三角函数（理科）（高考真题+模拟新题）

C三角函数

Cl角的概念及任意角的三角函数

9.B9、Cl[2012・湖北卷]函数＜x)=xcosf在区间[0,4]上的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

9.C[解析]令j(x)=0,得x=0或co&r2=0,由x£[0，4],得%2£[0,16].因为

cos住+=0(4£Z),故方程cosx2=0中f的解只能取f=多孝，:，-y,C[0,16].

所以零点个数为6.故选C.

C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

7.C2［2012,辽宁卷］已知sina—cosa=g,aG(0,兀)，贝！Jtana=()

7.A［解析］本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用.解题的突破口为灵活应

用同角三角函数基本关系.

二、/•、2一一一.一、•1、sinacosa

•「sina-cosct=,\/2=>(sina-coscti=2=>1-2sinacosa=2=>sinacosa=-彳0---------

v/2sina+cosa

1.tana1、.,

一铲菽17=U=tana=7.

故答案选A.

17.C2、C5、C6［2012•福建卷］某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值

都等于同一个常数：

(l)sin213°+cos2170-sinl30cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sinl50cos15°；

(3)sin218°+cos2120-sinl80cos120；

22

(4)sin(-18°)+cos480-sin(-18°)cos48°;

(5)sin2(-250)+cos2550-sin(-250)cos55°.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

17.解：解法一：

(1)选择(2)式，计算如下：

113

sin215°+cos215°-sinl50cosl50=1一尹口30。=1-1=1

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sinacos(30。-a)=^.

证明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

=sin2a+(cos30°cosa+sin30°sincc)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

.232.1.2.1.2

=sina+^cosa+/sinacosa+^sin-a-亍sinacosa-^sirTa

3.33

=［sir2Ta+^cos2Q=不

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sin6tcos(30°-a)=不

证明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2a1+cos(60°-2a)

=-----2-----+-----------2-----------sin«(cos30°cosa+sin30°sina)

=g-；cos2a+g+^(cos60Ocos2«+sin60°sin2a)-坐sinacosa-；sin%

11…通^f11>、

=2~2COS2«+2+^cos2a+-^~sm2a-才ms2a-^(1-cos2a)

11c11.3

=1-^cosza-a+［cos2a=

18.C5>C2>C3［2012,重庆卷］设<x)=4cos(5—2)sincox—cos(2①x+兀)，其中co>0.

(1)求函数y=/(x)的值域；

(2)若<x)在区间［一华，,上为增函数，求①的最大值.

18.解：(1)/(x)=4(坐COSGX+gsiruujsinGX+cos2tox

=2y［3sincoxcoscox+2sin2o)x+cos2tox-sin%x

=小sin2s+1.

因TWsin2sWl,所以函数y=/(x)的值域为口-小，1+小］.

(2)因y=siwc在每个闭区间，兀-3，2桁+方］("£Z)上为增函数，故,危)=小5由2①x+

1(3>0)在每个闭区间得-瓢金卷卜£Z)上为增函数.

依题意知［晋，*［务*？舁焉］对某个aez成立，此时必有k=o,于是

匕畸’

解得3W\,故0的最大值为:

OO

C3三角函数的图象与性质

16.C3、C5［2012•广东卷］已知函数/(x)=2cos(s+1)(其中0>0,xCR)的最小正周期

为107t.

(1)求。的值；

(2)设a,蚱［。，.(5a+豺=一4一豺=居，求cos(a+夕)的值.

16.解：(1)由笄=10兀得①==

(2)----f=.+EH)

=2cos(a+5=-2sina,

招=乂5£-韵=

2cos(I盼-豺+亳)2cos戒,

・•.sinaj,c。心哈

,c71

-a,夕£[0,2

4

/•cosa=v1-sin2

59

15

17,

cos(a+份=cosacos。-sinctsin^=^X-^--总

15.C3、K3［2012・湖南卷］函数人x)=sin(ox+3)的导函数y=/(x)的部分图象如图1

—5所示，其中，尸为图象与y轴的交点，4,。为图象与x轴的两个交点，8为图象的最低

点.

