《高等数学》数列的极限-课件

教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大时函数极限的定义。重点：两个定义及数列极限的性质难点：x无限增大时函数极限的定义教学方式：多媒体，讲授教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到x无限增大时函数的极限.一、概念的引入二、数列的定义三、数列极限的性质

1.3数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义称为一个数列,记为{xn}.1.定义

数列中的每一个数称为数列的一项

xn=f(n)称为数列的通项或一般项

数列也称为序列介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1…xnx2x1x0x3…••••••••••01–1x所有的奇数项所有的偶数项x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项1xnx3x2x1x0………••••••••••…注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数001二、数列的极限播放问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:预先任意给定一个正数>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,

以后的所有项都落在U(1,)中.（在U(1,)外面只有有限项）其中,是描述点xn

与点0无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.

1n)1(e<--N-11+由

N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述

n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N().不等式称为目标不等式.一般地,

如果数列{xn}当

n时,

列{xn}当

n时以

a为极限,记为xn

可以无限地趋近某个常数

a,则称数此时,也称数列是收敛的.若{xn}当

n时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,

也称数列{xn}是收敛的.

极限描述的是变量的变化趋势

数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：注意：几何解释:其中因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关，改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限数列极限的定义未给出求极限的方法.证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证作为公式用例4(P36-6)证例51.-N语言证明(关键:技巧是适当地放大不等式)说明:-N语言的应用有以下两个方面:练习P36-3及作业的填空题（练Ｎ的选取）2.用“-N”语言,由一个已知极限存在的数列,证明另一个数列的极限.方法:

对已知极限存在的数列应用“-N”语言,再从中变形成所要证明的数列极限的“-N”语言形式.(如例4)练习P36-5，6，7，8三、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.推论

无界数列必定发散.

该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.

例如,{

(－1)n}.2.唯一性定理2想想,如何证明它？若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由的任意性,上式矛盾,故a=b.3.唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.

充分必要条件何谓子数列？

子数列的概念

在数列{xn}:x1,x2,,xn

,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为

唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．例6解取子数列：例7解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:四.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性.重点：-N语言应用思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为由均值不等式

或用后面讲的夹逼准则证明练习题1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——