新教材2023年高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.3利用导数解决与函数有关的问题课件新人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.3利用导数解决与函数有关的问题关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养目标·定方向素养目标·定方向学习目标核心素养借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用数学运算能利用导数解决简单的实际问题数学运算能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题数学运算逻辑推理关键能力·攻重难题型探究题型一三次函数的零点问题典例1【对点训练】❶设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是___________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.[解析]

方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；①③④⑤

对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．方法二：根据题意，直线y＝－b和函数f(x)＝x3＋ax的图象有且仅有一个公共点．先考虑a＝－3的情形，此时f′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2，如图所示．于是当b<－2或b>2时符合题意，故①③符合题意．再考虑a≥0的情形，此时f′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)单调递增，且值域为R，必然符合题意，故④⑤符合题意．题型二利用导数证明不等式典例2[规律方法]

构造函数法证明不等式一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．3．借助构造函数的单调性可证结论成立． (1)(2022·龙凤高二检测)函数f(x)＝ex－kx，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则k的取值范围是 (

)A．k≤1

B．k≤2题型三恒成立问题典例3C

A

[规律方法]

分离参数法恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离，转化为最值问题．1．在某区间上，f(x)≥m恒成立，则函数f(x)的最小值大于等于m.2．在某区间上，f(x)≤m恒成立，则函数f(x)的最大值小于等于m.x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)↘极小值↗题型四实际生活中的最值问题典例4[分析]

代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．[规律方法]

解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．易错警示利用参变分离时忽视自变量的取值范围

设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为____．典例54

[误区警示]

本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1，1]．课堂检测·固双基1．函数f(x)＝(x2＋tx)ex(实数t为常数，且t<0)的图象大致是

(

)[解析]

由f(x)＝0得x2＋tx＝0，得x＝0或x＝－t，即函数f(x)有两个零点，排除A，C，函数的导数f′(x)＝(2x＋t)ex＋(x2＋tx)ex＝[x2＋(t＋2)x＋t]ex，当x→－∞时，f′(x)>0，即在x轴最左侧，函数f(x)为增函数，排除D．B

C

3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为

(

)C

m>7

5．给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]的解的个数．[解析]

(1)函数的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以，f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1.也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减1单调递增(2)由(1)可知，函数的最小值为1.当x→