(1)若。=会点p的坐标为(o,则①=；

(2)若在曲线段4BC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△/8C内的概率为

图1—5

15.(1)3⑵;［解析］考查三角函数7(x)=sin®x+3)的图象与解析式，结合导数和

几何概型，在陈题上有了不少的创新.作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解.

⑴函数7(x)=sin(3+9)求导得，/(x)=GCOS(3r+p),把限事和点(0,代入得

①cos(0+*)=解得co=3.

(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数/(X)=3COS(3Y)，求得府0)，

8儒一3)，《鲁，0)，故△48c的面积为SA"C=3X咨X3=，，曲线段与x轴所围

成的区域的面积5=-/X)|鬻=一sin修+1)+$m传+§=2,所以该点在△46C内的

概率为尸=乎寸

15.C一3、C4、C5[2012•“北京卷，]二已r知皿函数(-s-in-x-—--cosx2)-si-n-2-x.

(1)求兀v)的定义域及最小正周期;

(2)求应x)的单调递增区间.

15.解：(1)由sinx#0得x关E(A£Z),

故负x)的定义域为{x£R|x¥®,kEZ}.

(sinx-cosx)sin2x

因为外)

sinx

=2cosx(sinx-co&x)

=sin2x-cos2x-1

=6sin(2x--1,

所以於)的最小正周期r=y=7r.

ITjr

(2)函数y=siiu•的单调递增区间为Ikn-y2kn+3(kEZ).

由2kn-兀+看xWk7i(k€Z),

得而一方WxWE+多,xWE伏£Z).

所以外)的单调递增区间为-1，E)和(E,E+U(攵EZ).

17.F3、C3[2012•山东卷]已知向量/n=(sinx,l),〃=(、/§4cosx,条os2x)(/l>0),函数

j[x}=m-n的最大值为6.

⑴求4

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移自个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来

的拊，纵坐标不变，得到函数尸蛉)的图象，求四)在[o,用上的值域.

17.解：="〃

=陋Zsiarcosx+ycos2x

/亚.c1C1

=亍isn2x+,cos2xJ

sin(2x+$.

=A

因为4>0,由题意知，4=6.

(2)由(1次x)=6sin(2x+§.

将函数y=/(x)的图象向左平移自个单位后得到

y=6sin^2(x+自+*]=6sin(2x+；)的图象；

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的;倍，纵坐标不变，得到y=6sin(4x+§的图

象.

6sin(4x+1).

因此，g(x)

因为才电，界

所以叙+3信,用.

故g(x)在[。，用上的值域为[-3,6].

16.C3、C4[2012•陕西卷]函数兀r)=/sin(tvx一2+1(4>0,。>0)的最大值为3,其图

像相邻两条对称轴之间的距离为，

(1)求函数/x)的解析式：

(2)设间0,习，冏=2,求a的值.

16.解：⑴,函数/(x)的最大值为3,.・・，+1=3,即/=2,

•・・函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为全7T

・••最小正周期7=71,

7T

:•①=2,故函数於)的解析式为y=2sin2x-5+1.

(2),•避)=2sin(a1=2,

即（点1

sina-r

八兀兀兀兀

于•一萨一管

71*故a=g.

,，a"6

2co&r

3.C3、N2［2012•上海卷］函数")=的值域是

sinr-1

53-

［解析］考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角

3r2_

函数的值域，易错点是三角函数的化简.

f（x）=-2-sinxcosx=-2-；sin2x,又TWsin2xWl,所以火x）=-2sin2x的值域为

531

X2-

18.C5、C2、C3［2012・重庆卷］设於)=4cos((

COX—COS(2C9X+n),其中co>0.

⑴求函数了=/)的值域；

V，5上为增函数，求①的最大值.

18.解：(1)f(x)=4(坐cos3r+；sins)sin①x+cos2cox

=2yj3sincDXCOSCox+2sin%x+cos2cox-sin2cox

=y［3sin2a)x+1.

因-l<sin2tt«Wl,所以函数y=兀。的值域为［1-小,1+小］.

（2）因y=sinr在每个闭区间2%兀+，(％CZ)上为增函数，故/(x)=yf3sin2cox+

TT

1（3>0）在每个闭区间卷,等+而」（左SZ）上为增函数.

