2022-2023学年广东省广州市高二下学期期中数学试题3【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（

）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.【详解】解：根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，故选：C.【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题.2．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．【详解】记，，由图易知，所以．故选：C．3．若数列满足：，且，则数列的前5项和为（

）A．7 B．10 C．19 D．22【答案】D【分析】根据题意求，进而可得结果.【详解】根据题意可得：，故前5项和为.故选：D.4．设函数的导函数为，若，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对函数求导后，令即可求解.【详解】因为，所以，令，则，解得：.故选：C.5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.6．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（

）种不同的涂色方案．A．180 B．360 C．64 D．25【答案】A【分析】采用分步乘法计数原理进行分析即可.【详解】第一步涂A，有种涂法，第二步涂B，和A不同色，有种涂法，第三步涂C，和AB不同色，有种涂法，第四步涂D，和BC不同色，有种涂法，由分步乘法技术原理可知，一共有种涂色方案，故选：A.7．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离．【详解】抛物线的准线为，由题意，设，，，，则点P到原点的距离为，故选：D8．已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系即可求得.【详解】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B二、多选题9．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（

）A．-3是的一个极小值点；B．-2和-1都是的极大值点；C．的单调递增区间是；D．的单调递减区间是．【答案】ACD【解析】由导函数与单调性、极值的关系判断．【详解】当时，，时，∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法种数为35B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20【答案】ACD【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.【详解】对于A，选法种数为，故A正确．对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．故选：ACD．11．在的展开式中,下列说法正确的是(

)A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为【答案】AC【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断.【详解】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.12．已知函数，则（

）A．的值域为B．直线是曲线的一条切线C．图象的对称中心为D．方程有三个实数根【答案】BCD【分析】分两种情况求函数的范围判断A，利用导数求函数的切线，判断选项B，利用平移得出函数的对称中心判断C，首先求的值，再求解方程的实数根判断D.【详解】对A，时，，当时等号成立，当时，，当时等号成立，故A错误；对B，令，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；对C，的对称中心是，所以的对称中心是，向右平移1个单位得，对称中心是，故C正确；对D，，解得：或，当，得，，1个实根，当时，得或，2个实根，所以共3个实根，故D正确.故选：BCD三、填空题13．曲线在处的切线方程为__________.【答案】【分析】根据导数的几何意义，先求导得，代入，求得切线斜率，再利用时，结合直线方程即可得解.【详解】首先求导可得，所以曲线在处的切线斜率，又可得，所以曲线在处的切线为，即.故答案为：14．900的正因数有__________个（用数字作答）【答案】27【分析】依题意，设的正因数为，其中，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：，设的正因数为，其中，使用分步乘法计数原理，分三步，第一步计算，有种情况，第二步计算，有种情况，第三步计算，有种情况，所以共有种情况，所以有个正因数．故答案为：15．写出与直线和圆都相切的一个圆的方程________．【答案】（答案不唯一，只需满足与直线和圆都相切即可）.【分析】根据相切关系，列出圆心和半径应该满足的条件即可.【详解】设圆的方程为:和直线相切可以得：和圆相切得：或若则此时圆的方程：故答案为：（答案不唯一，只需满足与直线和圆都相切即可）.16．展开式中含项的系数为______．【答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，设该二项式的通项公式为，因为的次数为，所以令，二项式的通项公式为，令，所以项的系数为，故答案为：四、解答题17．在的展开式中，求：（1）第4项的二项式系数；（2）常数项.【答案】（1）20；（2）240.【分析】（1）由二项式写出展开式通项，即可知的二项式系数.（2）由（1）知常数项为求，写出常数项即可.【详解】（1）∴第4项的二项式系数为.（2）由（1），令，解得，∴常数项为.18．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，解得或，因为各项均为正数，所以，所以，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，则，所以，两式相减可得，整理可得．19．如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）证明后，建立空间直角坐标系，然后用点到面的距离公式即可;（2）通过法向量，算出二面角的余弦值，然后再求解正弦值即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得：∴，∴，∴，又∵平面，∴以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系：∵，，，，，，∴，，，设平面的法向量为，∴，，，不妨取，，，∴，∴点到平面的距离；（2）设平面的法向量为,∴，，且,，取，则，，则平面的法向量为，设平面的法向量为，∴，，且,，，取，则，，则∴，设二面角对应的平面角为，∴20．某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．(1)若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，求导，解即可求出结果；（2）该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，参变分离得到，构造函数，求出的最小值即可.【详解】（1）当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，所以，即，设，则，令，则，所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损.21．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间和极值.(3)若关于的方程有唯一的实数根，直接写出实数的取值范围.【答案】(1)；(2)递减区间为，；递增区间为；极小值，极大值；(3)或.【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）利用导数求出函数的单调区间及极值作答.（3）利用导数探讨函数的性质，再结合图形求出k的范围作答.【详解】（1）函数，求导得：，则，而，由直线点斜式方程得：，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为R，由（1）知，当或时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，函数在处取得极小值，在处取得极大值.（3）由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，恒有，当时，递减，恒有，因此，，而函数在内的值域为，因此函数在内的值域为，函数的大致图象如图，方程的实数根，即