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概念的引入方阵可逆的充要条件第五节

逆矩阵逆矩阵的概念可逆矩阵的运算性质在数的运算中，当数时，有其中

为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的乘法运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，是否存在一个矩阵,使得成立?一、概念的引入否则称A是不可逆的.设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使AB=BA=I,则称A是可逆的,并称B为A的一个逆矩阵二、逆矩阵的概念定义1例如:对于矩阵由于故矩阵A是可逆的,并且矩阵B为矩阵A的逆矩阵.同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.（2）逆矩阵是对方阵而言的

（3）逆矩阵是相互的若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。说明:(1)事实上三、可逆矩阵的运算性质故由可逆的定义知：证明:因为A可逆，则有证明证明设n阶方阵如下：四、矩阵可逆的充要条件1、伴随矩阵为A的伴随矩阵.定义2那么，对于矩阵，（2）逆矩阵是对方阵而言的P101-102353740(1)4551判断矩阵A可逆方法：所以的逆矩阵是唯一的。其中为的倒数，四、矩阵可逆的充要条件（2）逆矩阵是对方阵而言的逆时，有：若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.P101-102353740(1)4551使得成立?AB=BA=I,则称A是可逆的,并称B为A的一个逆矩阵使得成立?其中为的倒数，（2）逆矩阵是对方阵而言的所以的逆矩阵是唯一的。定理

矩阵Ａ可逆的充要条件是，且当Ａ可逆时，有：

证明若可逆，2、方阵可逆的充要条件由定义得证毕例2求方阵的逆矩阵.否则称A是不可逆的.例9:设A为一个三阶方阵,定理矩阵Ａ可逆的充要条件是，且当Ａ可判断矩阵A可逆方法：AB=BA=I,则称A是可逆的,并称B为A的一个逆矩阵同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.使得成立?P101-102353740(1)4551所以的逆矩阵是唯一的。使得成立?其中为的倒数，单位阵相当于数的乘法运算定理证明解法1(待定系数法)则所以设是的逆矩阵,又因为解法2(伴随矩阵法)例2求方阵的逆矩阵.解同理可得故例3：设解于是注意：对于此类证明题，主要根据所给关系式分解出所求矩阵因子，用定义证明。例7

设

解：把矩阵A划分为例9:设A为一个三阶方阵,为A的伴随矩阵,求:解思考题答思考题答案：逆矩阵性质：A的逆矩阵唯一小结判断矩阵A可逆方法：求逆矩阵的方法若AB=I或BA=I则常见矩阵的逆矩阵判断矩阵A可逆方法：若设和是的可逆矩阵，P101-102353740(1)4551P101-102353740(1)4551（2）逆矩阵是对方阵而言的设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使P101-102353740(1)4551同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.例2求方阵的逆矩阵.判断矩阵A可逆方法：（或称的逆）；（2）逆矩阵是对方阵而言的所以的逆矩阵是唯一的。（2）逆矩阵是对方阵而言的若AB=I或BA=IP

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