苏科版八年级下册数学《期末考试试卷》含答案解析

苏科版八年级下学期期末测试数学试卷学校________班级________姓名________成绩________一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.从甲、乙、丙、丁四人中任选1名代表，甲被选中的可能性是（）A. B. C. D.13.为了记录某个月气温变化情况，应选择的统计图为（）A.条形统计图 B.折线统计图C.扇形统计图 D.前面三种都可以4.下列各分式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.5.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形 B.正方形C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形6.下列命题是真命题的是（）A.B.若点在反比例函数的图象上，则代数式C.与是同类二次根式D.已知，则7.一次函数y=mx+n与反比例函数y=，其中mn＜0，m、n均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A. B.C. D.8.如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将矩形沿EF翻折，使点A落在BC边上的中点A'处，则折痕EF=（）A. B. C.8 D.10二、填空题（本大题共10小题，共30分）9.化简：=.10.若分式有意义，则x_____．11.“掷一枚骰子，出现点数大于4”_____事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）12.如图，M是□ABCD的AB的中点，AM=3cm，OM=2cm，则□ABCD的周长为____．13.在实数范围内分解因式:x2-3___________；14.一个不透明的盒子中装有15个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验300次，其中有200次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有____个．15.如果点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x1＞x2时，y1＜y2，那么函数y=的图象位于第____象限．16.如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm．点E在AB边上，点P在对角线AC上，则PE+PB的最小值为___cm．17.关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是______．18.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为_______．三、计算题（本大题共4小题，共34分）19.计算：（1）|1-|+（2018-π）0（2）（2+）（2-）+（）20.解方程：（1）（2）+2=21.先化简，再求值：（1-）÷，其中x=5+．22.（12分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？四、解答题（本大题共6小题，共62分）23.某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A．非常了解”、“B．了解”、“C．基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查的市民人数为_____人；（2）补全条形统计图；（3）计算扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数；（4）若该市约有市民1

