2021中考数学复习-二次函数与圆的问题(解析版)

二次函数与圆的问题9【典例1】如图，抛物线y=ax2+4x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得4QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作。M,当。M与坐标轴相切时，求出。M的半径.【答案】(1)y=-3x2+4x+3；(2)不存在，理由见解析；(3)0M的半径为1或8【解析】【分析】9(1)已知抛物线y=ax2+4x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3),利用待定系数法即可求得抛物线解析式；(2)在抛物线上找到一点Q,使得^QC。是等边三角形，过点Q作OMXOB于点M,过点Q作QNLOC于点N,根据^QC。是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上;(3)分两种情况①当。M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t,PM=t,将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t,进而求得半径；②。M与x轴相切，过点M作MNLOB于N,如图所示，令M点横坐标为m,因为PN=2MN,列出关于m的一元二次方程，即可求出m,进而求得。M的半径.【详解】9(1)・・•抛物线丫=@乂2+4x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)9,_na——+c=04c=3解得13a=——4c=33 9・••该抛物线的解析式为：y=-4X2+-x+339故答案为：y=-4x2+4x+3(2)在抛物线上找到一点Q,使得^QC。是等边三角形，过点Q作OMXOB于点M,过点Q作QNLOC于点N•「△QCO是等边三角形，OC=33・•・CN=-2・•.NQ=(CQ2—CN2=生-63<3F即机323,2)当圻应时，y2-3X(壁)2+9X至+3=2—至W34 2 4 28 162・・.q(三,3)不在抛物线上y=--x2+--x+34 4故答案为：不存在，理由见解析(3)①。M与y轴相切，如图所示3 9•'y=-4x2+4x+3当y=0时，—-x2+—x+3=04 4解得x1=-1,x2=4.•・B(4,0)令直线BC的解析式为y=kx+b4k+b=0b=3k=-1-解得1 4、b=33・•・直线BC的解析式为y=--%+34令M点横坐标为t•「MP〃y轴，。M与y轴相切9 ，3 仆/.t=--Tt2+t+3-(——t+3)4 4解得廿3y0M的半径为§3②。M与x轴相切，过点M作MNLOB于N,如图所示令M点横坐标为m•・•PN=2MN3 9 「〜3 °、一一m2+—m+3=2(——m+3)4 4 43 -一一m+3=一43+3二9449 8故答案为：。M的半径为或84 3【典例2】将抛物线C:y=(%-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.⑴⑵（1）直接写出抛物线C，C的解析式；1 2（2）如图（1）,点A在抛物线C1对称轴l右侧上，点B在对称轴l上，aOAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）如图（2），直线y=kx（k丰0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线4段EF的中点；直线y=-7x与抛物线C交于G，H两点，N为线段GH的中点.求证:k 2直线MN经过一个定点.【答案】（1）抛物线C1的解析式为：y=x2-4x-2；抛物线C2的解析式为：y=x2-6；（2）点A的坐标为（5,3）或（4,-2）；（3）直线MN经过定点（0,2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到NBDA=NBOA=45°,从而证出△DAC是等腰直角三角形.设点A的坐标为（x,x2-4x-2）,把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC二AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y=kx（k丰0,k为常数）与抛物线C2交于E,F两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可.【详解】解：(I)•・•抛物线c：y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线q,再将抛物线q向左平移2个单位长度得到抛物线c,•・抛物线G的解析式为：y=(x-2)2-6,即y=x2-4x-2,抛物线Q的解析式为：Y=(x-2+2)2-6,即y=x2-6.(2)如下图，过点A作AC，x轴于点C,连接AD,Va^AB是等腰直角三角形,Z.ZBOA=45°,又VNBDO=NBA0=90°,•.点A、B、0、D四点共圆，.\ZBDA=ZB0A=45°,ZADC=90°-ZBDA=45°,•.△DAC是等腰直角三角形，二DC=AC.点A在抛物线C1对称轴l右侧上，点B在对称轴l上，二抛物线C1的对称轴为x=2,设点A的坐标为(x,x2-4x-2),DC=x-2,AC=x2-4x-2,二x-2=x2-4x-2,解得：x=5或x=0（舍去），・••点A的坐标为（5,3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2=-（x2-4x-2），x=4或x=-1（舍去），・••点A的坐标为（4,-2）,综上，点A的坐标为（5,3）或（4,-2）.（3）・・•直线y=kx（k丰0,k为常数）与抛物线C2交于E,F两点，y=kxy=x2—6•x2-kx-6=0,设点E的横坐标为\,点F的横坐标为xF,•xE+xF=k,x+xk,中点M的横坐标xM=EF=-,k2中点M的纵坐标yM=kx=—,k k2.,.点M的坐标为（—,—）；28同理可得：点N的坐标为（-，丁）,k k2设直线MN的解析式为y=ax+b（aW0）,k2k2—)、N228一k,元）代入得:-2・a+b

kb=2k将M(,<28kk=2+ba=J解得：<k,左2—4 •x+2(kW0),k不论k取何值时(kW0)，当x=0时，y=2,•・直线MN经过定点(0,2).1【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=--X+2与X轴交于点A,与y轴交于……… 2 [点B,抛物线y=-3X2+bx+c，530过点B且与直线相交于另一点C77,7.k247备用图(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一动点，当/PAO=/BAO时，求点P的坐标;……L 5) …、(3)点N(n,0) 0<n<7在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，k 27且满足/MNC=90。.①求m与n之间的函数关系式;②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个?(53)万，彳或(3k2472 7c【答案】(1)y=--X2+-x+2；(2)3 61——)或(-2,-3)；(3)①,4 10 25m=--n2+—n；②0<m<3 3 12【解析】【分析】(1)利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式;(2)当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q,求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；（3）①过点C作CD，x轴于点D,证明△MNOs^NCD,可得MONONDCD'②作以MC为直径的圆E,根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置,整理可得结果；即可得到m的取值范围.【详解】解：（1）•・•直线y=—?X+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,令x=O,则y=2,令y=O,则x=4,AA(4,0),B(0,2),2 ,・•抛物线y=一942+区+c经过B(0,2),0旧｝.*.132=c=xA+O+>解得:14 342b=L6,c=227，.抛物线的表达式为：y-~~x2+-73 6x+2.（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足*/C(5J34•一尸349（27当点P在X轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q,ZPAO=/BAO,AB,Q关于x轴对称,AQ(0,-2),又A(4,0),设直线AQ的表达式为y=px+q,代入,一2—q0=40+q'解得：1P=2,

q=-21c・•・直线AQ的表达式为：y=-x-2,联立得:1°--—X-227 ，解得：x=3或-2,y=--X2+—x+261・••点P的坐标为（3,--）或（-2,-3）,综上，当/PAO=/BAO时，点P的坐标为:(53)[2,4)或(3,1--)或(-2,-3)；(3)①如图，NMNC=90°,过点C作CD^x轴于点D,.\ZMNO+ZCND=90°,VZOMN+ZMNO=90°,.\ZCND=ZOMN,XZMON=ZCDN=90°,.•.△MNOMNCD,MO_NO

Nd一而mn3即5-n

244 10,7八(八 5•・•N(n,0) 0<n<-I 2・••点N在线段0D上（不含。和D）