依题意知［普，牛居一看，萼+看］对某个底Z成立，此时必有％=0,于是

「口〉_JL

2/4〃

兀）兀

解得故“的最大值为;.

OO

C4函数y=4sin（0x+0）的图象与性质

16.C3、C4［2012・陕西卷］函数火x）=/sin（yV）+l（4>0,。>0）的最大值为3,其图

7T

像相邻两条对称轴之间的距离为不

（1）求函数/（X）的解析式；

（2）设ad（0,⑥，冏=2,求a的值.

16.解：（1）：函数々V）的最大值为3,.•/+1=3,即4=2,

；函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为全

・••最小正周期T=7C,

jr

-'-co=2,故函数大工）的解析式为y=2sin2x-^+1.

(2)..*)=2sin(a-§+l=2,

7T7TI,兀

•・a-钉不故〃=予

16.C4、C5、C6、C7[2012・安徽卷]设函数；(x)=^cos2x+：+sin2x.

(1)求/(X)的最小正周期；

p+571=g(x),且当XG0,1It时，g(x)=g-y(x).求g(x)

(2)设函数g(x)对任意R,

在区间［一兀,0］上的解析式.

16.解：(iy(x)=sin2x

(G兀・。・兀)L1-cos2x

当coslrco牙-sinzxsin^I+-2-

gsin2x.

2~

故」(x)的最小正周期为兀.

7t|

(2)当x£10,句时，g(x)=2-.Xx)

2

①当一多。］时,7T

x+舞[o.由于对任意xCR,=g(x),从而

蛉)=+十升|sin[2(x+=|sin(n+2x)=-；sin2x.

71

②当［一兀，-：)时，X+TTE［O,从而

g(x)=g(x+兀)=pin[2(x+兀)]=pin2x.

综合①②得g(x)在[-兀，0]上的解析式为

,x€F,-g,

g(x)兀

，x€r0.

(siar-cosx)sin2x

15.C3、C4、C5[2012•北京卷]已知t函数｛村=1--------：------------,

(1)求人x)的定义域及最小正周期;

(2)求4c)的单调递增区间.

15.解：(1)由sinxWO得xW也/EZ),

故兀0的定义域为｛x£R|xWht,keZ].

(sinx-cosjpsinZv

因为危)=

sinx

=2cosx(sinx-COST)

=sin2x-cos2x-1

=gin(2x-§-1，

27r

所以火X)的最小正周期r=y=n.

JTTT

(2)函数y=sinx的单调递增区间为2%兀-5,2E+/(k£Z).

由+x^k7i(k€Z),

得而一方WxWE+果,xWkn(kWZ).

所以外)的单调递增区间为［e-率E)和(E,E+H%£Z).

14.C4［2012•全国卷］当函数y=siiu■一小cosx(0Wxv2兀)取得最大值时，x=.

57r

14.y［解析］本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突

破口为化为振幅式并注意定义域.

函数可化为y=2sin(x-§,由x£［0,2兀)得x-(苫，时,即*=苗时,

函数有最大值2,故填空57.r

17.C4、C6>C7>F3［2012・湖北卷］已知向量Q=(COSCOX—sincox,sincyx),b=(—coscox

一sinc9X,2，5cos①x).设函数y(x)=a・)+2(x£R)的图象关于直线工=兀对称，其中①，2为常

数，且1)

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)若尸黄尤)的图象经过点,0),求函数段)在区间［(),第上的取值范围.

17.解：⑴因为j［x)=sin%x-cos2s:+2y［3sincox'coscox+X

=-cos2cox+小sin2cox+A

=2sin(2①x-1+九

由直线工=兀是y=7(x)图象的一条对称轴，可得sin(2co兀一点)=土1,

所以2①兀一卷=hr+亲〃€Z),即①=3+；(左£Z).

又1),%£Z,所以％=1,故①=/.

所以.危)的最小正周期是引

(2)由歹=/(x)的图象过点仔，0),得周=0,

即/=-2sin^|x^-^=-2sin^=一也，即4=一也.

故/(x)=2sin(1x--也，

由00/，有-狂杀-狂芸

所以一；《后(|^一看)4,得一1一啦W2sin|x-专一班W2~y［2.

故函数外堆［o,用上的取值范围为［-1-碑，2-小］.

