【2020一轮复习数学】第五章-第8节-正弦定理和余弦定理及其应用课件

考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.第8节正弦定理和余弦定理及其应用知

识

梳

理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC一解两解一解一解一解[常用结论与易错提醒]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.基

础

自

测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(

)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(

)解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√答案A3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.

解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形

4.(2016·上海卷)已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________.(2)由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，

规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

变式迁移【例2】

(经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(

) A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不确定解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝

.∴△ABC为直角三角形.答案B【变式迁移1】

(一题多解)将本例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是(

) A.直角三角形

B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

D.等边三角形

解析法一

由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以A＝B.答案B【变式迁移2】

将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC(

) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得答案C【变式迁移3】

(一题多解)将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状.

解

法一利用边的关系来判断：

即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，

又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab，又0°<C<180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形.规律方法

(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcosC，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，

又λ>1，∴λ＝2.∴a2＋b2＝6.角度3利用图形求解【例4－3】

已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D为BC边上一点且BD＝1，E，F分别为边CA，AB上的点(不包括端点)，则△DEF周长的最小值为________，此时△BDF的面积为________.

解析设D关于直线AB的对称点为M，关于AC的对称点为N，连接MN，分别与AB，AC交于点F，E，