中考数学考点,二次函数的图象和性质反比例函数系列

第五节二次函数的图象和性质，精品系列

课标呈现

指引方向

1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

2.会用描点法面加二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.

3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形

式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，

画出图象的对称轴.

4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，

考点梳理

夯实基础

1.二次函数的概念:形如卢/+法+《存0)的函数，称为二次函数.其

中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、.

【答案】a、b、c

2.二次函数表达式的三种表达形式：

(1)-般式:.

(2)顶点式：

(3)交点式:

【答案】(1犷尔+法+以存。)(2))=。

+上(存0)(3)7=。(%-%1)(%-%2)(。翔)

3.二次函数产ax，bx+c(aHO)的图象与性质：

(1)二次函数广数2+以+C(存0)的图象的形状是一条抛物线，顶点坐

标是(一2,丝匚2).对称轴是直线x=—2.

2a4a2a

【答案】抛物线一2,金殳2

2a4a2a

⑵顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为；对称轴

是y轴的抛物线的解

析式形式为；经过原点的抛物线的解析式形式为.

【答案］〉=加(存0»二/+的(存0)y=ax1+hx(a^0)

⑶函数y=ax2+hx+c的增减情况：

①当。>0时：当％<--•时，y随工的增大而；当%>--■时，y随％的

2a2a

增大而；简记为左减右增，这时，当产时，y最小值二.

【答案】减小增大-之处也

2a4a

②当a<0时：当了<--•时，y随工的增大而；当了〉--■时，y随工的

2a2a

增大而；简记为左增右减，这时，当尸一2时，y最大值二%二2.

2a4a

【答案】增大减小虫0

2a4。

(4)二次函数中a、b、c在抛物线图象中的几何意义：

①a决定开口方向及开口大小：当。〉0时，开口向

【答案】上

;当aVO时一，开口向下.时越小，函数图象开口越大.<>

②.a和力共同决定抛物线对称轴的位置：

因为抛物线y=af+bx+c的对称轴是直线x=-2,故：

2a

当b=O时-，对称轴为丫轴；当a和人同号时一，对称轴在y轴的左侧；

当。和匕异号时，对称轴在y轴的右侧,以上特点简记为左同右异.

③c的大小决定抛物线y=+法+c•与y轴交点的位置：\,当x=O

时，y=C,.•.抛物线y=aW+灰+c与y轴有且只有一个交点(0,C)：

c=0,抛物线经过原点：

c>0,抛物线与y轴交于正半轴：

c<0,抛物线与y轴交于负半轴.

(5)函数y=af+Z?x+c("0)图象与X轴的交点情况决定一元二次

方程ax2+/?x+c=O根的情况：

当y=0时-，即可得到一元二次方程af+"+c=0,那么一元二次方

程aW+/?x+c=O的解就是二次函数y+Z?x+c(aw0)的图象与X

轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次

方程根的情况.

①当二次函数的图象与X轴有两个交点时，△=〃_4ac>0,方程有

两个不相等的实数根:

②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时.，

△=〃-4ac=0.方程有两个相等的实数根:

③当二次函数的图象与戈轴没有交点时'，△=〃-4ac<0,方程没有

实数根.

(6)图象的平移：左加右减，上加下减.

■j)^=ax2+k

向

向向下优<0)平移闺个单位

在

右

S台

>

占0

二:

左

左

左

左

加E

4一

♦3S2.

减

喊

千

年

传

移

导W

不

不

单

事

位

向上(h>6.卜M<0泮移照个单位

y=aix-hf

上加下网

第一课时

考点精析专项突破

考点一二次函数的概念

【例1】(2015重庆南开)下列函数：①>=-/+3«一1；②尸缶2；

(§)y-22+x2—x3;(4)y-3—x-ax1;(5)y=(x-l)(x+2)-x2;(6)y=3x2+x>

其中y是x的二次函数的有,

【答案】②⑥

解题点拨：抓住三个关键点，一是最高次数为2；二是最高次项的系

数不为0;三是整式.

【例2】函数y=(m+l)W是二次函数，则m的值是

【答案】1

解题点拨：注意取舍.

变式：y=（加+2）丁"-炉是二次函数，则m的值是一2,1,0.

解题点拨：先对系数m+2按是否为。分类讨论，再对指数〃/+1

按2,1,。分类讨论.