9.C4［2012•课标全国卷］已知5>0,函数—)=sin(3x+2在俘兀)单调递减，则口的

取值范围是()

力=sin（x+J在&Tt）上是单调递减

9.A［解析］因为当①=1时，函数f=sinCDX+~7

的，故排除B,C项；当°=2时，函数y=sin（cox+；）=sin（2x+：）在你兀）上不是单调递

减的，故排除D项.故选A.

4.C4［2012•浙江卷］把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）

J't

乐+1

殳2+%

费77ct

5?.O^-if+K_z

图i-i

4.A［解析］本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题.考

查函数图象变换方法和技巧.

把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函

数y=cos2（；x）+1=cosx+1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y=cos（x+1）+1

的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y=cos（x+1）+1-1=cos（x+1）的图象；结合各

选项中的图象可知其图象为选项A中的图象，故应选A.

C5两角和与差的正弦、余弦、正切

5.C5、C7［2012•重庆卷］设tana,tan6是方程/-3工+2=0的两根，则tan(a+0的值

为()

A.-3B.-1C.1D.3

5.A［解析］因为tana,tan或是方程--3x+2=0的两根，所以tana+tan夕=3,tancrtan/?

“,八tana+tan£3

=2,所以tan(a+£)=^~;----=\一^=一3.

'1-tanatanp1-2

17.C8、C5［2012•课标全国卷］以知mb,c分别为三个内角力，B,C的对边，

4cosc+馅QsinC-6-c=0.

⑴求4

(2)若。=2,△45C的面积为小，求，c.

17.解：⑴由acosC+y/3asinC-/?-c=0及正弦定理得

sinJcosC+yfisinAsinC-sin^-sinC=0.

因为8=兀-/一。，所以

小siMsinC-cosZsinC-sinC=0.

由于sinCWO,所以sin(4-聿)=/

兀

又0<4<兀，故4=7

(2)△ABC的面积S=^hcsxnA=小,故be=4.

a2=b2+c2-2bccosA,故从+J=8.

解得b=c=2.

18.C5^C2>C3［2012•重庆卷］设/［x)=4cos(s-^sinezzr—COS(2COX+TI),其中9>0.

(1)求函数y=及丫)的值域；

(2)若於)在区间［一多，同上为增函数，求。的最大值.

18.解：(l)/(x)=4(坐cos/x+gsin①，sincox+cos2cox

=ly/isincoxcoscox+2sin%x+cos2(vx-sin2(vx

=y13sin2cox+1.

因-lWsin2s:Wl,所以函数y=/(x)的值域为口-小，1+小］.

(2)因y=sinx在每个闭区间24兀-，2E+，卜CZ)上为增函数，故於)=gsin2①x+

1(。＞0)在每个闭区间愕~+/卜£Z)上为增函数.

依题意知-苧,累［M比？A焉］对某个旌Z成立，此时必有k=0,于是

3兀71

兀一71

解得/A，故3的最大值为！

OO

16.C3、C5［2012•广东卷］已知函数义x)=2cos((ox+§(其中。＞0,xGR)的最小正周期

为IOTI.

(1)求0)的值；

(2)设a,4J。，卷.45仪+翻=一,,乂54一|兀)=的,求cos(a+£)的值.

16.解：(1)由务=10兀得①=g.

-5=X5ft*米卜2cos45a+|兀)+聿)

(a+3)=-2sina,

2cos

与《5日-豺=

45”豺+(|

2cosI=2cos£,

・・・sina《cosS*.

n

,:a,夕£0,2

4

•'•cosa=A/1-sin2

sin夕=41-cos2.=

13

.,.cos(a+4)=cosacos夕一sinasinfi=X=

85-

8.F2、C5［2012•安徽卷］在平面直角坐标系中，点。(0,0),尸(6,8),将向量分绕点O

按逆时针方向旋转3詈7r后得向量。―。＞，则点。的坐标是()

A.(—7^/2,—也)B.(—7吸，y/2)

C.(—4y［6f—2)D.(—4乖,2)

8.A［解析］本题考查三角函数的和角公式，点的坐标.