000

000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．24.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3-1），B（-4，-3），C（-2，-3）．（1）画出将△ABC向上平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；（3）观察图形，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称吗？如果成中心对称，那么对称中心的坐标为_____；如果不成中心对称，请说明理由．25.阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a-2+b≥0．∴a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=x的最小值．解：y=x=2．当且仅当x=，即x=时，“=”成立．∴当x=时，函数取得最小值，y最小=2．问题解决：（1）已知x＞0，求函数y=的最小值；（2）求代数式（m＞-1）最小值．26.如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，反比例函数y=图象经过AB的中点D（1，3），且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n．（1）求k的值和点E的坐标；（2）直接写出不等式-n＞mx的解集；（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．27.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°.（1）如图①.若点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF，求证:△CEF是等边三角形.（2）小明发现，当点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF=60°时，△CEF也等边三角形，并通过画图验证了猜想;小丽通过探索，认为应该以CE=EF为突破口，构造两个全等三角形:小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM=BE，并连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形.请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程.28.如图，正方形ABCD中，点H是边BC上一点（不与点B、点C重合）．连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．延长FG与BC的延长线交于点P，连接DF、DP、FH．（1）∠FDH=______°；DF与DP的位置关系是______，DF与DP的大小关系是______；（2）在（1）的结论下，若AD=4，求△BFH的周长；（3）在（1）的结论下，若BP=8，求AE的长．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.下列图形中是中心对称图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的识别，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．2.从甲、乙、丙、丁四人中任选1名代表，甲被选中的可能性是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据概率公式即可得到结论．【详解】从甲、乙、丙、丁四人中任选1名代表，甲被选中的可能性是．故选A．【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式．3.为了记录某个月的气温变化情况，应选择的统计图为（）A.条形统计图 B.折线统计图C.扇形统计图 D.前面三种都可以【答案】B【解析】【分析】折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势．根据折线统计图的特征进行选择即可．【详解】解：为了记录某个月的气温变化情况，应选择的统计图是折线统计图，故选：B．【点睛】本题考查了统计图的选择，掌握条形统计图、扇形统计图以及折线统计图的特征是解题的关键．4.下列各分式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无相同的因式或互为相反数的因式，互为相反数的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．5.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形 B.正方形C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可．【详解】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE=FG，∴AC⊥BD，AC=BD，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．6.下列命题是真命题的是（）A.B.若点在反比例函数的图象上，则代数式C.与是同类二次根式D.已知，则【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质、反比例函数、同类二次根式的概念和完全平方公式判断即可．【详解】解：A、当a≤0时，=-a，是假命题；B、若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab-4=-2，是真命题；C、与不是同类二次根式，是假命题；D、已知x+=3，则=(x+)2=9-2=7，是假命题．故选：B．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．7.一次函数y=mx+n与反比例函数y=，其中mn＜0，m、n均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的位置确定m、n的大小，看是否符合mn＜0，计算m-n确定符号，即可确定双曲线的位置．【详解】解：A、由一次函数图象过二、四象限，得m＜0，交y轴正半轴，则n＞0，此时mn＜0；则m-n＜0，故反比例函数图象分布在第二四象限，故本选项错误；B、由一次函数图象过二、四象限，得m＜0，交y轴正半轴，则n＞0，满足mn＜0，∵m＜0，n＞0，∴m-n＜0，∴反比例函数y=的图象分布在二、四象限，故本选项正确；C、由一次函数图象过一、三象限，得m＞0，交y轴负半轴，则n＜0，此时，mn＜0，则m-n＞0，反比例函数y=的图象分布在第一、三象限，故本选项错误；D、由一次函数图象过一、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，此时，mn＞0，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．8.如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将矩形沿EF翻折，使点A落在BC边上的中点A'处，则折痕EF=（）A. B. C.8 D.10【答案】B【解析】分析】如图作EH⊥AB于H．连接AA′．则四边形ADEH是矩形，EH=AD=6，由△EFH∽△AA′B，可得，由此即可解决问题．【详解】解：如图作EH⊥AB于H．连接AA′．则四边形ADEH是矩形，EH=AD=6，在Rt△ABA′中，AA′==，∵△EFH∽△AA′B，∴，∴，∴EF=，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换、矩形性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共10小题，共30分）9.化简：=.【答案】２【解析】试题分析：根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.∵22=4，∴=2.考点：算术平方根.10.若分式有意义，则x_____．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【详解】解：由题意得：x-3≠0，

解得：x≠3，故答案为:x≠3【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．11.“掷一枚骰子，出现点数大于4”是_____事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）【答案】随机．【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【详解】“掷一枚骰子，出现点数大于4”是随机事件.故答案为：随机.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.12.如图，M是□ABCD的AB的中点，AM=3cm，OM=2cm，则□ABCD的周长为____．【答案】20cm．【解析】【分析】利用三角形中位线定理求出BC，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，∵AM=BM=3cm，OA=OC，∴BC=2OM=4cm，AB=2AM=6cm∴▱ABCD的周长为20cm．故答案为20cm．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.在实数范围内分解因式:x2-3___________；【答案】（x+）(x-)【解析】解：．故答案为：．14.一个不透明的盒子中装有15个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验300次，其中有200次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有____个．【答案】30．【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【详解】解：设白球有x个，根据题意得：，解得：x=30，经检验x=30是分式方程的解，即白球有30个，故答案为：30．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．15.如果点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x1＞x2时，y1＜y2，那么函数y=的图象位于第____象限．【答案】二、四【解析】【分析】根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据反比例函数的性质解答即可．【详解】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴k＜0，∴函数y=的图象在二、四象限，故答案为：二、四．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．16.如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm．点E在AB边上，点P在对角线AC上，则PE+PB的最小值为___cm．【答案】4.8．【解析】【分析】连结DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE，当DE最小时，DE⊥AB，根据菱形的面积公式求出DE的长即可．【详解】解：如图，连结DE交AC于点P，连结BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO=BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD=PB∴PE+PB=PE+PD=DE，∵E是AB的一点，∴当DE最小时，DE⊥AB，∵AC=8，BD=6，∴AB=5，∴DE===4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出DE=PE+PB，题目比较典型，综合性比较强．17.关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是______．【答案】a＞2且a≠4【解析】【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．【详解】解：两边都乘以x﹣2，得：2x﹣a＝x﹣2，解得：x＝a﹣2，∵方程的解是正数，∴a﹣2＞0，且a﹣2≠2，解得：a＞2且a≠4，故答案为：a＞2且a≠4．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．18.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为_______．【答案】3【解析】【分析】建立下图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，先证明△EDH≌△DGC，则DH=GC=2，DC=EH，设DC=t，则EH=t，点E的坐标为（-t，t+2），然后求得当t=0和t=3时点E的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求解．【详解】解：建立如图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．