考点三抛物线的对称性

【例3】（2016衢州）二次函数产/+陵+c（叱0）图象上部分点的

坐标（x,y）对应值列表如下：

X

•・•-3-2—101•・・

y

••・-3-2-3-6—11•・・

则该函数图象的对称轴是（）

A.直线x=-3B.直线x=-2

C.直线x=—1D.直线x=0

【答案】B

解题点拨：抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等.

考点三二次函数的增减性

【例4】（1）（2016兰州）点耳（-1,%）,6（3,%），1（5,%）均

在二次函数y=-f+2x+c•的图象上，则X、必、见的大小关系是（）

A.B.力＞%=%C.必＞必＞%D・%=%＞%

【答案】D

解题点拨：二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称

轴的距离比较纵坐标大小.

（2）（2015常州）已知二次函数y=f+（m_i）x+i,当*>1时，），随％

的增大而增大，而m的取值范围是（D）

A.m=—1B.m=3C.m<—1D.m>—1

解题点拨：逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（X

>1）是否是满足条件（y随龙的增大而增大）的所有尤值，而此题就

不一定是所有.

考点四驴抛物线与系数的关系

【例5】（2016兰州）二次函数y=州+c的图象如图所示,对称轴

是直线x=-1,有以下结论：①必c〉0;②4ac<〃；③2a+b=0；④

a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

解题点拨：判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：（1）开

口看a；（2）对称轴得与；（3）y轴截距看c；（4）x轴交点个数看△；

（5）特殊点找a、力、c,的关系.

课堂训练当堂检测

（2016临沂）二次函数^=,4+'+,，自变量x与函数y的对应值如

表:

X

,..—43-2—1••・

y

0-2-20•・・

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.当》>—3时一，y随x的增大而增大

C.二次函数的最小值是一2

D.抛物线的对称轴是直线戈”-之

2

【答案】D

2.（2016广州）对于二次函数y=」/+x_4,下列说法正确的是（）

4

A.当x>0时、y随x的增大而增大

B.当x=2时，y有最大值一3

C.图象的顶点坐标为（-2,-7）

D.图象与x轴有两个交点

【答案】B

3.（2015育才改编）已知抛物线y=a£+"+c的顶点为D（—1,2）,

与x轴的一个交点A在点（一3,0）和（一2,0）之间，其部分图象

如图所示，则以下结论：①而c<0；②/-4acV0；③a+0+cV0；@c-a

=2；⑤方程/+以+c=O有两个相等的实数根.其中正确结论的是

【答案】③④⑤

4.(2015宁夏)已知点A(V3,3)在抛物线y迪x的图象

33

上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B.

(1)求点B的坐标；

(2)求NAOB度数.

，对称轴为直线x=273,

.•.点A(V3,3)关于x=2g的对称点的坐标为(373,3)；

(2)如图：VA(6,3)、B(3V3,3),

•・BC=35/39AC=V3,OC=3,

•••/taAncNcA_OCA。——V3,

OC3

tanNBOC=^=逆=5

OC3

AZAOC=30°,ZBOC=60°,

，NAOB=30°.

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.(2016福州)已知点A(-1,m),B(l,m),C(2,m+1)在同一

个函数图象上，这个函数图象可以是()

2.(2016聊城)二次函数y=+"x+c(a,b,c为常数且存0)的

图象如图所示，则一次函数y=与反比例函数y=£的图象可能是

X

()

3.(2016襄阳)一次函数y=ax+A和反比例函数y,在同一平面直角

X

坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ad+"+c的图象大致为()

4.（2016荆门）若二次函数y=/+加％的对称轴是尤=3,则关于x的

方程X?+〃2X=7的解为（）

A.$=0,无2=6B.X]=1,龙2=7C.$=1,x2=-7D.花

=­Lz=7

【答案】D

二、填空题

5.（2016达州）如图，已知二次函数y=+bx+c（。#））的图象与x轴

交于点A（-1,0）,与y轴的交点B在（0,—2）和（0,-1）之间

（不包括这两点），对称轴为直线x=l.下列结论：

①abc>0；②4a+20+c>0；③8a；（D—<a<—；⑤b>c.

33

其中正确结论是.

【答案】①③④⑤

6.（2016沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=f+2x-3的图象

如图所示，点A（网，y）,B（x2,%）是该二次函数图象上的两点，

其中一3至玉<々50,则下列结论①B<%；②y>%；③y的最小值是

—3；④y的最小值是一4,中正确的是.

