费米系统与费米气体的性质

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费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子;由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。2.从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N、能量E和体积V。能级81，8，…2，81,…简并度o1，O，・・2・，o，…l能级81，8，…2，81,…简并度o1，O，・・2・，o，…l粒子数a】，a，…2，a「…即能级8上有a个粒子，能级8上有a个粒子，•••…，能级8上有a个粒子，l1122ll为书写方便起见，以符号｛气｝表示数列七，％，…，。,，…，称为一个分布。显然，对于具有确定的N，Z片N，才有可能实现。E，V的系统，分布｛a｝必须满足条件:对于玻尔兹曼系统，与分布｛a｝相应的系统的微观状态数。Q尸宓malll(1)(2)则可推导出费米系统的微观状态数为：l(2)①!!(ol-1)!l3.费米系统的最概然分布:)式取对数，得ln。=乙[w!lnw—lna!—ln(w—a)!]y1 1zzz (其中乙 对粒子的所有量子状态求和)(3)w1>>1，w1-a>>1，上式可近似为lnO=£[wlnw—alna—(w—a)ln(w—a)]1111 11 1 11i假设七>>1(4)根据上式的ln。，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为wa= 1 / ea+阮1+1简称费米分布，拉氏乘子a和0由式（5）式称为费米-狄拉克分布yewea+pe1+1(5)w£ 1—=N, ga+pe1+1在许多问题中，也往往将P当作由实验条件确定的已知参量，而由⑹式的第二式确定系

统的内能；或将a和0都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的(6)平均总粒子数和内能。（5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级e,的粒子数。能级e1有w1个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。因此在能量为e，的量子态s上的平均粒子数为，ea+0es+1（7）4.费米系统的热力学量的统计表达式:如果把a,P和y看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值:U=£内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值:U=£eaI=ye1wea+0e1+1i（8）（9）（10）（1）（12）（13）N="£，I I引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：s=ns=n[1+e-a-0e1]w‘II I取对数得：lnS=ywln（1+e-a-pe1）II系统的平均总粒子数N可通过lnS表示：N=flnSOa类似地可将u通过lnS表为：U=_?lnSop外界对系统的广义作用力r是彼I的统计平均值：r=Z%a=Z当当oy icy1 ea+佝-1cy可将r过lnS表为： r=--1£InH (14)上式的有一个重要特例是：P=!二lnH (15)poVa CInS、CInS〔 ,.0InS.由式④-⑦得：p(dU-1^^+pdN)=-例(cp)+oyd-ad(oa)注意上面引入lnS的是a、p、y函数，其全微分为:0InS」 0InS0InS,dlns= da+ dp+dyTOC\o"1-5"\h\z0a 0p Cy一 a一一( 0一0 \故有：p(dU—rdy+—dN)=dInS-a——InS-p一InSp" 0a 0p )上式指出P是dU-rdy+—dN的积分因子。在热力学部分讲过，dU-rdydN有积p p=dS1 1"一一a一一、=dS分因子下，使〒dU-rdy+节dNTT\ p)比较可知p=&,a=-自0-_八0-_所以：dS=kd(InS-a—InS-p—InS)0 0、积分得.S=k(Ins-a——Ins-p——Ins)=k(Ins+aN+pU)=kInO0a 0&上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。一、理想费米气体的性质、