-34

设NPOr=a,因为尸(6,8),所以=(lOcosa,10sina)=>cosa=^,sina=g,

则诙=(10cos(6+引，lOcos®+引)=(-7啦，-啦).故答案为A.

16.C4、C5、C6、C7[2012•安徽卷]设函数./(x^^cosZx+j+siiA.

(1)求火X)的最小正周期；

、x+1)=g(x),且当e［o,，时，8(*)=尹次分求g(x)

(2)设函数g(x)对任意R,X

在区间［一兀，0］匕的解析式.

16.解：(iy(x)=sin%

=^^cos2xco寸-sin2xsin^+1-cos2x

-2一

11._

=2~2sm2x.

故兀0的最小正周期为兀

兀-]j

⑵当x£[0,句71时，g(x)=2-Ax)=

。］时，x+界［o，H.由于对任意x€R,

①当x+l=g(x),从而

g(x)=g(x+9=|sin|^2(x+9]=|sin(n+2x)

②当^《［-兀，一方)时，X+TIE［O71

,从而

g(x)=g(x+it)=gsin[2(x+兀)]=；sin2x.

综合①②得g(X)在[-7t,0]上的解析式为

5

0.

15.C3、C4、C5[20I2•北京卷]已知函数段户回竺林产.

(1)求兀V)的定义域及最小正周期；

(2)求大刈的单调递增区间.

15.解：(1)由sinxWO得xWE/EZ),

故")的定义域为〃£Z}.

«、，(sinx-cosx)sin2r

因为於)=-----：--------

八,sinx

=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x-cos2x-1

=近sin(2x-1,

所以小)的最小正周期r=y=n.

TTTT

(2)函数y=sinx的单调递增区间为2E-],2E+](kCZ).

717r7T

由2〃兀-/<2x--^2kn+2，x^kjt(k£Z),

TT37r

得QI-RWXWE+W",x^lat(k€Z).

所以外)的单调递增区间为[E-1，E)和(e,E+用(衣Z).

17.C2、C5、C6[2012•福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值

都等于同一个常数：

(1)sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sin15°cos15°；

(3)sin218°+cos212°—sin18°cos12°；

(4)sin2(—IS^+cos^S0—sin(—18°)cos480；

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos550.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

17.解：解法一：

(1)选择(2)式，计算如下：

,,113

sin2150+cos*15°-sinl5°cosl5°=1-2sin30°=1-

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=彳.

证明如下：

sin2a+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

=sin%+(cos30°cosa+sin30°sinct)2-sinot(cos30°costz+sin30°sina)

.232总1-2&1-2

=sin-a+^cos-a+-^-sinacosa+^sina-sin6tcostt_5sma

3.33

=TSin2a+^cos2a=7

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=7

证明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2«1+cos(60°-2a)

=-----------+-----------2------------sin«(cos300cos6t+sin30°sina)

=；一^cos2c(+；+^(cos60°cos2a+sin60°sin2a)-乎sinacosa-；sin2a

=g-^cos2a+2+[COS2Q+乎sin2a-乎sin2a-^(1-cos2a)

11-11c3

=1-^cos2«-^+卒。$2a=7

C6二倍角公式

11.C6［2012■江苏卷］设a为锐角，若cos(a+5)=之，则sin(2a+：y的值为.

11.曙［解析］本题考查三角函数求值问题•解题突破口为寻找已知角和所求角之间

的整体关系.

由条件得sin(a+聿)=|\从而sin2(a+圳=|^,co42(a+川=2X^1_］=套

从而sin(2a+.=sin(2a+.用耆落会净曙.

7.C6［2012•全国卷］已知a为第二象限角，sina+cosa=^­,则cos2a=()

A.一坐B.邛C坐D坐

7.A［解析］本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破

口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑"符号看象限”.

由sina+cosa=坐及a为第二象限角有2左兀++竽(左£Z),.**Akit+n<2a<4lat+

争(左£Z).原式两边平方得2sinacosa=sin2a=一/「.cosZa=-亭，故选A.

16.C4、C5、C6、C7［2012・安徽卷］设函数/(%)=半(：052%+；+5言工

(1)求加)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意x£R,有8(工+3=80且当，时，g(x)=g—/(x).求g(x)

在区间[一兀，0]上的解析式.