【答案】④

7.（2016黄石）以x为自变量的二次函数y=x2_2S_2）x+UT的图象

不经过第三象限，则实数b的取值范围是.

【答案】b>-

4

三、解答题

8.已知抛物线y=-f+2x+3与y轴交于点A,点B的纵坐标是一5.且

横坐标为负数.

(1)求点A、B的坐标;

(2)若点P是抛物线的对称轴上一点，求PA+PB的最小值.

解：⑴A(0,3),B(-2,-5).

(2)4^/5.

9.(2016黄冈)如图，抛物线＞=」/+，+2与x轴交于点A,点B,

-22

与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动

点，设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线/交抛物线于点Q,

交BD于点M.

(1)求点A、点B、点C的坐标；

(2)求直线BD的解析式；

(3)当点P在线段QB上运动时、试探究m为何值时，四边形OMBQ

的面积随m的增大而增大.

解：⑴当x=0时，y==

/.C(0,2),

当y=0时，-—X1+—x+2=0

,22

解得X1=-1，x2—4.

AA(-1,0),B(4,0).

第9题

(2)•.•点D与点C关于x轴对称，

.,.D(0,-2).

设直线BD为尸丘-2,

把B(4,0)代入，得0=4*—2

,k=—.

2

ABD的解析式为y=L-2.

-2

(3)VP(m,0),

.11,3

••M(m9/-2),,Q(m,一~m~4--zzi+2)

当P在线段OB上运动时.

[31]

QM=(-—m2+—m+2)—(-m-2)=——m2+m+4

2222

22

,*•S°VBQ=y，OB.QM=—m+2m+S——(w—I)+9

，当0<m<l时;四边形OMBQ的面积随m的增大而增大.

B组提图练习

10.(2016资阳)已知二次函数'=/+法+,与1轴只有一个交点，且

图象过A(X[,m)、B(x2+n,m)两点，则m、n的关系为()

A.m——nB.m=^-nCm=-zi2D.m=­n2

2424

【答案】D

(提示：抛物线y=f+"+c与无轴只有一个交点，.•.当x=—g时，y=

0.且从一4°=0,即。2=4C.又\,点A。，m),B(w+n,m),...点A、

B关于直线％=对称，，A(----,m),B(-,m),将A点

22222

坐标代入抛物线解析式，得m=(-2_C)2+(_2_q)"c,即m=

2222

———+c,,：=4c,m=—n2,故选D.)

444

11.(2016十堰)已知关于龙的二次函数尸af+"+c的图象经过点(一

2,y),(—1,y2),(1,0),且y<0<y2,对于以下结论：①abc>

Q-,®a+2b+c<0：③对于自变量x的任意一个取值，都有。2+心_2；

b4a

（提示：由题意二次函数图象如图所示，.二"。，ft<0,c>0,：.b>0

故①正确.•.•a+Z?+c=0,a=—匕一c,；.a+3b+2c=-〃-c+3人+2c=2〃+c,

又,；%=—2时，y<0,••4a-2b+c<0,4（-8一c）-2b+c<0即2b+c>0,

：.a+3b+2c>0,故②错误，故答案为②.Va<0,Z.

a^C+bx+c<^aC,ax1+bx<~—>h<0,/.—x2+x>--故③正确.）

4a4ab4。

12.如图，已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,一2),抛物线

F：y=》2—2加x+川-2与直线x=-2交于点P.

(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

(2)若m=-2,抛物线F上有两点(七，y),(々，必)，且工产々5

—2,比较与必的大小；

(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围.

\|

廿

X-2

解：(1)•.•抛物线F经过点C(-1,-2),

-2=1+2m+m2-2,/.—1.

，抛物线F的表达式是y=(x+2)2-1.

(2)当m=-2时一，抛物线F的表达式是y=(x+2)2—2.

...当烂一2时、)，随x的增大而减小.

xx<x^<—2,

y>巴•

(3)—2<m<0或2<m<4.

第二课时

考点精析专项突破

待定系数法求二次函数的解析式

【例6】(1)(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-f+0x+c

上两点，该抛物线的函数表达式是丁=-/+2%+3.

解题点拨：把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求

出方程组的解，即可得出解析式.

(2)已知某抛物线的顶点为(一1,4),且过点(1,0),求该抛物

线的函数表达式,

解题点拨：设顶点式，代点解方程得答案.

解：y-—x2—2x+3.

