可得x1由均值不等式可判断；

对C，设fxxsinx，求导数得出单调性可判断；对D，当取x2可判断.

解：对A，由x1可得x21，所以1x20，A正确，

444

对B，由x1，可得x1，所以x(x)2(x)()4，

xxx

4

当且仅当x，即x2时，取得等号，

x

44

所以x4，则x2成立，故B正确，

xx

对C，设fxxsinx有fx1cosx0，

则函数fxxsinx在,1上单调递增，

所以fxf11sin1sin110

所以xsinx0，故C正确，

对D，当取x2时，而1cosx1，显然cosxx0错误，

故选：D

三、填空题

13．在ABC中，C90，点D在AB上，AD4DB，CB5，则CBCD______．

答案：20

将CD用CA,CB表示，再根据平面向量数量积的运算律即可得出答案.

1141

解：解：CDCBBDCBBACBCACBCBCA，

5555

41414

则CBCDCBCBCACBCBCBCA2520.

55555

故答案为：20.

14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过

摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：（i）摇号的初始中签率为0.18；（ii）

当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与

“好友助力”活动可使中签率增加0.06．为了使中签率超过0.88，则至少需要邀请

______位好友参与到“好友助力”活动．

答案：12

首先理解题目中的规则，然后列出不等式，并解出不等式即可

解：根据题意，设至少需要x位好友参与到“好友助力”活动，则有：

0.180.06x0.88，

35

解得：x，

3

故至少需要12位好友参与到“好友助力”活动，

故答案为：12

15．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜

齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，

C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且ABBC60米，则滕王阁的高

度OP_______米．

答案：1215

设OBh，由边角关系可得OP3h，OA3h，OBh，OC3h，在OBC和OAB

中，利用余弦定理列方程，结合cosOBCcosOBA0可解得h的值，进而可得OP长.

POPO

解：设OBh，因为PBO60，tan60，则OP3h

OBh

又PAO30，，PCO45，

PO3h

OA3hPO

所以tan303，OC3h，.

tan45

3

在OBC中，OC2OB2BC22OBBCcosOBC，

即3h2h2602260hcosOBC①.，

在OAB中，OA2OB2AB22OBABcosOBA，

即9h2h2602260hcosOBA②，

因为cosOBCcosOBA0，

所以由①②两式相加可得：12h22h22602，解得：h125，

则OP3h1215，

故答案为：1215.

16．已知正四棱柱ABCDABCD的底边长为2，侧棱AA1．P为底面ABCD上的

111111111

动点，给出下列四个结论：

①若PD5，则满足条件的P点只有两个

②若PD7，则点P的轨迹是一段圆弧

③若PD∕∕平面ACB，则DP长的最小值为3

1

④若ACPD，则点P在线段BD上

11

其中所有正确的结论序号为______．

答案：②③④

以D为原点建立平面直角坐标系，设Px,y,x,y0,2，根据PD的长度求出点P的轨

1

迹方程，即可判断①②；连接DA，DC，证明平面ADC//平面ACB，即可得P的轨

11111

迹，从而可判断③；证明AC平面BDDB，AC平面DPD，从而可判断④.

111

解：解：如图，以D为原点建立平面直角坐标系，设Px,y,x,y0,2，BD22，

111

对于①，若PD5，则DPDD2DP21x2y25，

11

所以x2y248，故点P的轨迹是一段圆弧，

所以满足条件的P点有无数个，故①错误；

对于②，若PD7，则DPDD2DP21x2y27，

11

所以x2y268，故点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；

对于③，连接DA，DC，则DADC，

1111

因为AA∕∕CC，且AACC，

1111

所以四边形ACCA为平行四边形，所以AC∕∕AC，

1111

又AC平面ACB，所以AC∕∕平面ACB，

1111

同理DA∕∕平面ACB，

11

又DAACA，AC,DA平面ACD，

111111111

所以平面ADC//平面ACB，

111

因为PD∕∕平面ACB，所以点P的轨迹为线段AC，

111

则当P为AC中点时，DP有最小值为(2)2123，故③正确；

11

对于④，由正四棱柱ABCDABCD可得ACBD，ACDD，

11111

因为BDDDD，所以AC平面BDDB，

111

若ACPD，DDDPD，

1

所以AC平面DPD，

1

又平面BDDB平面DPDDD，

1111

所以平面BDDB与平面DPD重合，

111

所以点P在线段BD上，故④正确.

