高中数学人教版A版三学案：3.1.3　概率的基本性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．1.3概率的基本性质[学习目标］1。了解事件间的相互关系。2。理解互斥事件、对立事件的概念。3。会用概率的加法公式求某些事件的概率．知识点一事件的关系与运算1．事件的包含关系定义一般地,对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）符号B⊇A（或A⊆B)图示注意事项①不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C为任一事件）；②事件A也包含于事件A，即A⊆A；③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生2。事件的相等关系定义一般地，若B⊇A,且A⊇B,那么称事件A与事件B相等符号A＝B图示注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓A＝B，就是A，B是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3。事件的并（或和）定义若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）符号A∪B(或A＋B）图示注意事项①A∪B＝B∪A；②例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4点这两个事件，则C2∪C4＝｛出现2点或4点}4。事件的交(或积)定义若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）符号A∩B(或AB）图示注意事项①A∩B＝B∩A；②例如，掷一枚骰子，事件{出现的点数为奇数}∩事件｛出现的点数为偶数}＝∅5。互斥事件和对立事件互斥事件定义若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号A∩B＝∅图示注意事项例如,在掷骰子试验中，记C1＝｛出现1点｝,C2＝｛出现2点｝，则C1与C2互斥对立事件定义若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号A∩B＝∅，A∪B＝Ω图示注意事项A的对立事件一般记作eq\x\to（A)思考(1）在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数｝，事件A与事件B应有怎样的关系？(2）判断两个事件是对立事件的条件是什么?答（1）因为1为奇数,所以A⊆B。（2）①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1。(2）必然事件的概率为1。（3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率fn（A∪B)＝fn（A）＋fn（B）,则概率的加法公式为P（A∪B）＝P(A)＋P（B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件，P（A∪B)＝1。再由互斥事件的概率加法公式P(A∪B）＝P(A)＋P（B),得P(A）＝1－P（B)．题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中，任取一张．(1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解（1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃"是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2）既是互斥事件,又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟1.要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下,看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点｝，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝｛出现4点｝,事件C5＝{出现5点},事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1｝，事件D2＝{出现的点数大于3｝，事件D3＝｛出现的点数小于5}，事件E＝｛出现的点数小于7｝,事件F＝｛出现的点数为偶数｝,事件G＝｛出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：（1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；（2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3，C4⊆D3。同理可得,事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5,C6;事件D2包含事件C4,C5，C6；事件F包含事件C2，C4,C6;事件G包含事件C1，C3，C5。且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1。(2)因为事件D2＝｛出现的点数大于3｝＝{出现4点或出现5点或出现6点｝，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得,D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6,F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5。反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算．（2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球,现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球｝，事件B＝｛3个球中有两个红球，一个白球},事件C＝{3个球中至少有一个红球｝,事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：（1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系?（2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解(1）对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B。（2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A＝A。题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解方法一设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1234561（1，1）(1,2）（1,3)（1，4）(1，5）(1,6)2(2,1)(2,2）（2，3）(2，4）(2,5）(2，6)3(3，1）(3，2）(3,3)(3,4)(3，5)(3,6）4(4，1)（4，2)(4,3)（4，4)(4,5)（4，6）5（5,1)（5,2）(5，3）(5,4）(5,5)（5,6)6(6,1)(6,2）(6,3)(6，4）(6，5）(6,6)共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以P(A）＝eq\f（20,36)＝eq\f(5,9)。方法二设“至少有一个5点或6点"为事件A,至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，记为eq\x\to(A）。如上表，既没有5点又没有6点的结果共有16个,则既没有5点又没有6点的概率为P（eq\x\to(A))＝eq\f（16，36)＝eq\f(4，9）.所以至少有一个5点或6点的概率为P（A)＝1－P(eq\x\to（A))＝1－eq\f(4，9)＝eq\f(5,9)。反思与感悟1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P（A）＋P（B)．2．对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少"、“最少”等关键词语时,常常考虑其反面，通过求其对立事件，然后转化为所求问题．跟踪训练3甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f（1,3）,则甲不输的概率为（)A。eq\f(5,6) B。eq\f(2,5)C。eq\f（1,6) D。eq\f(1,3)答案A解析先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输"包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为eq\f(1，2）＋eq\f(1,3）＝eq\f(5，6)。求复杂事件的概率例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球"．已知P（A)＝eq\f(5，12)，P（B）＝eq\f(1,3）,P(C)＝eq\f(1，6),P(D)＝eq\f(1，12）.(1）求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2）求“取出1个球为红球或黑球或白球"的概率．分析事件A，B,C,D为互斥事件，A∪B与C∪D为对立事件，A∪B∪C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一（1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P（A∪B）＝P（A)＋P(B）＝eq\f(5，12)＋eq\f(1,3）＝eq\f（3，4)。(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C）＝P(A)＋P（B）＋P（C）＝eq\f(5，12)＋eq\f（1，3）＋eq\f（1,6）＝eq\f(11，12）.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A∪B的对立事件为C∪D,所以P（A∪B)＝1－P（C∪D）＝1－P（C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f（1,12)＝eq\f(3,4)，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为eq\f（3,4）。(2）“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球"，即A∪B∪C的对立事件为D,所以P(A∪B∪C)＝1－P(D）＝1－eq\f（1,12）＝eq\f（11,12），即“取出1个球为红球或黑球或白球"的概率为eq\f（11,12)。解后反思求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P（A）＝1－P(B)（B是A的对立事件）．1．给出以下结论:①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P（A)＝1－P(B）．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析对立必互斥，互斥不一定对立,∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时,P（A∪B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时,才有P(A）＝1－P（B），∴⑤错．2．对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A．互斥不对立 B．对立不互斥C．互斥且对立 D．不互斥、不对立答案C解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机｝,事件C＝{恰有一弹击中飞机｝，事件D＝｛至少有一弹击中飞机｝，下列关系不正确的是(）A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.4．从集合{a,b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合｛a,b,c｝的子集的概率是eq\f（3，4)，则该子集恰是集合｛a，b，c｝的子集的概率是(）A。eq\f（3，5）B。eq\f(2,5)C。eq\f(1，4）D.eq\f（1，8)答案C解析该子集恰是｛a，b，c}的子集的概率为P＝1－eq\f(3，4）＝eq\f(1,4)。5．从几个数中任取实数x,若x∈（－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0。5,则x∈（－1，0）的概率是________．答案0。2解析设“x∈（－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0）”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A∪C，∴P（B)＝P（A）＋