第四章妙趣横生的几何变换

第四章妙趣横生的几何变换第一页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.1图形的相等或合同如果两个图形F和F’的点之间具有一一对应关系，并且F上任意两点所确定的线段与F’上与之对应的两点所确定的线段总相等，那么图形F和图形F’称为相等或合同．显然，图形的相等具有反身性，对称性和传递性．定理1

在相等的图形中，与共线点对应的仍是共线点．推论直线的相等图形是直线．定理2

相等图形的对应角相等．第二页，共三十页，编辑于2023年，星期一图形的相等有两种情况.在平面几何中，两个相等的图形F和F’，对于F上不共线的任意三点A、B、C和F’上三个对应点

A’、B’、C’，如果我们让两双对应点重合，则第三双对应点或者重合，或者对称于重合直线

．第三页，共三十页，编辑于2023年，星期一如果重合，两图形F和F’

称为全(相)等，这时两图形的转向相同,如图

(1)．如果对称于重合直线

，则称F和F’

镜照相等，这时两图形的转向相反,如图(2)．（1）（2）两个全相等的平面图形，只要有两对对应点叠合，便完全叠合了．两个镜照相等的平面图形，若不将其中一个离开平面，就无法叠合．第四页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.2平移和旋转变换4.2.1运动所谓运动就是一个变换，把图形F的点变换为图形F’的点，使任意两点间的距离(从而使角度)总保持不变，转向也保持不变．两个全等图形可用运动而叠合．将一图形变换为其自身使其每一点都不动的运动称为幺变换．记作I.设图形F经运动f变换为图形F’

，则写作f(F)＝F’

．因为两个图形的运动是可逆的，所以称F’到F的变换为f的逆(变换)，记作F＝f

-1(F’)．第五页，共三十页，编辑于2023年，星期一如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换f3所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3＝f2·f1．

这里，值得注意的是运动的先后顺序跟书写的先后顺序相反.经过一个变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(或不变点)和二重线(或不变直线)．第六页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.2.2平移变换设a是已知向量，T是平面上的变换．如果对于任一对对应点P、P’，通过变换

T总有

，那么T叫做平移变换，记为

T(a),其中a的方向叫做平移方向，|a|叫做平移距离.由定义可知，平移变换由一向量或一对对应点唯一确定.恒等变换可以看成是平移变换，其平移向量是零向量，即I=T(0).在T(a)变换下，点A变为A’，图形F变为F’，可表示为第七页，共三十页，编辑于2023年，星期一平移变换具有下列性质：性质1

平移是运动.性质2

平移的逆是平移.性质3

两平移变换的乘积仍是一个平移.性质4

在平移变换下，直线l变为直线l’，并且l∥l’或者l与l’重合．性质5

非恒等变换的平移没有不变点，但有无数条不变直线，它们都平行于平移方向.第八页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.2.3旋转变换设O为平面上一定点，φ为一个有向角，R是平面上的变换．如果对于任一对对应点P、P’，通过变换R总有OP=OP’，∠POP’=φ．那么变换R叫做以O为旋转中心，φ为旋转角的旋转变换，记为R(O,φ).显然，旋转变换由旋转中心与旋转角唯一确定.旋转中心相同，旋转角相差2π的整数倍的旋转变换被认为是相同的.旋转角为零的旋转变换是恒等变换.在旋转变换R(O,φ)下，点A变为A’，图形F变为F’，可表示为.第九页，共三十页，编辑于2023年，星期一旋转变换具有下列性质：性质1

当旋转角φ≠180°时，直线与其对应直线的交角等于φ．性质2关于同一旋转中心的两个旋转变换的乘积仍是一个旋转．性质3旋转变换的逆变换仍是一个旋转变换．性质4非恒等的旋转变换只有一个不变点——旋转中心，当旋转角φ≠180°时，旋转变换没有不变直线．特别地，旋转角为180°的旋转变换称为中心对称变换或点反射，其旋转中心叫做对称中心．综上可知，平面上的运动有平移、旋转、以及它们的乘积．第十页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.2.4平移和旋转变换的应用根据已知图形的特点，对图形中部分元素施行某种变换，构成新图形，使得在新图形中容易发现已知元素与未知元素的关系.这里运用变换思想，实际上就是启发我们如何添置辅助线，以达到快捷解题的目的.第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期一例1

P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA,PB,PC,PD为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的二分之一．P’第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期一例2有一条河，两岸有A、B两地，要设计一条道路，并垂直于河岸架一座桥.如何设计才能使A、B路线最短？EFA’第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期一例3

点P在正方形ABCD内，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数.第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期一例4在△ABC内有一点P，满足条件∠APB=