(3)已知抛物线与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点，在)，轴上

的截距为一4,求该抛物线的函数表达式.

解题点拨：设交点式，代点解方程得答案.

解：y=x2+3x—4.

考点六抛物线与图形变换

【例7】(2016滨州)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平

移3个单位长度，然后绕原点旋转180。得至1」抛物线丁=炉+5》+6,则

原抛物线的解析式是()

A._y=-(%-—)2--B._y=-(%+—)2--

•2424

C.y=-(%--)2--D.y=-(%+—)2+—

•2424

【答案】A

解题点拨：平移问题按照“左加右减，上加下减”解题：旋转问题常

从顶点坐标和开口方向入手.

考点七二次函数的最值问题

【例8】(1)(2016兰州)二次函数y=V+4x-3的最小值是一7.

解题点拨：解法一：背公式.解法二：化为顶点式.

(2)【原创】二次函数y=-2(x+l)(2x-3)的最大值是—•

4

解题点拨：交点式的标准形式中x的系数为1.交点式求最值一般

先求对称轴，再代x求)，.

考点八二次函数的交点问题

【例91(2016滨州)抛物线y=2。-2缶-3与坐标轴的交点个数是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解题点拨：按x、y轴分类讨论.

【例10］如图，抛物线必=d+"+c与直线%=；x-3交于A、B两

点，其中点A在），轴上，点B坐标为（-4,-5）.

（1）求当尤为何值时必＞必；（2）求抛物线的解析式.

解题点拨：（1）将不等式问题转化为图象问题；（2）用待定系数法求解

析式.

解：（1）》＜—4或x＞0.

（2）•••直线y=gx-3交于A、B两点，其中点A在y轴上，

.,.A（0,-3）,

VB（-4,-5）,

.c=—3

16-4b+c=-5

•・j2

c=-3

.•・抛物线解析式为y=J+2》一3.

-2

课堂训练当堂检测

1.(2016泰安)将抛物线y=2(x-1了+2向左平移3个单位，再向下平

移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为()

A.y=2(x+2y+2B.y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2+2D.y=2(x-2了—2

【答案】B

2.(2016青岛)已知二次函数y=3》2+c与正比例函数尸以的图象只

有一个交点，则c的值为()

A.OB.--C.-D.3

33

【答案】C

3.将二次函数y=f+6x+4配成顶点式为,它的图象

开口向，对称轴是直线,顶点坐标为，当戈

尤时，y随尤的增大而减小，当尤时，y有最小值，

是.

【答案】y=(x+3)2-5；上；x=—3；(—3,—5)；<—3；=—3；

—5

4.根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式.

(1)函数有最小值-8,且a:b：c—1：2：(—3)；

(2)函数有最大值2,且过点A(-1,0)、B(3,0)；

(3)当x>—2时)随x增大而增大；当2时，),随x增大而减

小，且图象过点(2,4),与)，轴的交点为(0,-2).

解：(1)y=2x2+4x-6;

\//Z-)\y=——1x2-+元+一3;

22

(3)y=--x1+2x-2.

2

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.(2016山西)将抛物线y=V—4x-4向左平移3个单位，再向上平

移5个单位，得到抛物线的表达式为)

A.y=(x+l)2-13B.)=(x—5)2—3y=(x-5)2-3

C.y=(x-5)2-13D.y=(x+l)2—3

【答案】D

2.二次函数y=f—2x+4化为y=a(x-4+上的形式，下列正确的是()

A.y=(x+l)2+2B.y=(x-l)2+3

C.y=(x-2)2+2D.y=(x—2y+4

【答案】B

3.(2016绍兴)抛物线y=V+bx+c(其中6,c是常数)过点A(2,

6),且抛物线的对称轴与线段y=0(l<x<3)有交点，则c的值不可

能是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

4.(2016南宁)二次函数)，=af+H+c(a#))和正比例函数y=|x的图

象如图所示，则方程尔+s_mx+c=0(o#))的两根之积()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定

【答案】c

二、填空题

5.(2016大连)如图，抛物线y=aW+灰+c与x轴相交于点A、B(m

+2,0)与)，轴相交于点C,点D在该抛物线上，坐标为(m,c),则

点A的坐标是.

【答案】(-2,0)

6.(2016荆州)若函数y=(a-l)d一4x+2a的图象与无轴有且只有一个

交点，贝〜的值为.

