整式的乘法冀教版知识精讲

初一数学整式的乘法冀教版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

整式的乘法

1.单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘.

2.多项式与多项式相乘时常用到的两个公式：平方差公式、完全平方公式.

二、知识要点：

I.单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘的运算性质：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的塞

分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的•个因式.

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值；

②相同字母相乘，是同底数帮的乘法，底数不变，指数相加；

③不要丢掉只在•个单项式里含有的字母；

④对于三个以上的单项式相乘同样适用.

2.单项式与多项式相等

单项式与多项式相乘的运算性质：单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,

再把所得的积相加.

3.多项式与多项式相等

多项式与多项式相乘的运算性质：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加.注意：

①必须做到不重不漏，计算时应按一定的顺序；

②应确定积中每一项的符号；

③多项式与多项式相乘时，如有同类项的要合并.

4.平方差公式:(a+h)(a—b)=a2-h2

两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：

(1)公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互

为相反数.

(2)右边是左边因式中的两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).

(3)公式中的。与匕可以是单个的数，也可以是单项式或多项式.

(4)只有对于形如两数的和与这两数的差相乘时，才可以用平方差公式.

5.完全平方公式：(〃土人)2=a1+2ah+b2

两数和(或差)的平方，等于它们的平方利，加(或减)它们的积的2倍.

注意：

(1)(a+6)2=a2+2a/>+Z?2和(a—b)'—cT—lab-^-b1都叫做完全平方公式.为了区

别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.

(2)公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”

的不同；右边都是二次三项式，当中有两项是公式左边二项中每一项的平方，第三项是左边

二项式中两项乘积的2倍，二者也仅是一个“符号”的不同.

(3)公式中的〃与b可以是数，也可以是单项式或多项式.

(4)在运用公式时要注意保持前后“符号”的致性.

6.乘法公式和血积之间的关系

如图(1),(a+b)(a~b^=

如图(2),(。+。)2=；

如图(3),(a—b)2=.

⑵⑶

三、重点难点：

本讲重点是掌握整式乘法的运算性质，能够使用公式进行运算，难点是在运算过程中,

特别是因式较复杂时，注意不要丢项漏项.

【典型例题】

例L计算(一刀)")•(—|x2y).

分析：按单项式与单项式相乘的法则进行计算.

解：(-2x3y2z)•(一53)

=(-2)•(—1)•x3•x2•y2•y•z2(乘法交换律)

=[(-2)•(―•(%3•%2)•(y2•y)•z2(乘法结合律)

(有理数乘法法则、同底数基相乘).

评析：单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘，同样适用.

例2.计算：(1)(―Jb)C^ab2—2ah+^h)；

(2)6mn2(2—^mn4)+(—2

分析：这两个小题都是单项式与多项式相乘的计算题，计算时，符号的确定是解题的关

键.

解：(1)(一，曲)(多加2〃匕+%)

=(一/仍)加)+(―5))•(—2")+(―/曲)•命)

=—V+a2/?2~^ab2

(2)6mn2(2—gm//)+(—^tnn3)2

=12加〃2-2加，6+，2〃6

7A

=⑵甘/一心

评析：(1)计算时容易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要

注意单项式本身的符号.(2)单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与多项式的项

数相同.(3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果中若有同类项一定

要合并同类项，从而得出最简结果.

例3.计算：(1)(4x+5y)(2x-y)；(2)(x-l)(?+x2+x+l).

分析：这两个小题都是直接运用多项式乘以多项式法则的，计算时一定要细心.

解：(1)(4x+5y)(2x—y)

—8x2-4xy+1OA},—5y2

=8f+6xy_5y2；

(2)(x—1)(x3+x2+x+1)

=x4+x3+x2+JC—X3—X2—X—1

—X4—1.

评析：要用一个多项式中的每一项去和另一个多项式中的每一项分别相乘，不能有遗漏.

多项式相乘的结果中若有同类项，应合并，使结果最简，并且最终结果一般都按某个字母的

降黑(或升寨)排列，这样符合规范性要求.

例例计算：(1)C3a~2b)(3。+2匕)；(2)201X199.

分析：(1)题是两个数的和乘以两个数的差的形式.可直接应用公式写出结果；(2)题

是两个数相乘，201=200+1,199=200—1,可化成两个数的和乘以两个数的差，可用平方

差简化计算.

解：(1)(3a-2b)(3。+2〃)=(3a)2-(2b)2=9a2-4ft2；

(2)201X199=(200+1)(200-1)=2002-12=39999.

评析：利用平方差公式计算直接写出结果时，“平方”是一个整体的平方，不但字母要

平方，系数也必须同时平方，要防止出现这样的错误：(3a+2b)(3a-2b)=3/一2/.

例5.计算：(1)(3a+b)，(2)(—x+3y)2；

(3)999?；(4)Cb+c)C~b-c).

分析：此题可利用完全平方公式计算，(1)题是两数和的平方，应选用和的完全平方公

式，其中3〃是公式中的“，方是公式中的b；(2)题(—x+3y)2=(3y-x)2=(x-3y)2；

所以选用差的完全平方公式；(3)题可化成两数差的平方，即999?=(io。。—1)2；(4)题

中(一匕一C)=—(b+c),原式=—(/?+c)2.