16.解：(1阿=乎ocs(2x+3+sin2x

啦，-n.〜.哈1-cos2x

="^1cos2xcos^-smZxsin^I+-------

11._

=2-5sm2x.

故兀0的最小正周期为兀

(2)当x£0,T时，g(x)=2~AX)=1sin2x,故

①当x£-/0时，x+5£0,m.由于对任意x£R,=g(x),从而

g(x)=g(x+2J=2sin2(x+m=/sin(兀+2x)

兀、，一「八九、“一

②当x£-兀,王时，x+7t€0,办从而

g(x)=g(x+n)=]sin[2(x+it)]

综合①②得g(x)在［-7t,0］上的解析式为

17.C2、C5、C6［2012•福建卷］某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值

都等于同一个常数：

(l)sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos2150-sinl5°cos150；

(3)sin218°+cos2120-sinl80cos12°；

(4)sin2(—18°)+cos248°—sin(—18°)cos480；

(5)sin2(-25°)+COS2550-sin(-25°)cos550.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

17.解：解法一：

(1)选择(2)式，计算如下：

11Q

sin215°+cos2150-sinl50cosl5°=1-尹n30°=1-7=40

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=7.

证明如下：

sin2a+COS2(30°-a)-sinacos(30°-a)

=sin%+(cos30°cosa+sin30°sina)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

.232亚.1.2.「2

=sm~a+4cosa+sinttcos6c+4sin-a-亍sinacosa-2sma

3.33

=[sin2a+[cos2a=不

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式为sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=

证明如下：

sin2a+COS2(30°-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2a1+cos(60°-2a)

=-----2-----+-----------2------------sina(cos30°cos«+sin30°sina)

=1•一；cos2a+；+^(cos60°cos2a+sin60°sin2a)-坐sinacosa-gsin2a

=；一^cos2a+g+/os2a+乎sin2a-乎sin2a-^(1-cos2a)

11c11c3

=1-^cos2tt-“[cos2a=7

17.C4^C6、C7>F3[2012•湖北卷]已知向量Q=(cosazr—sins,sincox),b=(—coscox

一sina*,2，5cos①x).设函数./(x)=05+/(x£R)的图象关于直线工=兀对称，其中①，2为常

数，且1).

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)若尸外)的图象经过点件0),求函数4x)在区间[。，第上的取值范围.

17.解：⑴因为於)=sin%x-cos2rox+2小sinazreos①x+A

=-cos2Gx+小sin2①x+A

=2sin(2cwx-§+A.

由直线工=兀是y=段)图象的一条对称轴，可得sin(2co兀一§=土1,

所以2①兀一季=而+y(Ar€Z),即/=4+g(攵£Z).

又口£(；,1),kWZ,所以攵=1,故①二看.

所以.危)的最小正周期是期

(2)由歹=段)的图象过点住0),得局=0,

即2=-2sin^|x^-^=-2sin^=~y[2,即4=-巾.

故/(X)=2sin(|x--巾,

由04喏有W号-狂祟

所以一吴sin(|x-§Wl,得一1一6W2sin?x-看一啦W2-y/2.

故函数/(x)在[0,用上的取值范围为[-1-也，2-^2].

--iaEZ

7.C6[2012•山东卷]若，e小?,sin2Q=爷，则sin(9=()

A.|B.|C,乎D.1

7.D［解析］本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题.

法一：:伙p?>sin2（9=邛

_一乙」o

7.cos2e2sin之仇解之得

sin。，

•3F

2sin6cos。=3

法二：联立，8解之得sin”不

.sin%+cos20=1,

C7三角函数的求值、化简与证明

6.C7［2012・湖南卷］函数<x）=sinx—cosQ+3的值域为（）

A.［-2,2］B.［-^3,小］

C.［-1,1］D.一拳叫

6.B［解析］考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记.

函数fix）=sinx-cos（x+方=^sinx-坐cosx=d5sinQ-g,所以函数j［x}=sinx-

cos（x+§的值域为［-小，小］,故选B.

16.C4、C5、C6、C7［2012・安徽卷］设函数於）=芋8§2工+：+5由2元

(1)求人x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意x£R,有gQ+m=g(x)，且当0，2时，g(x)=1—/(%).求g(x)

在区间[―兀，0]上的解析式.