【答案】一1或2或1

7.抛物线y=d_2x_3与x的正半轴交于点A,与》，轴交于点B,第四

象限的点C在抛物线上，则AABC面积的最大值是.

【答案】y

三、解答题

8.我们规定：若m=(a,b),n=(c,d),则加.〃=aac+bd.如m

=(1,2),n=(3,5),则机・〃=lx3+2x5=13.

(1)已知m=(2,4),n：(2,13),求利•几；

(2)已知m=(x—a91),n=(x—a?x+1),求y=问y=的

函数图象与一次函数y=的图象是否相交，请说明理由.

解：(1)Vm=(2,4),n=(2,一3),

m-n=2x2+4x(—3)=—8;

(2)Vm=(x—a,1),n=(x—a,x+1),

y=m-n—(x—a)2+(x+l)

=x2-(2a-l)x+«2+1

••y=x2—(2a—l)x+ci~+1

联立方程：x2—(2cz—l)x+«2+1=x—1

化简得：x2-2ax+a2+2=Q

.*A=Z?2—4ac=—8<0.

...方程无实数根，两函数图象无交点.

9.(2015中山)如图，二次函数的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,

0)两点，交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图像上的一对

对称点，一次函数的图像过点B、D.

(1)求二次函数解析式；

(2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范

围；

(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求4ADE的面积.

解：(1)设二次函数的解析式为"―+"+以”0,a、b、c常数).

9a-3h+c=0a=-1

由题意得＜〃+〃+c=0，解得，h=-2

c=3c=3

所以二次函数的解析式为y=-2_2x+3;

(2)如图，以次函数值大于函数值的X的取值范围是x<-2或x>l.

(3)•.•对称轴：x=-l,AD(-2,3)；

设直线BD：y=mx+n,代入B(1,0),D(-2,3)；

解得直线BD:y=-x+1

把x=0代入求得E(0,1).

.\OE=1

XVAB=4,/.SMDE=1X4X3--X4X1=4

B组提高次练习

10.(2016泸州)已知二次函数y=«"0)的图像的顶点在第四

象限，且过点(-1,0),当为整数时，ab的值为()

A.3或1B.4或1C.。或，D.，或之

444244

(答案》A

(提示：依题意知4>0,—>0,a+b-2=0,故A>0,且b=2-a,

2a

a-h=a-(2-a)=2a-2,于是0<。<2,-2<2a-2<2,又a-〃为整数，/.

2a-2=7,0,1,故”11,I，b=^,1,1或1.故选

A.

11.（2016荷泽）如图,一端抛物线:尸-心-2）（04x42）记为G，它与

X轴交于两点O,A；将G绕4旋转180°得到c2,交X轴于4;将G

绕A2旋转180°得到C3交x轴于4；…如此进行下去，直至得到C6,

若点P（11,m）在第6段抛物线C6上，则m=.

K答案》-1

（提示：,.,y=T（x-2）（04x42）,.,.配方可得y=Yx-l）2+I（04x42）,...顶

点坐标为（1,1）,「.A坐标为（2,0）,:C2由G旋转得到，•'•0A=A4，

即顶点坐标为（5,1）,4（6，。）；C4顶点坐标为（7,-1）,4（8,0）；

C5顶点坐标为（9,1）,4（10,0）；C6顶点坐标为（11,-1）,4（12,

0）；；m=-l.）

12.（2016舟山）二次函数y=4_i）2+5,当mo。，且mn<0时，y

的最小值为2m,最大值为2n,求m+n的值.

解：二次函数尸YX-IF+5的大致图像如右：

①当相<0<"41时，则当x=m时y取最小值,即2m=-（相-1）2+5,解得:

m=-2.当x=n时y取最大值，即2n=-(n-i)2+5.解得：n=2或n=-2

(均不合题意，舍去)；

②当时，则当x=m时y取最小值,即2m=(利-叶+5,

解得：m=-2,当x=l时y最大值，即2n=-(1-1)2+5,解得：n=1,所

以m+n=-2+-=-.

22

第三课时

考点精析，专项突破

考点九二次函数与面积

【例11］如图，已知抛物线y=-』+法+C与X轴交于A(-1,0)、B(3,

0)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与

直线BC相交于点M,连接PB.

(1)该抛物线的解析式为:；

(2)SAPQB—；

(3)点D是该抛物线位于第一象限部分上的一点.则相。的面积最

大值为：，此时点D的坐标为：.