11

故答案为：②③④.

四、解答题

17．已知等差数列a的前n项和为S，且S36，______

nn6

请在①a5；②aaa21，③S49这三个条件中任选一个补充在上面题干中，

32467

并回答以下问题．

（1）求数列a的通项公式；

n

a

（2）求数列n的前n项和T．

3nn

n1

答案：选择见解析；（1）a2n1；（2）T1．

nn3n

（1）由S36，得到2a5d12，分别选择①②③，列出方程组求得a,d的值，即

611

可求得数列的通项公式；

an2n1

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解.

3n3n

65

解：（1）设等差数列a的公差为d，由S36，可得6ad36，即2a5d12，

n6121

2a5d12a1

选①：由a5，可得1，解得1，

3a2d5d2

1

所以数列a的通项公式为aan1d1n122n1．

nn1

选②：由aaa21，可得3a21，即a7，

24644

2a5d12a1

所以1，解得1，

a3d7d2

1

所以aan1d1n122n1．

n1

选③：由S49，因为S36，可得aSS13，

76776

2a5d12a1

所以1，解得1，

a6d13d2

1

所以aan1d1n122n1．

n1

an2n1

（2）由（1）可得，

3n3n

1352n1

所以T，

n332333n

11352n1

所以T，

3n3233343n1

2122222n1

两式相减得T

3n33233343n3n1

11

1

1111112n133n12n122n2

22

33233343n33n11n1n1

13333

3

n1

所以T1．

n3n

点评：错位相减法求解数列的前n项和的分法：

（1）适用条件：若数列a为等差数列，数列b为等比数列，求解数列ab的前n

nnnn

项和S；

n

（2）注意事项：

①在写出S和qS的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出

nn

SqS；

nn

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；

③作差后，作差部分应用为n1的等比数列求和.

18．在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，AD//BC，AD3BC，点E

1

在棱PD上，且满足PEPD.

3

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)若PAABAD3，求点B，E到平面PAC的距离之和.

答案：(1)证明见解析

(2)310

5

（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线面平

行；

（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.

解：

1

（1）证明：在AP上取一点F，使得PFPA，连接BF，EF.

3

1PEPF11

因为PEPD，所以，所以EF//AD且EFAD，

3PDPA33

1

又BC//AD，AD3BC，所以BCAD，

3

所以BCEF，BC//EF，所以四边形BCEF是平行四边形，

所以CE//BF，又CE平面PAB，BF平面PAB，所以CE//平面PAB.

1

（2）因为PAABAD3，PEPD，

3

2

所以三棱锥EACD的高为PA2，

3

1111

所以VADAB23323，

EACD3232

1BCAD113

又VABPA336，

PABCD3232

所以VVVV633.

EPACBPACPABCDEACD

11310

又SPAAC33212，

PAC222

1

设点B，E到平面PAC的距离之和为d，则SdVV，

3PACEPACBPAC

1310310

即d3，解得d.

325

310

故点B，E到平面PAC的距离之和为.

5

19．“碳中和”是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林，

节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量、实现二氧化碳“零排放”.2020

年9月，中国向世界宣布了2060年前实现碳中和的目标．某城市计划通过绿色能源（光

伏，风电，核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大

气中的二氧化碳实现碳中和，该城市某研究机构统计了若干小排量汽车5年内所行驶的

里程数（万千米）的频率分布直方图，如图，

(1)求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值；

(2)据“碳中和罗盘”显示：一辆小排量汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵

树用1年时间来吸收．根据频率分布直方图，该城市每一辆小排量汽车平均每年需要多

少棵树才能够达到“碳中和”？

(3)该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑

1

对大气污染的因素，对400名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这

5

些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素

的占15%，根据以上统计情况，补全下面22列联表，并回答是否有99%的把握认为购

买新能源汽车与考虑大气污染有关．

没考虑大气污

考虑大气污染合计

染

新能源汽车车

主

燃油汽车车主

合计

nadbc2

附：K2，其中nabcd．

abcdacbd

PK2k0.100.0250.0100.0050.001

0

k2.7065.0246.6357.87910.828

0

答案：(1)a0.178，汽车5年内所行驶里程的平均值为5.95万千米；

(2)119棵.