1.弱简并理想费米气体性质弱简并即气体的。恐或n招虽小但不可忽略的情形。为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平均自由度。分子的能量为1e=2m（p2+py+p2） （16）在体积V内，在8到£+d&的能量范围内，分子可能的微观状态数为2兀V （17）D（8）&=g——（2m）3/281/2&h3其中g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。2nV 81/2d8TOC\o"1-5"\h\z系统的总分子数满足N=g——（2m）3/2卜 （18）h3 0ea+阮+1式（18）确定拉氏乘子a。系统的内能为 U=g詈（2心*涪 （19）引入变量X=能，将上述两式改写为2兀V X1/2dxN=g--（2mkT）3/2J- （18,）h3 0ea+X+1 （18）U=g统(2mkT)3/2kT\xX3/2dx(19')h3 0ea+x+1( )两式被积函数的分母可表为_ 1两式被积函数的分母可表为ea+x+1ea+x(1+e-a-x)1在e-a小的情形下，e-织x是一个小量，可将.展开，只取头两项得1+e-a-x =e-a-x（1—e-a-x） （20）ea+x+1保留展开的第一项相当于将费米气体分布近似为玻尔兹曼分布。在弱简并的情形，我们将保留两项。将（20）式带入（18'）式和（19'）式，将积分求出，得TOC\o"1-5"\h\zN=g（2兀mkT）3/2-e-a（1—上e-a） （21）H2 23/22冗mkT 1U=g（竺竺）3/2Vke-a（1-二e-a） （22）H2 25/2两式相除，得3,… 1两式相除，得U=-NkT（1-—=e-a）\o"CurrentDocument"4t2由于e-a小，可将上式第二项中的e-a用0级近似，即用玻尔兹曼分布的结果带入而得V,h2 1e-a= ( )3/2N2兀mkT gU=-NkT[1+-1=1N(h2)3/2] (23)2 4\；2gV2兀mkT或U=-NkT(1+-^nk3) (23')2 4*上式第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用。2.强简并费米气体性质：当气体满足非简并条件e以>>1或nX3<<1时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形能初步显示二者的差异。下面再以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并ea<<1或泓3>>1情形下费米气体的性质。原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成共有电子。失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。金属的高电导率和高热导率说明金属中自由电子的存在。但如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有3K/2的贡献，这与实际不符。另外，实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。这是经典统计理论遇到的另一个困难。而以上问题可以根据费米分布解决。首先说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体：以铜为例，铜的密度为8.9x103kg•m-3，原子量为63，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则：n=四^xN=8.5x1028m-363a电子的质量为9.1x10-31kg，故nX3=N(工)3/2=3.54x107TOC\o"1-5"\h\zV2兀mkT T3/2在T=300K时，n3=3400，这数值很大，说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。根据费米分布，温度为T时处在能量为£的一个量子态上的平均电子数为：r1 、J= （24）£-.考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V内，能量£到£+d£的

范围内，电子的量子态数为：D（8）d8=4KV（2m）32812d8h3所以在体积V内，能量8到8+d8的范围内，平均电子数为：4兀V 81/2d8——(2m)3/2 h3 8一四ekT+1在给定电子数N，温度T和体积V时，化学势/由下式确定:4兀V 丰81/2d8 nh(2m)3/2j =N0ekT+1由上式可知，"是温度T和电子密度N/V的函数。现在讨论T=0K时电子的分布。以"（0）表示0K时电子气体的化学势，由（24）式知，0K时，f=1,8<目G）f=0,8>/（0）上式的物理意义是，在T=0K时，在8<"（0）的每一量子态上平均电子数为1，在8>"（0）的每一量子态上平均电子数为0。这分布可以这样理解：在0K时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从8=0的状态起依次填充至"（0）为止。"（0）是电子0K时的最大能量，由下式确定：0)81/2d&=N4兀V 、0)81/2d&=N （2m）3/2h3方2 N曰（0）=:方2 N曰（0）=:（3兀2 ）3/22m V"（（））也常称为费米能级，以8表示。令 8=驾，可得:工2n）/3方F 2mFPfpf是0k电子气体的最大动量，称为费米动量。相应速率vf=£F称为费米速率。现在对"（0）的数值作一估计。除质量m外，"（0）取决于电子气体的数密度n。根据前面给出的数据，可以算得铜的"（0）=1.12x10-18J或7.0eV。定义费米温度：kTF="（0）得到铜的七为8.2x104K，远高于通常考虑的温度，说明"（0）的数值是很大的。0K电子气体的内能为：4兀V 四S 3NU（0）=, （2m）3/2J83/2d8=『日（0）h3 」 5

由此可知0K，时电子的平均能量为ju（0）。0K时电子气体的压强为：〃（:0）=2U（0）=2M）V5根据前面的数据，可得0K时铜的电子气体的压强为3.8x1010户。。这是一个极大的数值。它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的简并压。现在讨论0K时金属中自由电子的分布。由（24）式可知：°1f>-，s<a2/=；，s=a2/v2，s>a上式表明，在t>0时，在sva的每一量子态上平均电子数大于1/2，在s=a的每一量子态上平均电子数等于1/2，s>a的每一量子态上平均电子数小于1/2。费米气体的强简并条件e蓦vv1也往往表达为Tvvtf。由此可知，只有能量在a附近，量级为kT范围内的电子对热容量有贡献。根据这一考虑，可以粗略估计电子气体的热一一kT一容量。以N有效表示能量在a附近kT范围内对热容量有贡献的有效电子数：N有效 N将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为3kT，则金属洲自由电子对热容量的贡献为:C=3C=3Nk(史)=3Nk—V2U2TF电子数N满足:现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。4兀vs、rN= （2m）3/2Jh381/2d£8-U

ekT+1上式确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能U为:4兀vs、rU4兀vs、rU= (2m)3/2Jh383/2d80以上两式的积分都可写成下述形式：，rI=j^^ekT+1门(8)d88—[1‘ekT+1其中n（8）分别为Cs1/2