R答案力

(1)y=-X2+2x+3;

(2)2

(3)江;(J母

824

解题点拨：①在函数问题中，当点的坐标未知(如本题的点D)时一，

通常可以先用字母设出点的坐标，然后利用坐标表示出线段的长度，

进而再利用几何知识解决问题；②对于不能直接表示的面积要学会灵

活应用割补法.

【例12】(2016乐山改编)在直角坐标系xoy中，A(0,2)、B(-1,

0),将A4BO经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的ABCQ.

(1)则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：；

(2)连结AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线

PC将AA8c的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标；

(3)现将AA80、ABCC分别向下、向左以相同的速度同时平移，且AA8O

与A88重叠部分的图形是三角形时t的取值范围，并求此时重叠部分

的面积.

K答案』

lf+k+2

22

解题点拨：①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法：其

一，首先分别表示出它们的面积再利用方程求解；其二，把它们的面

积关系转化为线段关系，再借助坐标把线段关系转化为方程；②注意

考虑分类讨论；③学有余力的同学第(3)问还可以自主探索重叠部

分不是三角形时的重叠部分面积.

解：(1)y=--x2+—+2.

22

(2)如图1所示，设直线PC与直线AB交于点E.

,直线PC将AA8C的面积分成1:3两部分，

空」或空=3.

BE3BE

过E作EF±OB于点F,则EF/7OA.

/.△BEF^ABAO,.•.竺=丝=丝.

AOBAB0

设直线PC解析式为丫="+〃，则可求得解析式为y=Y

5

•321c27•2-P,\

••——+-x+2=----x+—,••X\=-----,=1\ZA)

225515

当嚼=3时,E(—同理可得心(空,带

DE,4/I49

(3)当1<t<g时，△4%与M2G4重叠部分为三角形

如图2,设的夕必与△&G4重叠部分的面积为为S.

可由已知求出4勺的解析式为y=2x+2-z,44与x轴交点坐标为

H(―,0).

2

44与G4的交点G,且G(1-t,4-3t)

•2-t4-

•・D】H=+1-昨2，4G=4-3-

S=(DXH.£>©=：(3f-4》

课堂训练当堂检测

1.抛物线y=/一4牙+4与坐标轴的交点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

2.若b<0,则二次函数y=/+康_1的图像的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限

D.第四象限

【答案】D

3.已知二次函数y=-x2-2x+3的顶点为P,其图像与X轴交于A、B

两点，则之疑二・

【答案】8

4.(2016安徽改编)如图，二次函数'=-92+3x的图像经过点A(2,

m)与B(n,0)(n>0)

(1)则m=,n=；

(2)点C是该二次函数图像上A、B两点之间的一动点，横坐标为

x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函

数表达式，并求S的最大值.

(2)解：(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2,0),连接

CD,过C作CELAD,CFJ_x轴，垂足分别为E,F

SAMD=(W4〃=(X2X4=4;

S=5AD-CE=—x4x(x-2)=2x—4;

?22

SMD=i^9-C7=-^x4x(--^x+3x)=-x+6x

贝US=SMM+S.CD+=4+2x-4+-/+6*=一/+以

.••S关于X的函数表达式为S=-/+8x(2<X<6=

S=-X2+8*=-(x-4)2+16

...当x=4时，，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.抛物线/=-（*-1）2++2与丫轴的交点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,0）D.（2,

0）

【答案】A

2.已知二次函数y=/+5一1卜+1,当x>l时，y随X的增大而增

大；当XVI时•，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A.m=—1B.m=3C.mW—1D.m2

—1

【答案】A

3.（2016重庆育才）已知抛物线y=a/+6x,当a>0,b<0时，它

的图像经过（）

A.一、二、三象限；B.一、二、四象限；C.一、三、四

象限；D.一、二、三、四象限

【答案】B

4.若抛物线y=/+法的对称轴过点（2,0）,则关于x的方程/+/=5

的解为（）

A.x】=0,x2=4B・X[=l,x2=-5C.X]=1,x2=5

D.X]=-1,x2=5

【答案】D

二、填空题

5.抛物线y=i—2x-3的顶点坐标为.