∠BPC=∠CPA

=120°．求证P是到三顶点距离之和最小的点．注

本例称为三角形的费尔马问题．此题有多种证法，比较简洁的方法是运用旋转变换，将从一点出发的三线段适当变位，使它们首尾相连，处于同一条直线（或折线）上，再进行比较．第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.3轴反射或轴对称变换4.3.1轴反射变换的性质

l是平面上的定直线，S是平面上的变换，P，P’是一对对应点．如果线段PP’被直线l垂直平分，那么S叫做平面上的轴反射或轴对称变换，记为S(l)，l叫做反射轴.轴反射变换由反射轴和一对对应点唯一确定.在轴反射变换S(l)作用下，点A变为点A’，图形F变为图形F’，可表示为:第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期一轴反射变换具有下列性质：性质1具有同一条反射轴的两个轴反射的乘积是恒等变换．注具有不同反射轴的两个轴反射的乘积不一定是轴反射变换．性质2在轴反射S(l)变换下，反射轴l是不动点的集合，垂直于反射轴的直线是不变直线．性质3设P为反射轴l上一点，A、A’是一对对应点，则∠APA’被l所平分.第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.3.2轴反射变换的运用例1(蝴蝶定理)如图，AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q.求证

MP=QM．第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期一例2A、B在直线l的同侧，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ

+QB的长最短？第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.4平移、旋转、轴反射之间的关系两个平移变换的乘积仍然是平移变换，两个同中心的旋转变换的乘积仍然是旋转变换，具有同一反射轴的两个轴反射变换的乘积是恒等变换.问：具有不同反射轴的两个轴反射的乘积是什么变换？两个不同中心的旋转变换的乘积是什么变换？第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期一定理1

设

S(l1)、S(l2)是两个轴反射变换．(1)如果l1∥l2，那么S(l2)·S(l1)是一个平移变换；(2)如果l1与l2相交，那么S(l2)·S(l1)是一个旋转变换．定理1的逆命题也成立．即定理2

任何一个平移变换可以表示为两个反射轴平行的轴反射变换的乘积；任何一个旋转变换可以表示为两个反射轴相交的轴反射变换的乘积．值得注意的是，由于第一条轴可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一．第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期一定理3对于两个不同中心的旋转变换R(O1，φ1)、R(O2，φ2)，如果φ1+φ2≠2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2）·R(O1，φ1）是个旋转变换；如果

φ1+φ2=2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2)·R(O1，φ1)是个平移变换．推论及例题自学。第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.5相似变换4.5.1相似变换的性质

一个平面图形到自身的变换

，如果对于任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有

A’B’=kAB（k为正实数），那么，这个变换叫做相似变换，实数k叫做相似比．相似比为k的相似变换常记为H(k)．显然，当k＝1时，H(k)就是合同变换．在相似变换下，点

A变为点A’

，图形F变为图形F’，可表示为此时，称F、F’是相似图形，记为F∽F’．第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期一与合同图形类似，如果在两个相似图形上，每两个对应三角形沿周界环绕方向相同，则称这两个图形真正相似；如果对应三角形沿周界环绕方向相反，那么称这两个图形镜像相似．相似变换具有下列性质：性质1相似变换的乘积仍然是相似变换．性质2相似变换的逆变换仍然是相似变换．性质3相似变换保持点与直线的结合关系，以及点在直线上的顺序关系不变．第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期一性质4在相似变换下，三点

所确定的线段之比保持不变．相似变换的其它不变量还有：两直线间夹角的大小，两平面图形的面积之比，等等．第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期一4.5.2位似变换的性质位似变换是最简单、最基本的相似变换．O是平面π上一定点，H是平面上的变换．若对于任一对对应点P、P’，都有(k为非零实数)，则称H为位似变换，记为H(O,k)，O叫做位似中心，k叫做位似比．第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期一由定义可知：(1)O，P，P’共线；(2)OP’=|k|·OP；(3)当k＞0时，P，P’在点O同侧(此时O叫做外位似中心)；当k＜0时，P，P’在点O异侧(此时O叫做内位似中心)．显然，位似变换H(O,1)就是恒等变换，而位似变换H(O,-1)是以点O为中心的中心对称变换．第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期一由于位似变换是相似变换，所以位似变换具有相似变换的所有性质.除此，位似变换还具有下列性质：性质1具有相同位似中心的两个位似变换的乘积，仍为位似变换．性质2位似变换的逆变换仍为位似变换．性质3在位似变换下，位似中心是不变点，过位似中心的直线是不变直线．第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期一性质4在位似变换下，对应线段之比相等，对应角相等且转向相同，不过中心的对应直线平行(当k＞0时，