16.解：(1&)=乎8$(2%+习+$出2、

C71.c.璃1-cos2x

="yicosZrcos4—sinzxsinT/+-----------

11.八

=2-]sin2x.

故兀v）的最小正周期为兀

（2）当0,5时，g（x）=1sin2x,故

①当［-。］时,X+.E［O,知.由于对任意X£R,

g(x),从而

%)=(+*!sin[2^x+圳=|sin(K+2x)=-1sin2x.

②当［-兀，一方）时，工+兀（°，从而

g（x）=g（x+兀）=^sin［2（x+兀）］=；sin2x.

综合①②得即）在［-兀，0］上的解析式为

17.C4>C6>C7>F3［2012•湖北卷］已知向量a=(cos5—sincux,sins'),b=(—coscox

-sin①x,2小COSGX).设函数/(x)=。协+%(x£R)的图象关于直线X=TT对称，其中①，2为常

数，且/eg,1)

(1)求函数大X)的最小正周期；

(2)若y=/(x)的图象经过点仔，0),求函数.危)在区间［o,用上的取值范围.

17.解：⑴因为j(x)=sin2cox-cos2cox+2y3sincox-coswx+A

=-cos2wx+小sin2ttzr+A

=2sin(2①x-

由直线x=兀是y=段)图象的一条对称轴，可得sin(2c°7i-聿)=±1,

所以2口兀一聿=反+枭€Z),即3=g+g(&£Z).

又口£(；,1),ZCZ,所以左=1,故幻=看

所以大、)的最小正周期是禀.

(2)由尸危)的图象过点与0),得尼)=0，

即丸=-2sin(^X^-^=-2sin^=-巾,即2=-y［2.

故")=25桁(发一胃」也，

由OWx泮,有一狂2亚半，

所以-gwsin侪-§W1,得T-&W2sin|x-^-gW2-6.

故函数<x)在［。，用上的取值范围为［T-小，2-^2］.

4.C7［2012•江西卷］若tan6+」=4,贝Usin29=()

rant/

A./B.(C.；D.；

4.D［解析］考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及力”的代换及弦切互化等方

法.解题的突破口是通过'”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos。达到化切

,,八1tan%+1.-八八.八八2sin9cos。2tan。21口

目的.•「tan。+-_7=-;_7-=4,sm29=2sin9cos。=".”-----~-=：=不故

tan。tan。sin0+cosT。-=-t~an0+142人

选D.

5.C5、C7［2012•重庆卷］设tana,tan/?是方程f-3工+2=0的两根，则tan(a+.)的值

为()

A.-3B.-1C.1D.3

5.A［解析］因为tana,tan^是方程f_3x+2=0的两根，所以tana+tan夕=3,tancc-tan/?

-八tana+tan/J3

=2,所以tan(a+份=~;---;-7=-―-=-3.

'1-tanatanp1-2

C8解三角形

3

13.C8［2012・重庆卷］设△ZBC的内角4B,C的对边分别为人b、c,且coJ=§,

cos5=V，6=3,则c=.

143s4I?

13.-［解析］因为cos4=g,cosB=yp所以sirt4=5，sinB=因为sinC=sin［180。

-(A+8)］=sin(J+8)=sinJcos8+cos/sin8=,X*+,xj^=||,由正弦定理知公^=/斤

艮嗑迷,解得C亭

6513

4.C8［2012•四川卷］如图1―1所示，正方形/8CD的边长为1,延长8/至E,使ZE

=1,连结EC、ED,则sin/CED=(

妪遮

210010

4.B［解析］法一：由已知，NCED=/BED-4BEC=A5。-4BEC,

而结合图形可知tanZ5EC=p

・•.tanNCEO=tan(45°-A.BEC)

di

-''smZ.CED

法二：由已知，利用勾股定理可得。E=g,CE=4又CD=1,

利用余弦定理得：cosZCED=x-^5=

•'.sinZC£P=

法三：同法二，得DE=j,CE=&又CZ)=1,

=^CDAD=^,

有S&CED

=|c££Z)sinNCED=乎sinNCED,

又S&CED

对比得sinNCED=