∵BC=4，点G为边BC的中点，

∴GC=2．

∵DEFG为正方形，

∴ED=DG，∠EDG=90°．

∴∠EDH+∠GDC=90°．

又∵∠EDH+∠HED=90°，

∴∠GDC=∠HED．

在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，

∴△EDH≌△DGC．

∴DH=GC=2，DC=EH．

设DC=t，则EH=t，

∴点E的坐标为（-t，t+2），

∴点E在直线y=-x+2．

由题意可知：0＜t≤3，

当t=0时，y=2，E（0，2）

当t=3时，y=5，E（-3，5）

∴点E运动的路线长=．

故答案为：3．【点睛】本题考查动点的轨迹、正方形的性质，解题的关键是求得点E运动的轨迹．三、计算题（本大题共4小题，共34分）19.计算：（1）|1-|+（2018-π）0（2）（2+）（2-）+（）【答案】（1）-2；（2）5-2.【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质去掉绝对值，根据零指数幂的意义和二次根式性质化简，然后合并同类二次根式即可求出答案；（2）根据平方差公式以及二次根式的乘法法则即可求出答案．【详解】解：（1）原式=-1+1-3=-2；（2）原式=4-3+4-2=5-2．【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用相关性质及运算法则，本题属于基础题型．20.解方程：（1）（2）+2=【答案】（1）x=9；（2）分式方程无解．【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）两边都乘以x（x-1），得：9（x-1）=8x，解得：x=9，检验：当x=9时，x（x-1）=72≠0，所以分式方程的解为x=9；（2）方程两边都乘以x-4，得：-3+2（x-4）=1-x，解得：x=4，检验：x=4时，x-4=0，所以x=4是分式方程的增根，所以分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21.先化简，再求值：（1-）÷，其中x=5+．【答案】．【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可得．【详解】解：原式=（-）÷=•=，当x=5+时，原式===．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．22.（12分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5．【解析】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可；（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可．试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100．答：甲礼品100元，乙礼品60元；（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5．答：最多可购买5个甲礼品．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题．四、解答题（本大题共6小题，共62分）23.某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A．非常了解”、“B．了解”、“C．基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查的市民人数为_____人；（2）补全条形统计图；（3）计算扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数；（4）若该市约有市民1

