文科-经管类-微积分-微积分(下)总复习-

微积分(下)总复习基本初等函数的导数公式小结(1)(C)0(2)(xm)m

xm1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(a

x)a

xlna(10)(e

x)ex微分公式d(x

m)mx

m1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)a

x

lnadx

d(e

x)e

xdx

导数公式(x

m)mx

m1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)a

x

lna

(e

x)e

x三、微分公式与微分运算法则

六.不定积分(一)基本概念1.原函数2.不定积分(二)基本性质(三)基本公式(四)计算方法2.凑微分法定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积的负值；(1)(2)七.定积分１.定积分的几何意义有时为正，有时为负时．定积分的值等于各部分面积的代数和．(三)定积分的性质(四)变上限定积分(五)牛顿-莱布尼兹公式(六)定积分计算3.特殊函数的积分性质

例2.

解:这是一个零比零型未定式于是,

由洛必达法则,解:设则且当时,当时,于是计算例3定积分的分部积分法定理

例3

例4解求解:例收敛(七）定积分应用旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,

由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.

旋转体的体积x于是体积元素为

dV[f(x)]2dx.

用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,x+dxx=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴.求旋转体体积x=g(y)yx0cdy...

求旋转体体积.曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴由平面图形

绕轴旋转所成的旋转体的体积为在区间上体积元素为表面积ox

yab第七章多元函数微积分5、多元函数的连续性7、偏导数概念

例1.

求zx2sin2y的偏导数.

解:

(1).要求函数ƒ(x,y)对自变量x的偏导数,只须将自变量用一元函数的求导法则对x求导；(2).要求函数ƒ(x,y)对自变量y的偏导数,只须将自变量y看成常数，x看成常数,

用一元函数的求导法则对y求导.８、高阶偏导数定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.

设zf(u,v),而uj(x,y),vy(x,y),则

例1.

解:e

usinve

usinvex

y[ysin(xy)cos(xy)],1e

ucosvyex

y[xsin(xy)cos(xy)].1e

ucosvx

复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图,都可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.注1

此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示的链子来记.定理中的等式数为自变量的个数；每一个等式中的项数为中间变量的个数.z到x的路径有两条,一条是“z→u→x”,一条是“z→v→x”;z到y路径也有两条,一条是“z→u→y”,一条是“z→v→y”.由方程F(x,y,z)0确定的隐函数zf(x,y)的偏导数为设F(x,y,z)x2y2z24z,

解:

例2.则Fx2x,Fz2z4,首页

要分清方程与函数例2.设方法二:

直接对方程两边求导,再对x

求导,二元隐函数求导数：

要分清方程与函数16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件

定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.(可偏导)极值点注意驻点则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:

(1)B2AC<0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;

(2)B2AC>0时没有极值;(3)B2AC0时可能有极值,也可能没有极值.

下页取得极值的充分条件设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又

令

例4.

求函数f(x,y)x3y33x23y29x

的极值.得x=1,

-3;

y=0,2.

函数的驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).求得二阶偏导数为

在点(1,0)处,

所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)5;解:

求驻点解方程组126<0,又fxx12>0,最大值和最小值的求法

将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.实际问题只需第一步．条件极值：对自变量有附加条件的极值．例34

求周长为a而面积最大的长方形.解：设长方形的长、宽分别为x、y,则其面积为S=xy.令函数F(x,y,λ)=xy+λ(2x+2y-a)，则由方程组因问题本身有最大值且驻点唯一,故问题变为在约束条件2x+2y=a下求函数S=xy的最大值.故周长为a而面积最大的长方形是边长等于是最大值点.的正方形.拉格朗日乘数法

要找函数zf(x,y)在条件j(x,y)0下的可能极值点,可以先构成辅助函数F(x,y,λ)f(x,y)lj(x,y),其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.直角坐标系中的二重积分二、二重积分的概念二重积分的定义

当z=f(x,

y)0时,f(x,

y)在区域D上的二重积分表示以曲面z=f(x,

y)为顶、区域D为底的曲顶柱体的体积V.二重积分的几何意义

三、二重积分的性质

性质1

性质2

性质4

性质3

如果闭区域D划分为两个闭区域D1与D2,则下页

此性质的几何意义是：以Ｄ为底、以1为高的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质5(单调性)

设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,

s为D的面积,则有

设函数f(x,y)在闭区域D上连续,

s为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h)使得下式成立:如果在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式

性质6(估值定理)

性质7(二重积分的中值定理)

结束例1.xy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限,作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.xy0y=xy=x2xxy0y=xy=x211法2:作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即例1.xy0y=xy=x211y例3.

