2022-2023学年广东省深圳市高一下学期期中数学试题2【含答案】

2022-2023学年广东省深圳市高一下学期期中数学试题2一、单选题1．复数（为复数单位）的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.【详解】，则复数（为复数单位）的共轭复数是，故选：A2．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案.【详解】正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为.故选：B3．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（

）（1）在上单调递减；（2）最小正周期为；（3）是奇函数.A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正切函数，正弦函数的图象与性质一一分析即可判断.【详解】对A，根据正切函数图象与性质知在上单调递增，不满足条件（1），故A错误；对B，根据余弦函数性质知函数是偶函数，不满足条件（3），故B错误，对C，函数，根据正弦函数在上单调递增，且为奇函数，则在上单调递减，也为奇函数，且其最小正周期为，满足三个条件，故C正确；对D，函数的最小正周期，不满足条件（2），故D错误；故选：C.4．在中，已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求角，再利用正弦定理可得.【详解】因为，所以；因为，所以.故选：D.5．已知，是不共线的向量，且，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线【答案】C【分析】根据给定条件，求出向量，再结合平面向量基本定理推理作答.【详解】向量，是不共线的向量，对于A，，，不存在实数，使得，与不共线，A，B，C三点不共线，A不正确；对于B，，，不存在实数，使得，与不共线，A，C，D三点不共线，B不正确；对于C，，即与共线，且两向量有公共点，故B，C，D三点共线，C正确；对于D，因，则，不存在实数，使得，与不共线，A，B，D三点不共线，D不正确。故选：C6．已知函数的部分图像如图所示，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据题意，先由函数图像求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由图像可得，所以，则，即，所以，将点代入，可得，所以，即，且，所以，所以，则.故选：D7．已知向量满足，则与所成角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量模的运算得，进而结合向量夹角公式求解即可.【详解】解：因为向量满足，所以，解得，所以，因为，所以，，即与所成角为.故选：A8．如图，在等腰梯形中，.点在线段上运动，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出各点坐标，求出AD方程，设P的坐标，用坐标表示出，根据二次函数值域即可计算.【详解】如图，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，，，易知，，故AD方程为：，故设，则，，，，∵，∴最小值为，最大值为，∈.故选：B.二、多选题9．已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（

）A． B．z的虚部是-4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】ABD【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】A：复数，则，故A正确；B：的虚部是，故B正确；C：，是实数，故C错误；D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：ABD.10．在中，角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是钝角三角形C．若，则D．若，，，则此三角形有两解【答案】BC【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A；根据余弦定理计算即可判断B；根据正弦定理即可判断CD.【详解】A：由，得，又，所以角A为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；B：设，由余弦定理，得，又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故B正确；C：因为，，由正弦定理，得(R为外接圆半径)，所以，所以，故C正确；D：由正弦定理，得，即，得，不符合题意，此时三角形无解，故D错误.故选：BC.11．关于函数，下列结论正确的是（）A．函数的最大值是B．函数在上单调递增C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到D．若方程在区间有两个实根，则【答案】BCD【分析】先利用辅助角公式化简得，利用三角函数的图象与性质可逐一判定各选项.【详解】，显然当时，的最大值是3，故A错误；令，则在上单调递增，故B正确；根据三角函数的图象变换得：的图象向右平移个单位得到，故C正确；，则由正弦函数图象与性质可知，，故D正确；故选：BCD12．如图所示，某摩天轮上一点从摩天轮的最低点处顺时针匀速转动，经过秒后，点第一次位于摩天轮的最高点，且距离地面米，当点距离地面最低点时开始计时，若点在时刻距离地面高度（米）关于（分钟）的解析式为，则以下说法正确的是（

）A．摩天轮离地面最近的距离为米B．摩天轮的转盘直径为米C．若在时刻，点距离地面的高度相等，则的最小值为D．，使得点在时刻距离地面的高度均为米【答案】ABD【分析】利用最高点坐标和转一圈所需时间可求得，得到函数解析式；由解析式可确定最低点，并借助最高点和最低点得到转盘直径，知AB正误；由正弦型函数对称轴可确定关于对称，知C错误；令可求得的可能的取值，由此确定存在满足题意的，知D正确.【详解】由题意得：，解得：；摩天轮转一圈需要秒，即分钟，，；又，，又，，；对于A，摩天轮离地面最近的距离为米，A正确；对于B，摩天轮的转盘直径为米，B正确；对于C，令，则，若取最小值，则，关于对称，，解得：，的最小值为，C错误；对于D，令，即，则或，解得：或，则当，时，点在时刻距离地面的高度均为米，D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知平面向量满足，，若，则__________【答案】【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由平面向量满足，，可得，因为，可得，解得.故答案为：.14．已知角的终边经过点，则_________【答案】【分析】根据诱导公式、二倍角的余弦公式及三角函数定义求解.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故答案为：15．若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则这个棱台的体积为______．【答案】28【分析】先根据侧棱长和上下底面的对角线长算出棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可.【详解】因为上下底面的对角线长分别为和，求得正四棱台的高为，所以棱台的体积为．故答案为：28.16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的表面积为___________.【答案】/【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，根据扇形面积公式和圆面积公式，结合圆锥展开图，由此能求出这个圆锥的表面积即可.【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：∴.设底面圆的半径为r,则有,解得,则这个圆锥的表面积为故答案为：四、解答题17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥，求：(1)截去的三棱锥的体积；(2)剩余的几何体的表面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用棱锥的体积公式计算可得答案;（2）计算各个面的面积相加可得答案.【详解】（1）∵正方体的棱长为1，三棱锥的体积（2）是边长为的等边三角形，，∴，，所以剩余几何体表面积为．18．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算；（2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可.【详解】（1），，（2）由（1）得，所以，，所以19．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求的解析式和单调递增区间；(2)求函数在区间上值域．【答案】(1)，单调增区间为.(2)【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出的值，结合正弦函数的单调性确定函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的性质得出，进而得出函数在区间上的值域.【详解】（1）因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，所以，，则，，又因为当，时函数单调递增，即，,所以函数的单调递增区间为；（2）（2）当时，，所以所以函数在区间的值域为.20．已知的内角的对边分别为，．(1)求的大小；(2)若且的面积为，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦化简求解.（2）利用三角形面积公式求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解作答.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，，整理得，而，因此，又，所以.（2）因为，由（1）知，则，由余弦定理得，即，于是，由正弦定理得，，所以.21．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．(1)用，表示，；(2)如果，，且，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出.【详解】（1）解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，所以，.（2）解：由（1）可知，，所以，由，可得，所以．22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；(2)若，求a．【答案】(1)；(2)6