000

000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．【答案】（1）500；（2）调查结果为“A”的有160人，补充完整的条形统计图，如图所示；见解析；（3）扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数是43.2°；（4）该市大约有320000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．【解析】【分析】（1）用B等人数除以所占的百分比即可求得这次调查的市民人数；（2）用总人数减去B等和C等的人数求得A等的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）用C等人数除以总人数算出C等所占百分比，然后用360°乘以所占百分比即可求得扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数；（4）先求出样本中A等所占的百分比，然后用320000乘以这一百分比即可估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．【详解】解：（1）280÷56%=500（人），即这次调查的市民人数为500人，故答案为：500；（2）调查结果为“A”的有：500-280-60=160（人），补充完整的条形统计图，如图所示；（3）扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数是：360°×=43.2°；（4）1000000×=320000（人），答：该市大约有320000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3-1），B（-4，-3），C（-2，-3）．（1）画出将△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；（3）观察图形，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称吗？如果成中心对称，那么对称中心的坐标为_____；如果不成中心对称，请说明理由．【答案】（1）△A1B1C1即为所求，见解析；点B1的坐标为（-4，2）；（2）△A2B2C2即为所求，见解析；点B2的坐标为（4，3）；（3）（0，2.5）．【解析】【分析】（1）利用网格和平移的性质画出画出将△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1，然后利用平移规律写出点B1的坐标；（2）利用网格和中心对称的性质画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，然后利用中心对称规律写出点B2的坐标；（3）根据中心对称的性质即可求解．【详解】解：（1）△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（-4，2）；（2）△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为（4，3）；（3）△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称吗，对称中心的坐标为（0，2.5）．故答案为：（0，2.5）．【点睛】本题考查了作图-平移变换、作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．25.阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a-2+b≥0．∴a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=x的最小值．解：y=x=2．当且仅当x=，即x=时，“=”成立．∴当x=时，函数取得最小值，y最小=2．问题解决：（1）已知x＞0，求函数y=的最小值；（2）求代数式（m＞-1）的最小值．【答案】（1）当x=3时，函数取得最小值，y最小=1；（2）当m=1时，函数取得最小值，y最小=4．【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的最小值；（2）现将所求式子变形，然后根据题目中的例子即可求得所求式子的最小值．【详解】解：（1）∵x＞0，∴y=≥=1，当且仅当时，即x=3时，“=”成立，∴当x=3时，函数取得最小值，y最小=1；（2）∵m＞-1，∴==（m+1）+≥2=4，当且仅当m+1=时，即m=1时，“=”成立，∴当m=1时，函数取得最小值，y最小=4．【点睛】本题主要考查非负数的性质和完全平方公式的应用，解答本题的关键是能够正确的理解所给基本不等式的应用，求出所求式子的最小值．26.如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，反比例函数y=图象经过AB的中点D（1，3），且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n．（1）求k的值和点E的坐标；（2）直接写出不等式-n＞mx的解集；（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）k=3，E（2，）；（2）0＜x＜1或x＞2；（3）存在；使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形的P点的坐标为（-2，-）或（，）．【解析】【分析】（1）将D的坐标，代入反比例函数的解析式可求得k的值，然后求得点E的纵坐标，然后将点E的横坐标代入反比例函数的解析式可求得点E的纵坐标；（2）不等式-n＞mx的解集为反比例函数图象位于直线上方部分自变量x的取值范围；（3）分为ED为平行四边形的一边和DE为平行四边形的对角线两种情况列方程求解即可．【详解】解：（1）k=xy=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=．∵D是AB的中点，D（1，3），∴E点的横坐标为2．∴yE=．∴E（2，）．（2）∵不等式-n＞mx的解集为反比例函数图象位于直线上方部分自变量x的取值范围，∴不等式的解集为0＜x＜1或x＞2．（3）存在；∵D（1，3），E（2，），以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，当DE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ=DE，∴Q的纵坐标为0，∴P的纵坐标为±，令y=，则=，解得x=2（舍去），令y=-，则-=，解得x=-2，∴P点的坐标为（-2，-）；当DE是平行四边形的对角线时，∵D（1，3），E（2，），∴DE中点为（，），设P（a，）、Q（x，0），∴÷2=，=，解得：a=，x=．∴P（，），故使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形的P点的坐标为（-2，-）或（，）．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及平行四边形的性质等．27.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°.（1）如图①.若点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF，求证:△CEF是等边三角形.（2）小明发现，当点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF=60°时，△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想;小丽通过探索，认为应该以CE=EF为突破口，构造两个全等三角形:小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM=BE，并连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形.请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）易证△BEC≌△AFC，即可得证；（2）先证得△BEM是等边三角形，再证△MEC≌AFE，即可EC=EF，再由∠CEF=60°即可证明.【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=AD.因为∠B=60°，所以△ABC，△ADC都是等边三角形.所以BC=AC，∠B=∠CAF=∠ACB=60°，又因为BE=AF，所以.△BEC≌△AFC(SAS)，所以CE=CF，∠ECF=∠BCA=60°所以△ECF是等边三角形，(2)因为BE=BM，∠B=60°所以△BEM是等边三角形.所以∠EMB=∠BEM=60°，∠EMC=∠AEM=120°因为AB=BC，∠EAF120°，所以.AE=CM，∠EAF=∠EM.因为∠FEC=60°，所以∠AEF+∠CEM=60°.又因为∠CEM+∠ECM=60°所以∠AEF=∠ECM.所以△MEC≌AFE(ASA)，所以EC=EF.又