第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（原卷版）

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【知识点梳理】知识点1.求点线、点面、线面距离的方法(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2.异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若，则θ即为所求；若，则即为所求.知识点3.直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.知识点4.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角.如图③，为二面角的平面角.知识点5.求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解.【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【典型例题】题型一：异面直线所成的角例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例2．（2022·福建·泉州五中高一期中）在长方体中，，，点、分别是棱、的中点，、、平面，直线平面，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例3．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．例4．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）在长方体中，已知，则直线和直线所成角的余弦值是___________.例5．（2022·河北邢台·高一阶段练习）如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角的正切值为______．例6．（2022·江苏·连云港高中高一阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.(1)求证：平面；(2)当，时，求直线与所成角的余弦值；题型二：线面角例7．（2022·黑龙江·大庆中学高一期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形．(1)求证：平面；(2)若与相交于O，求与平面所成角的大小．例8．（2022·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，.(1)求线段的长；(2)若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值.例9．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）如图，在五面体中，为边长为的等边三角形，平面，，．点为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．例10．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高一阶段练习）在正方体中(1)求直线与平面ABCD所成角的正切值．(2)求证：．例11．（2022·河北邢台·高一阶段练习）如图，已知在平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，，且PA＝CD＝2AB＝2．将此平面四边形ABCP沿CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，连接PA、PB．(1)求证：平面PBC⊥平面PBD；(2)设Q为侧棱PC的中点，求直线PB与平面QBD所成角的余弦值．例12．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）如图，已知是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，(1)求证：平面ABC；(2)求证：平面EDB；(3)求直线AD与平面EDB所成角的余弦值．题型三：二面角例13．（2022·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.例14．（2022·山东省临沂第一中学高一阶段练习）如图，是的直径，C是圆周上异于的点，是平面外一点，且．(1)求证：平面平面；(2)若，点是上一点，且与在直径同侧，．①设平面平面，求证：；②求二面角的正切值．例15．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，，，平面，分别为的中点，．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的大小．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．(1)证明：EF⊥平面ABE；(2)求二面角D﹣BF﹣E的余弦值．例17．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD(1)证明：AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．例18．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为．(1)求四棱锥的体积；(2)若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；(3)求二面角的正切值．题型四：距离问题例19．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，，PA=PB，AB=PC=4，点M是AB的中点，点N在线段BC上．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若二面角的大小为，求N到平面PCD的距离．例20．（2022·上海市浦东复旦附中分校高一阶段练习）长方体中．(1)求证：平面平面；(2)若此长方体，，，求平面到平面的距离．例21．（2022·湖南·高一课时练习）长方体的棱，，．(1)求点B和点之间的距离；(2)求直线CD和平面的距离；(3)求点到平面的距离．例22．（2022·内蒙古·开鲁县第一中学高一期中）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．题型五：体积问题例23．（2022·北京·北师大实验中学高一阶段练习）如图，直四棱柱中中，，，，，设M为的中点．(1)求四棱柱的表面积；(2)求证：面；(3)连接，记三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求的值．例24．（2022·全国·高一专题练习）如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，2AD=2DC=EC，，点B为线段EC上的中点，将△ABE沿AB折到的位置，使二面角的大小为，如图2．(1)求证：AB∥平面；(2)试确定过AB的截面，使垂直于该截面，说明理由，并求该截面将几何体分成的两部分体积之比；例25．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=4，BC=CD=2，PA=PC=PD，AD∥BC且AD⊥DC，O，M分别为AC，PA的中点．(1)求证：BM∥平面PCD；(2)求证：PO⊥平面ACD；(3)若二面角P﹣CD﹣A的大小为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．例26．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点．(1)与所成的角是否为定值，试说明理由；(2)若二面角为，求四面体的体积．例27．（2022·山东·济南市教育教学研究院高一阶段练习）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积．例28．（2022·山东·高一期末）如图，在圆锥中，，，为底面圆上的三个点，，且，．(1)证明：平面．(2)求四棱锥的体积．【过关测试】一、单选题1．（2022·山东·高一期末）在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的周长是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（

）A．直线与为异面直线B．平面C．三棱锥的表面积为D．三棱锥的体积为4．（2022·山东·济南市教育教学研究院高一阶段练习）正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为3，D，E分别为，上靠近A，B的三等分点，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．5．（2022·山东·高一期末）在正三棱柱中，，为的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（

）A． B．C． D．6．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（

）A． B． C． D．7．（2022·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一阶段练习（文））如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海市浦东复旦附中分校高一阶段练习）在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·河北·沧县中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（

）A．异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为1C．二面角的大小为D．与底面所成的角的正切值为10．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（

）A．点A到平面A1BC的距离为 B．平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1PC．三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D．二面角A1-BC-A的大小为11．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（

）A．两条异面直线和所成的角为B．直线与平面所成的角等于C．点D到面的距离为D．三棱柱外接球半径为12．（2022·福建三明·高一期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖膈”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．三、填空题13．（2022·北京一七一中高一阶段练习）在正方体中，直线与平面所成角为，___________.14．（2022·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）棱长为2的正方体中，点到平面的距离为___________.15．（2022·河北邢台·高一阶段练习）如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角的正切值为______．16．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，则二面角的余弦值为___________.四、解答题17．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值.18．（2022·湖北·高一阶段练习）如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，F是的中点，点E是线段上，且．(1)证明：直线平面BDE．(2)若，，，求点F到平面BDE的距离．19．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F分别为，，的中点，，．(1)求证：平面BEF；(2)求点D与平面的距离；(3)求二面角的正切值；20．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）在四棱柱中，侧面底面，且侧面为矩形，底面为菱形，O为与交点，