平面向量数量积及运算基础练习题及平面向量数量积的运算(附答案)

平面向量的数量积及运算练习题一、选择题：1、下列各式中正确的是 （）（1）(λ·a)·b=λ·(ab)=a·(λb),（2）|a·b|=|a|·|b|, （3）(a·b)·c=a·(b·c),（4）(a+b)·c=a·c+b·c A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.2、在ΔABC中,若,则ΔABC为 （） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定3、若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为 （）A．30° B．60° C．150° D．120°4、已知|a|=1,|b|=,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为 （）A．60° B．30° C．135° D．45°5、若,则ΔABC为 （） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形D．等腰直角三角形6、设|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|等于 （） A．37 B．13 C． D．7、己知|a|=1,|b|=2,a与的夹角为60,c=3a+b,d=λa－b,若c⊥d A． B． C． D．8、设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （） ①(a·b)·c－(c·a)·b=0②|a|－|b|<|a－b|③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直④(3a+2b)·(3a－2b)=9|a|2－4|b|A．①②B．②③C．③④D．②④9.（陕西）已知非零向量与满足且,则为等边三角形直角三角形等腰非等边三角形三边均不相等的三角形10(全国Ⅰ文）点是所在平面内的一点，满足，则点是的三个内角的角平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点 三条中线的交点 三条高的交点11．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()．A．[－2,2] B．[－2,3]C．[－3,2] D．[－3,3]12．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m,2)＋sinα))，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则eq\f(λ,m)的取值范围是()．A．[－6,1] B．[4,8]C．(－∞，1] D．[－1,6]二、填空题：13、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=-18的向量a=__________.14.设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.15．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．16．设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．三、解答题：1、已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求：①a·b②(2a－b)·(a+3b)2.已知两单位向量与的夹角为，若，,试求与的夹角。平面向数量积的计算一、选择题（共9小题）1、（2011•辽宁）若a→，b→，c→为单位向量，且 A、2﹣1 B、1 C、2 D、22、在边长为1的等边△ABC中，设BC→= A、﹣32 B C、32 D、3、若a→=（x，1），b→=（2，3x），且x≥0．那么 A、（﹣∞，22） B、[0，2 C、[﹣24，24] D、[224、在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则BC→ A、10 B、20 C、﹣10 D、﹣205、在边长为2的正三角形ABC中，设AB→=c→，BC→ A、0 B、1 C、3 D、﹣36、如图，P为△AOB所在平面上一点，向量OA→=a→，OB→=b→，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→=C→．若 A、5 B、3 C、52 D、7、△ABC内有一点O，满足OA→+OB→+ A、钝角三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形8、设a⃗，b⃗，c⃗均为单位向量，且a A、﹣1 B、1 C、2﹣2 D9、设向量m→=（sinB，3cosB），n→=（3cosC，sinC），且A、B、C分别是△ABC的三个内角，若m→•n→=1+cos（ A、5π6 B、 C、2π3 D、二、填空题（共10小题）10、已知a→、b→均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a→+3b→|等于11、（2008•江西）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：（A）AC→（B）AD→（C）AC→（D）（AD其中真命题的代号是_________（写出所有真命题的代号）．