求解：由于是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1.如图：故原式=yx0Dy

=x

选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序。并请同学们注意：凡遇等不能用初等函数表示的积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须注意积分上下限的变化．极坐标与直角坐标的互化平面内一个点M既有极坐标又有直角坐标.因此有．在极坐标系下的二重积分在极坐标系下二重积分的计算

如果积分区域可表示为D:j1(q)rj2(q),aqb,则下页

提示:边界即为即以x=rcos,y=rsin代入，得

例10计算其中，解:D的边界为因此D可以表示为:以x=rcos,y=rsin代入I得

,例10计算其中,解:D的边界为因此D可以表示为:

例5.半径为a的圆周所围成的闭区域.下页注5

此题如不用极坐标而用直角坐标.因用初等函数表示,积分就难以进一步计算.故采用坐标,积分之值.不能极不仅可简化计算,有时甚至只有它才能计算出二重利用极坐标计算适用的范围：(1)圆形,环形,扇形

解:

例5.半径为a的圆周所围成的闭区域.0ra

,0q

2

.在极坐标系中,闭区域D可表示为下页

给定一个数列

u1,u2,u3,

,un,

,则由这数列构成的表达式

u1u2u3

un

一、常数项级数的概念常数项级数其中第n项un叫做级数的一般项.则称此级数为正项级数。

定义3

若数项级数各项级数敛散性定义

(包括极限为),例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.当公比|q|<1时,等比级数收敛；当公比|q|1时,等比级数发散.级数收敛的必要条件注意:

(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,

不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.

(2)如果一般项不趋于零,

则级数必发散.

因此此性质常用于判断级数发散.若级数收敛,则必有定理但级数是否收敛?

重要参考级数:p-级数,调和级数，几何级数．例2由于故该级数发散.解:例5级数收敛的必要条件:若级数收敛,则必有第一比较判别法大收小收,小发大发.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法的极限形式.例4解:定理8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:

(1)当0<l<+∞时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数也收敛;收敛时,级数(3)当l=+∞且级数也发散.发散时,级数第二比较判别法

例3.

解:下页根据第二比较判别法知注5

在使用第二比较判别法时,有时是的多少阶无穷小.就看实际是同阶无穷小之间的比较.例8

判定级数的敛散性。解:

收敛,所以收敛。注5

在使用第二比较判别法时,有时是的多少阶无穷小.就看实际是同阶无穷小之间的比较.除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,NielsHenrik,1802-1829)当公比|q|<1时,等比级数收敛；当公比|q|1时,等比级数发散.(1)ρ<1时,级数收敛；(2)ρ>1(包括ρ=)时,级数发散；(3)ρ=1时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身来进行判别.比值判别法(达朗贝尔判别法)：

由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.

例7判别的敛散性.

解:比值判别法(达朗贝尔判别法)首页例验证:不管大于还是不大于,只要均收敛.由莱布尼茨定理,级数是收敛的.莱布尼茨定理则级数收敛,且其和su1.

例10.

解:下页定理收敛

三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛条件收敛收敛发散(1)

<

1

时,原级数绝对收敛.(2)>1(包括=)时,原级数发散.(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.定理(任意项级数的达朗贝尔比值判别法)证：因此收敛,绝对收敛.例6.

判断级数收敛性．对于级数令则级数是否收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例16故级数不是绝对收敛的.原级数是一个交错级数,且满足：所以级数是收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.级数是否收敛?例16解是条件收敛.必要条件不满足满足比值判别法根值判别法绝对收敛不能

用它莱布尼茨定理交错级数比较判别法原级数发散发散至多条件收敛判别收敛内容小结：任意项级数的审敛法函数项级数

可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数例14讨论级数绝对收敛时的范围.解:此时一般项为而因此,当时,绝对收敛.当时,发散.而当时,若则原级数为发散.若则原级数为交错级数条件收敛.故:关于的收敛范围是关于的绝对收敛范围是形如的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.1.幂级数的定义

在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一项都是x的幂函数,即.

例如:其中幂级数敛散性定理都存在一个非负（）收发发收的收敛半径为说明:据此定理定理2.

若的系数满足1)当λ≠0时,2)当λ＝0时,3)当λ＝∞时,则例3解综上所述,得:(2)判断x=±R时,级数和(3)写出幂级数的收敛区域.的敛散性;注6

求幂级数的收敛域的步骤是:(1)求出收敛半径得收敛区间为(-R,R).例17

求幂级数的收敛半径及收敛域:下面考察x=±1时幂级数的敛散性:当x=1时,幂级数变为当x=-1时,幂级数(1)变为故原级数收敛域为[﹣1,1].是绝对收敛的;是绝对收敛的;缺少偶次幂的项级数收敛,例5解:级数发散,级数发散,级数发散,级数发散,所以原级数的收敛域为级数收敛,例5解:一、泰勒级数泰勒级数麦克劳林级数..下页f(x)f(x)