2023年高考数学文一轮复习第8章8.5直线平面垂直的判定与性质

8.5直线、平面垂直的判定与性质INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【考试要求INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,a⊥β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥αINCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识拓展INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.(√)INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是相交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．2．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．答案必要不充分3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.(1)解如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)证明连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1内．在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD;[切入点：线面垂直](2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.[(1)问关键点：找平面PAM或平面PBD的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算]INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝eq\r(2)，圆锥的侧面积为eq\r(3)π，求三棱锥P－ABC的体积．(1)证明∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(3)π，rl＝eq\r(3)，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)，AC＝2rsin60°＝eq\r(3)，在等腰直角三角形APC中，AP＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△PAO中，PO＝eq\r(AP2－OA2)＝eq\r(\f(6,4)－1)＝eq\f(\r(2),2)，∴三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(6),8).思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝eq\r(2)a，PD＝2a，PM＝eq\r(3)a，由PM⊥MC，可得PC＝eq\r(PM2＋MC2)＝eq\r(3a2＋a2)＝2a，由S△PCD＝eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(4a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(7),2)a2＝8eq\r(7)，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(4＋8)×4×4eq\r(3)＝32eq\r(3).INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教师备选INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\张梦梦\\2022\\大一轮\\数学\\数学人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\梦梦\\数学人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝eq\f(1,2)BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝eq\r(7)，SE＝eq\r(3)，BD＝2OB＝2eq\r(3)，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝eq\r(SE2＋BE2)＝eq\r(10)，∴cos∠SBD＝eq\f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq\f(3\r(30),20)，∴eq\f(OB,BM)＝eq\f(3\r(30),20)，∴BM＝eq\f(2\r(10),3)，∴eq\f(BM,BS)＝eq\f(2,3).思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PD，PQ，QE，则PQ∥BC.因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.因为DE⊥A1D，DE⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，又A1C⊂平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.因为DE∩DP＝D，DE，DP⊂平面DEQP，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.课时精练1．(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是()A．m⊥α，n∥α，则m⊥nB．m⊥α，n⊥α，则m∥nC．m⊥α，m⊥n，则n∥αD．m⊥n，n∥α，则m⊥α答案D解析对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．2．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m⊂β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β答案D解析对于A，有可能出现α，β平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β⇒α∥β，故C错误；对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中正确的是()A．AC与B1C是相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直答案D解析如图，连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误；因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误；连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为∠D1BC，为锐角，故C错误；连接BD，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确．5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．6．(2021·新高考全国Ⅱ改编)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()A．①② B．①③C．②③ D．③④答案C解析设正方体的棱长为2，对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，图(1)故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在Rt△OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立．对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，图(2)则OP＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3)，PB＝eq\r(2)，OB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，又PB∥MN，所以OP⊥MN.对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，图(3)所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，所以OP⊥MN.对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，图(4)若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．答案垂直解析∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P－ADE的体积．(1)证明如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD，因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB.(2)解因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝eq\r(3)，底面ABCD的面积为2eq\r(3)，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，因为E为PB的中点，所以VP－ADE＝VB－ADE＝eq\f(1,2)VP－ABD＝eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝eq\f(1,2).11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑．12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1⊥B1C1解析当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，∴又AB1⊂平面ACB1，∴AB1⊥BC1.14．(2022·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝______.答案eq\f(4\r(5),5)解析如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面S