系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)

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系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。一、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t)产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有

(式中和均为有界的正实常数)，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t)绝对可积，即

＜∞

（6-36)证明

设激励f(t)为有界，即

式中，为有界的正实常数。又因有

故有

(6-37)由此式看出，若满足

＜∞则一定有

证毕即也一定有界。式中为有界的正实常数。由式(6-36)还可看出，系统具有稳定性的必要条件是

(6-38)式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为

＜∞

(6-39)

(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s域中进行。在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断，已如上所述。下面研究如何从s域中判断。1.从H(s)的极点［即D(s)=0的根］分布来判定若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面，则系统是稳定的。若H(s)在jω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在jω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。2.用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s)的极点值。但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s)的极点就困难了。所以必须寻求另外的方法。其实，在判定系统的稳定性时，并不要求知道H(s)极点的具体数值，而是只需要知道H(s)极点的分布区域就可以了。利用罗斯准则即可解决此问题。罗斯判定准则的内容如下：例6-24

已知。试判断系统是否稳定。解：

因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系数均为大于零的实常数且无缺项，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：由于第3行的第一个元素为0，从而使第4行的第一个元素成为(-∞)，使阵列无法继续排列下去。对于此种情况，可用一个任意小的正数来代替第3行的第一个元素0，然后照上述方法继续排列下去。在计算过程中可忽略含有,的项。最后将发现，阵列第一列数字符号改变的次数将与ε无关。按此种处理方法，继续完成上面的阵列：

可见阵列中第一列数字的符号有两次变化，即从变为,又从变为6。故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故系统是不稳定的。例6-25

已知。试判断系统的稳定性。解：

因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见第4行全为零元素。处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个s的多项式P(s)，即将式(6-41)对s求一阶导数，即现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行(行)的元素，然后再按原方法继续排列下去。即

可见阵列中的第一列数字符号没有变化，故H(s)在s平面的右半开平面上无极点，因而系统肯定不是不稳定的。但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。令

解之得两个纯虚数的极点：。这说明系统是临界稳定的。实际上，若将D(s)分解因式，即为可见H(s)共有4个极点：,位于轴上；，位于s平面的左半开平面。故该系统是临界稳定的。例6-26

图6-38所示系统。试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。

图6-38解：解之得欲使此系统稳定的必要条件是中的各项系数均为大于零的实常数，故应有K＞-1。但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如下：