12、在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE→•BD→=_________13、如图，△OAB中|OA|=3，|OB|=2，点P在线段AB的垂直平分线上，记向量OA→=a→，14、在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则BA→•BC→=15、如图，向量OA→与x轴方向相同，向量OB→与x轴正半轴的夹角为2π3，∣OA→∣=2，∣OB→∣=116、△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，点D是边AC上的点，且AD=13DC，则BD→•17、已知a→，b→是平面内的两个单位向量，设向量c→=λa→，且|c→|≠1，a→•（b→﹣c→）18、如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，已知AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，记∠PBA=θ，则PA→•PC→=_________19、AB→•AC→可以看成向量AB→在向量AC→上的投影与∣AC→∣的乘积．已知点B，C在以AD为直径的圆上，若答案与评分标准一、选择题（共9小题）1、（2011•辽宁）若a→，b→，c→为单位向量，且 A、2﹣1 B、1 C、2 D、2考点：平面向量数量积的运算；向量的模。专题：计算题；整体思想。分析：根据（a→﹣c→）•（b→解答：解：∵（a即a→•b→﹣c又∵a→，b→∴c→而∣a→=3﹣2c→•（a∴∣a→+故选B．点评：此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．2、在边长为1的等边△ABC中，设BC→= A、﹣32 B C、32 D、考点：平面向量数量积的运算。分析：直接应用数量积进行计算即可得到答案．解答：解：在边长为1的等边△ABC中，∴∣a→∣=∣b→∣∣a→∣∣b故选A．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意向量的夹角，是基础题．3、若a→=（x，1），b→=（2，3x），且x≥0．那么 A、（﹣∞，22） B、[0，2 C、[﹣24，24] D、[22考点：平面向量数量积的运算；函数的值域。专题：计算题；综合题；分类讨论。分析：化简a→•b→∣解答：解：a→•b→当x≠0时，上式=11x+2x≤12因为x≥0，a→•b→∣故选B．点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数的值域，基本不等式的应用，是基础题．4、在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则BC→ A、10 B、20 C、﹣10 D、﹣20考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由数量积的定义BC→与CA→的模分别是a和b的长度，而BC→与CA→的夹角为角解答：解：由题意可知BC→与CA→的夹角为180°﹣∴BC→•CA故选D点评：本题考查向量数量积的运算，属基本题型、基本运算的考查，在解题中，要弄清两向量的夹角．5、在边长为2的正三角形ABC中，设AB→=c→，BC→ A、0 B、1 C、3 D、﹣3考点：平面向量数量积的运算。分析：由向量数量积的定义a→•b→=∣a→∣∣b→∣cos＜a→，解答：解：∵在边长为2的正三角形ABC中，设AB→=c→∴|a→|=|b→|=|c→|=2且＜a→，b∴由向量数量积的定义可得则a→•b→+b→=1﹣4=﹣3故选D点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算．解题的关键是要根据边长为2的正三角形ABC求出|a→|=|b→|=|c→|=2且＜a→，b→6、如图，P为△AOB所在平面上一点，向量OA→=a→，OB→=b→，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→=C→．若 A、5 B、3 C、52 D、考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：直接按照数量积的定义公式不易求解，c→与（a→﹣b→）夹角及模均不确定，建立平面直角坐标系，也不易求解，注意到P在线段AB的垂直平分线上，若设AB中点为D，则OP→=OD解答：设AB中点为D，则OP→=OD→+OP→∴c→•（a→﹣b→）=（=12（a→﹣故选C点评：本题考查向量数量积的运算，考查转化计算能力．向量数量积a→•b→的计算常通过下列途径：①直接按照定义公式，求出两向量的模及夹角余弦值，代入公式计算②利用向量数量积的几何意义，整体求出∣b→∣cosθ，即a→在b→7、△ABC内有一点O，满足OA→+OB→+ A、钝角三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：由OA→•OB由OA→+OB→+OC→解答：解：由OA→•OB→=OB→•OC→可得由OA→+OB→+OC→=0→得OA→所以△ABC一定是等腰三角形故选D点评：本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力．8、设a⃗，b⃗，c⃗均为单位向量，且a A、﹣1 B、1 C、2﹣2 D考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；函数思想；方程思想。分析：结合题意，把a⃗，b⃗，c⃗解答：解：∵a⃗，b⃗，c⃗不妨设a→=（1，0），b→=（0，1），c→=（cosθ∴（a→+c→）•（b→+c→）∵﹣1≤sin（θ+π4）∴1﹣2≤（a故选B．点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题．9、设向量m→=（sinB，3cosB），n→=（3cosC，sinC），且A、B、C分别是△ABC的三个内角，若m→•n→=1+cos（ A、5π6 B、 C、2π3 D、考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算。专题：综合题。