【答案】（1,-4）

6.（2016天津模拟）如果抛物线y=f：2_2x+8与X轴交于A、B两点,

与y轴交于点C,则

【答案】24

第R即

7.（2016长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A

在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4,3）,D是抛物线y=-x2+6x上

一点，且在x轴上方，则4BCD面积的最大值为・

【答案】15

三、解答题

8.如图，抛物线y=f_3x_4与x轴交A、B两点（A点在B点左侧）,

直线与抛物线＞=--3-4交于A、C两点.若p是线段AC上

的一个动点（不与A,C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于

点E点，连接AE,CE.设AAEC的面积为S,求S的最大值.

解：易得:A（-1,0）,B（4,0）,C（3,4）

设P（m,-m-1）,则E（m,m2-3m-4）

・二P是线段AC上的一个动点(不与A,C重合)

2

工-1<W<3,PE=-m+2m+39

S=S"EA+S"EC=5,(—+2//z+3)•4=—+4/n+6=—2(//i—1)~+8

当m=l时，S=8

9.(2016重庆一中改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线

丫=/+法+4与*轴交于人、B两点，与y交于点C,且OC=2OA.抛

物线的对称轴为直线x=3,且与x轴相交于点D.

(1)该抛物线的解析式为.

(2)点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点

P的横坐标为m.是否存在点P,使得鼠*=45加80?若存在，求出

此时m的值.

【答案】(1)y=-32+；x+4

(2)过点P作PQ〃y轴交直线CD于Q,\•直线x=3与x轴交于D,

AD(3,0)

直线CD:y=/x+4

3

>•*Xp=m9•*.P(m,-—m2+—/n-i-4)

42

,.，PQ〃y轴，.*.Q(m,-^,n2+4)

•SNCD=；PQOD,••5=—x3x」病+%+4-一%+4]=二/+乙

42I3J84

又…20,j=20x+，解得m=4或等.

B组提高练习

10.（2016济南模拟）如图，已知抛物线丫=/+法+0与x轴交于A、

B两点，顶点C的纵坐标为-2,现将抛物线向右平移2个单位，得到

抛物线丫=4y+*+6，则下列结论：①b>0；②a—b+c<0；③阴影

部分的面积为4;④若C=—1,则/?2=4a,其中，正确的是（）

A.①③B.②③C.②④D.③④

笫iott

【答案】D

（提示：...抛物线开口向上,，a>。，又...对称轴为…

VO,•,•结论①不正确；,.•x=-1时;y>0,a—b+c>0,...结论②

不正确；•••抛物线向右平移了2个单位，，平行四边形的底是2,:

函数广泼+法+c的最小值是y=-2,...平行四边形的高是2,阴影部

分的面积是2义2=4,.•.结论③正确；.•./=4〃，

4a

结论④正确.综上，结论正确的是：③④.故选D.

11.（2016重庆南开中学改编）如图，矩形OABC中，OA=1,OC=2.二

次函数y=d+9x一3的图像经过D、B两点.在BD下方的抛物线上有

22

一点M,使得四边形BCDM的面积为9,则点M的坐标为.

【答案】（-1,-3）

（提示：设M（m,病+|巾|）,过M作MNJ_x轴，交BD与N,贝I」：

MN(*M-XD)，MN{X，

SgDM~~S.MN+SgMNS&DMN=3S2MN=3B-xN)

S岫DM=；MN(*XD)=2MN,设直线BD的解析式为y=kx+b,把(1,2),

=一

2,因止匕BD：.・.N(m,

'f-3k+b=0........L_322

\o——

t2

—m+—),MN——AH+--m2-—m+—=-nr-2〃z+3,=-2n-4浒6,

222222

又3只小”...S=S叱+S皿=-2心4他+7'...-2加-4，"+7=9,

m=-1,M(—，—3))

笫“陶

12.（2016四川成都改编）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线

y=g(x+i%3与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交

于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.

(1)则SMDB，S4sco一，四边形ABCO—•

(2)若过点H的直线1将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部

分时，求直线1的函数表达式.

【答案】(1)2,，10

23

(2)易得A(-4,0),B(2,0),C(0,-|),D(-l,-3)

从面积分析知，直线1只需与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线1与AD相交于点M附，则3,...—B(-y,)=3,

...y%=-2,点M(—2,—2)，过点H(—1,0)和M(一2,—2)

的直线1的解析式为y=2x+2

②当直线1与BC相交于点M,时，同理可得点,—2),过点H

2

(-1,0)和忆(L-2)的直线1的解析式为尸-九-3.