解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2•3a•b+^^a+bab+b2

(2)(r+3y)2=(3>—x)2

=(3y)2-2•3y•x+x2=9y2_

(3)9992

=(1000-1)2

=10002-2X1000X1+1

=1000000-2000+1

=998001

(4)(Z?+c)(—b-c)

=—(b+c)2

=—(b?+2bc+c2)

=-b2-2hc-c2

评析：通过例题可以发现：当所给的二项式中两项符号相同时，一般选用“和”的完全

平方公式，当二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式.

例6某公司欲建如图所示的草坪（阴影部分是草坪，中间白色区域为小路），需要铺设草

坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则修建该草坪需投资多少元？（单位：m）

分析：阴影部分面积等于4个长方形面积之和.

解：3a,2a+4a•2aa•3a+a,4a=6a2+8a2+3a2+4a2=21fz2（m2）.

120X21/=2520J（元）

答:需要铺设草坪为修建该草坪需投资2520/元.

评析：找准长方形边长大小，不要受中间非阴影部分影响.把图中小路移向边缘可得下

图，用下图计算草坪面积更简单.

a

2

【方法总结】

单项式相乘的结果仍是单项式，只是系数和指数发生了变化.单项式与多项式相乘的计

算方法，实质是利用乘法分配律将其转化为前面学过的单项式乘以单项式的问题，这充分运

用了“化归”的数学思想方法.两多项式相乘的结果仍是多项式，在没有合并同类项之前，

所得积的项数应为两个多项式的项数的积.注意乘法公式与面积之间的内在联系，进而感受

几何与代数内在的统一性.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

选择题

I.下列运算正确的是（)

A.2a•3a2=5（?B.0.25x•

C.3?•2X2=6X2D.—2y3•3y2=-6)"

2.下列计算正确的是（)

A.（2x—5）（3x—7）=67-29x+35

B.(3x+7)(10x-8)=30f+36x—56

C.(x+g)(3尤=3f+5+:

D.(l-x)(x+1)+(x+1)(x-1)=2?—3

3.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A.(x+y)(―x—y)B.(a2—b)(<72+Z?2)

C.(2x-3y)(2y+3x)D.(一3〃+4。)(一3。一4/力

4.下列式子中是完全平方式的是()

A.a~-1-ab-\~b~B.6Z2+2a+2C.a~一2b+b°D./+2a+l

5.用科学记数法表示(5X102)X(16X105)的计算结果应是()

A.80X107B.8.0X107C.8.0X108D.8.OX1O10

6.在下列各式中，计算结果等于5x+6的是()

A.(x—6)(x+1)B.(x—2)(x+3)

C.(x+6)(x—1)D.(%—2)(%—3)

*7.一个长方形的长是2xcm,宽比长的一半少4cm,若将长方形的长和宽都增加3c”，则

该长方形的面积增加了()

A.9B.9x—3C.2X2+X_3D.—lx—3

**8.已知(a+b)2=8,(a-b)2=12,则1+好的值为()

A.10B.8C.20D.4

二.填空题

1.(-3%)3•(一町2)3=_________

2.计算(-2x)2•(一3xy2)3.$2=

3.(x—y)(x2+xy+y2)=.

4.(1)(x+3)(x—3),(2)(3x+y)(y—3x)—.

5.当x=3,y—1时，代数式(x+y)(x—y)+y2的值是.

*6.(一机+2)2=,(x_2>,—3)(x+2y_3)[()—2y]

[()+2y]=()2—4y2.

21

7.利用乘法公式计算：19哼*20吟=.

8.柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状如图：

第一层有2X3听罐头，

第二层有3X4听罐头，

第三层有4X5听罐头，

根据这堆罐头排列的规律，第〃(〃为正整数)层有听罐头(用含〃的式子

表示).

三.解答题

1.计算下列各题：

(1)(-|x2y)3,(3肛2)2；

(2)3x(尤2—2%—1)—2x2(X-2)；

2.运用乘法公式进行简便计算：

(1)103X97；(2)4012；(3)20082-2009X2007.

3.先化简，再求值：(x+2)(%—2)—x(x—1),其中x=-1.

*4.如图所示，在一块长方形空地上建一座楼房，剩下的地方（图中阴影部分）植绿地和

铺便道破，根据图中所标的用字母表示的数据（单位：，"），求出阴影部分的面积.

**5.•个三位数，其十位数字比个位数字大1,百位数字又比十位数字大2,另外有•个

两位数，其十位数字与该三位数的个位数字相同，都可用。表示，其个位数字比十位数字小

3,请把这两个数的积用含。的代数式表示出来，并把此代数式化简.若a=4,把这两个数

表示出来，并求出它们的根.

【试题答案】

选择题

1.D2.A3.D4.D5.C6.D7.B8.A

二.填空题

1.27//2.-54x5ys3.x3-/4.?-9,y2~9x5.9

6.仅2一4机+4,x-3，x-3,X-