分析：根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的等式，由A+B+C=π，得到B+C=π﹣A，利用诱导公式得到sin（B+C）=sinA，代入化简后的式子中，得到一个关系式，记作①，根据同角三角函数间的基本关系得到另一个关系式，记作②，联立①②，求出sinA和cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：由A+B+C=π，得到B+C=π﹣A，则m→•n→=sinB•3cosC+3cosB•sinC=3sin（B+C）=1+cos（即3sinA=1﹣cosA，变形得：3sinA+cosA=1①，又sin2A+cos2A=1②，由①得：cosA=1﹣3sinA③，把③代入②得：2sinA（2sinA﹣3）=0，解得：sinA=0（舍去），sinA=32将sinA=32代入③得：cosA=1﹣32=﹣12，又A∈（0则A=2π3故选C点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，以及同角三角函数间的基本关系．在求出sinA的值后，一定注意再求出cosA的值，由cosA的值为负数得到A为钝角，这是学生容易出错的地方．二、填空题（共10小题）10、已知a→、b→均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a→+3b→|等于考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：因为a→、b→均为单位向量，且夹角为60°，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|a→+3b→解答：解；∵a→，b→均为单位向量，∴|a→|=1，又∵两向量的夹角为60°，∴a→•b→=|a∴|a→+3b→|=∣a→故答案为13点评：本题考察了单位向量，数量积的概念，以及向量的模的求法，属于向量的综合运算．11、（2008•江西）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：（A）AC→（B）AD→（C）AC→（D）（AD其中真命题的代号是A、B、D（写出所有真命题的代号）．考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义。专题：常规题型。分析：结合图形，依据向量的基础知识，逐一判断即可得到结果．解答：解：AC→+AF取AD的中点O，则AD→=2AO设∣AB→∣=1，则AC→•又AB→•AD∴真命题的代号是A，B，D故选A，B，D点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量加减混合运算及其几何意义，是基础题．12、在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE→•BD→=﹣3考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先根据两个向量的数量积的定义，求出AB→•AD→的值，利用，AE→•BD→=（AD→+AB→2）•（AD→﹣AB解答：解：由题意得AB→•AD→，AE→•BD→=（AD→+AB→2）•（AD→﹣AB→）=AD→2﹣12AB→故答案为：﹣32点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用．13、如图，△OAB中|OA|=3，|OB|=2，点P在线段AB的垂直平分线上，记向量OA→=a→，考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用c→=b→+BH→+HP→①及c→=a→+AH→+HP→代入式子并利用HP→•（a解答：解：连接PA、PB，设AB的中点为H，则HP为线段AB的中垂线，∴HP→•（a∵c→=OP→=OB→+BH→+HP→=b→∵c→=OP→=OA→+AH→+HP→=a→+AH→+c→=HP→+a→+b→2，∴c→•（a=9﹣42OAOB点评：本题考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，体现了数形结合的数学思想．14、在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则BA→•BC→=考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量垂直的充要条件得到CA→•BC→=0解答：解：∵∠C=90°∴CABA∴BA=BC=16故答案为：16点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．15、如图，向量OA→与x轴方向相同，向量OB→与x轴正半轴的夹角为2π3，∣OA→∣=2，∣OB→∣=1考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先求出A、B两个点的坐标，根据OA→+OB解答：解：由题意可知：A（2，0），即向量OA→=（2，0B（﹣12，﹣32∵OA→+OB→+OC→故答案为：（﹣点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量和复平面内的点的对应关系，是基础题．16、△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，点D是边AC上的点，且AD=13DC，则BD→•考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用两个向量的数量积的定义求出BD→•AC→=（BA→+AD→余弦定理求出cosA代入可求得结果．解答：解：由题意得AD=14AC=74，BD→•AC→=（BA→=BA•AC•（﹣cosA）+74×7=﹣21cosA+49△ABC中，由余弦定理得25=9+49﹣2×3×7cosA，∴cosA=3342∴BD→•AC→=﹣21×3342+故答案为：﹣174点评：本题考查两个向量的数量积的定义，余弦定理的应用，计算BA→17、已知a→，b→是平面内的两个单位向量，设向量c→=λa→，且|c→|≠1，a→•