233

综上所述：直线1的函数表达式为"2x+2或y=-±x--

第四课时

考点精析专项突破

考点十角相等问题、线段的最值

【例13】在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+云+c与x轴交于A(一

1,0),B(-3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上，且NAPD=

ZACB,求点P的坐标；

(3)点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最

远，求点Q坐标.

解题点拨：角相等问题通常选择构造直角三角形，从而转化为正切值

相等或相似求解；线段问题通常设定坐标转化，转化为代数式或方程

求解.

解：(1)二次函数的解析式是4》一3,BC所在直线解析式为

y=-X-3.

(2)由y=-*2-4x-3可得D(—2,1),C(0,一3),，OB=3,OC=3,

OA=1,AB=2,可得AOBC是等腰直角三角形

.,.ZOBC=45°,CB=3夜

如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F,.•.AF=』AB=1,过点A作

2

AE_LBC于点E,ZAEB=90°

可得BE=AE=夜，CE=2夜，.\ZAEC=ZAFP=90o,NACE=NAPF,

.'.△AEC^AAFP

—...交="，，PF=2,...点P的坐标为（-2,2）或（一2,

AFPFtPF

-2）

（3）设点Q（m,n）,过点Q作QH〃BC于H,并过点Q作QS〃y

轴交直线BC于点S,则S点坐标为（m,-m-3）

•.•QS—n-(-m-3)="+3

2

二点Q(m,n)在抛物线y=・d.4工_3上，/.y=-x.4X.3,

QS-(-/n2-4m-3)-(-m-3)=-nr-3m

VBO=OC,ZBOC=90°,AZOCB=45°

•.•QS〃y轴，...NQSH=45。，AAQHS是等腰直角三角形；

QH二老〃八逑更新+与+述

222轴2丁8

当片一。时,QH有最大值竽，.,.此时Q联会

.♦•Q点的坐标为Q&i由时，点Q到直线BC的距离最远.

考点二四边形或三角形的存在性问题

【例14】(2016凉山州)如图，已知抛物线y=d-2x-3经过A、B、

C三点，直线1是抛物线的对称轴.

(1)设点P是直线1上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之

和最短时，则点P的坐标为；

(2)点M也是直线1上的动点，且AMAC为等腰三角形，请直接

写出所有符合条件的点M的坐标.

解题点拨：抛物线问题中涉及三角形或四边形存在性问题时，通常有

两种策略：(1)应用坐标法表示出相应线段后通过方程解答；(2)灵

活应用相关几何知识进行分析解题.此类题容易出现的分类讨论有：

等腰三角形哪两边相等的讨论，直角三角形直角顶点的讨论，平行四

边形哪两边是邻边的讨论等.

【答案】(1)(1,-2)

(2)如图所示：抛物线的对称轴为：尸一2=1,设M(1,m),已

2a

知A(—1,0)、C(0,—3),则：M42=/+4,MC2=(3+ni)2+1=*+6帆+10,

AC2=10;

2

①若MA=MC,则MA?=A02,得：+4=m+6m+10?解得：m=l;

②若MA=AC,则肠4?=AC"得：>+4=10,得m=?娓;

③右MC=AC,则MA2=AC2,得：nr+6m+10=10,得：叫=0,?=-6;

当m=-6时，A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍

去；

综上可知，符合条件的M点的坐标为M(1,瓜)、(1,—6)、(1,

一1)、(1,0)

课堂训练当堂检测

1.(2016重庆八中)二次函数y=-x、4x的最大值为()

A.-4B.2C.0D.4

【答案】D

2.(2015泸州)若二次函数冲泼+加+以”0)的图像经过点(2,0),

且其对称轴为x=l,则使函数值y>0成立的x的取值范围是()

A.x<-4或x>2B.14WxW2C.xW—4

或x22D.-4<x<2

【答案】D

3.（2016重庆外语校）y=Y-2x+4的顶点坐标为.

【答案】（1,3）

4.（2016上海改编）如图，抛物线），=加+区-5（4?0）经过点A（4,-

5）,与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB,抛物

(1)求出这条抛物线的表达式及四边形ABCD的面积；

(2)如果点E在y轴的正半轴上，且N8E0=NA3C,求点E的坐标.

解：(1)抛物线的表达式为y=x~-4%-5,S四边形ABCD=SZMBC+SZ\ACQ=18.

(2)过点C作CHLAB,垂足为点H.

，

,•S^BC=^XABXCH=10,AB=5五,：.CH=242

在R/ZX8C“中，NBHC=9U°,BC=5BH=^BC