(3)没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

（1）由频率分布直方图及频率之和为1求a,再结合频率分布直方图求均值即可；

（2）求出汽车一年的行驶里程均值，根据碳中和概念列方程求解；

（3）列出联表，计算K2，根据临界值表作出结论即可.

(1)

解：由(0.052a0.320.22a0.052)11，解得a0.178.

设x为汽车5年内所行驶里程的平均值，则

x3.50.0524.50.1785.50.326.50.227.50.1788.50.0525.95(万千米).

(2)

5.95

解：由（1）可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为1.19(万千米).

5

因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收，

所以每一辆汽车平均需要1.19100119(棵)树才能够达到“碳中和”.

(3)

1

解：对400名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主有40080人，这些车

5

主在购车时考虑大气污染因素的占8020%16人，

4

燃油汽车车主有400320人，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的有

5

32015%48人，

补全的22列联表如下：

考虑大气污染没考虑大气污染合计

新能源汽车车主166480

燃油汽车车主48272320

合计64336400

400(162724864)2

所以K21.19.

8032064336

因为1.196.635，

所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

20．已知抛物线：x22pyp0的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与

抛物线交于点A、B，且(FAOF)(FBOF)3．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，PHl，

垂足为H，求证：四边形PFNH为菱形，

答案：(1)x24y；

(2)证明见解析．

p

（1）设直线AB方程为ykx，A(x,y),B(x,y)，直线方程与抛物线方程联立，

21122

消元后应用韦达定理得xx,xx，由向量的数量积的坐标运算可求得p，得抛物线方

1212

程；

（2）设P(x,y)，利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得N点坐标，可证明四

00

边形是菱形．

(1)

p

设直线AB方程为ykx，A(x,y),B(x,y)，

21122

x22py

由p，得x22kpxp20，

ykx

2

所以xx2kp，xxp2，

1212

pp

(FAOF)(FBOF)OAOBxxyyxx(kx)(kx)

1212121222

kpp2p2

(1k2)xx(xx)(1k2)p2k2p23，解得p2，

1221244

所以抛物线方程为x24y；

(2)

焦点为F(0,1)，准线方程是y1，设P(x,y)，则H(x,1)，x24y，

00000

x211

由x24y，即y，yx，所以kx，

42MN20

1

切线方程为yyx(xx)，

0200

1111

令x0得yyx2x2x2x2y，

N0204020400

因此FN1yPH，又FN//PH，所以PFNH是平行四边形，

0

而PFPH，所以四边形PFNH是菱形．

21．已知函数fxaex21lnx．

1

(1)求a，求fx的单调区间及极值点；

2

(2)若fx0恒成立，求实数a的取值范围．

答案：(1)单调递增区间为(2,)，单调递减区间为0,2，有极小值点2，无极大值点.

(2)e,

（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；

1+lnx1+lnx

（2）将不等式进行参变分离得a，令gx，求导函数，分析导函数的

ex2ex2

符号，求得gx的最大值，继而可得答案.

(1)

11

解：当a时，函数fxex21lnx，定义域为(0,)，

22

11xex22

则f'xex2.

2x2x

当fx0时，x2，当fx0时，0x2，

所以函数f(x)的单调递增区间为(2,)，单调递减区间为0,2，

11

所以当x2时，函数f(x)取得极小值f2e221ln2ln2，无极大值.

22

所以函数f(x)的单调递增区间为(2,)，单调递减区间为0,2，有极小值点2，无极

大值点.

(2)

1+lnx

解：由fx0得aex21lnx0，又ex2>0，所以a，

ex2

1

1+lnx1lnx

令gx，定义域为(0,)，则x.

ex2g'x

ex2

1

11ln1

又y1lnx在(0,)上单调递减，且1，

xg'10

e12

所以当0x1时，g'x>0，gx单调递增，当x>1时，g'x0，gx单调递减，

1+ln1

所以gxg1e，

max