BE第三十讲-直线-平面垂直的判定及其性质

第三十讲直线、平面垂直的判定及其性质考点解读【基础性考点知识突破】一、直线与平面垂直①直线与平面垂直的定义条件：直线与平面内的任一条直线都垂直．结论：直线与平面垂直．②直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示判定根据定义：一条直线与一个平面内的任意直线都垂直，则该直线与此平面垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面性质如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直垂直于同一个平面的两条直线平行2．直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图就是斜线与平面所成的角．②线面角的范围：．二、平面与平面垂直1．二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角或二面角．②二面角的平面角如图，过二面角的棱上一点在两个半平面内分别作，，则就叫做二面角的平面角．③平面角的范围设二面角的平面角为，则．2．平面与平面垂直①定义条件：两相交平面所成的二面角为直二面角．结论：这两平面垂直．②平面与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示判定根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角是二面角的平面角，且，则一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角，是二面角的平面角，则两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【培优性方法技巧综合】1．证明线线垂直的常用方法①以算代证法：先平移到相交位置，再证明所构成三角形的三边满足勾股定理．②利用线面垂直的性质：，．③三垂线定理（垂影垂斜）及其逆定理（垂斜垂影）．④，．⑤向量法：证明两条直线的方向向量垂直．2．证明线面垂直的常用方法①线面垂直的判定定理（常用方法）：，，，，．②面面垂直的性质定理（常用方法）：，，，．③性质：a．，；b．，．④，，．（客观题常用）⑤向量法（常用方法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行．3．证明面面垂直的常用方法①面面垂直的判定定理：，．此方法将面面垂直问题转化为线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行．②只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为即可．③性质：，．（客观题常用）④向量法：证明两个平面的法向量垂直．4．解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件．5．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加．6．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，7．面面垂直的性质应用技巧两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．考点分类精讲考点1直线与平面垂直1．判定直线与平面垂直．2．利用直线与平面垂直的定义和性质定理解决相关问题．【例1】如图(1)，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成的角的大小．【解析】(1)如图(2)，由已知，，得平面．连接，则．由已知，可知侧面是正方形，所以．又，所以平面．因为侧面是正方形，是的中点，连接，则点是的中点．又点是的中点，则是的中位线，所以∥．故平面.(2)如图(2)，因为平面，设与相交于点，连接，则为直线和平面所成的角．设，则，．在Rt△中，，所以，故直线和平面所成的角为．点拨：判定直线与平面垂直的常用方法有：(1)利用线面垂直定义；(2)利用线面垂直判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；(3)用线面垂直性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)用面面平行性质定理：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一个平面；(5)用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；(6)用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面；(7)向量法．求解线面角要按照“一作二证三计算”的步骤进行，首先找到平面的垂线，作出线面角，再证明这个角就是所求的角，最后利用直角三角形计算．【例2】如图在圆锥中，已知，的直径，点在上，且，为的中点．(1)证明：平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值．【解析】(1)因为，为的中点，∴．又⊥底面，底面，所以，而，是平面内的两条相交直线，所以平面；(2)由(1)知，平面，又所以平面在平面中，过作于，则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在中，．在中，，在中，．考点2两个平面垂直1，判定两个平面垂直．2．利用两个平面垂直的性质定理解题．【例3】如图(1)，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，为棱的中点，，．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【解析】(1)如图(2)，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因为底面为等腰梯形，，，是棱的中点，所以，△为正三角形，，则△为等腰三角形，且．所以．又因为与都在平面内且相交于点，所以平面，而平面，所以平面平面．(2)如图(2)由(1)知△为正三角形，取的中点．连接，则．又因为直四棱柱中，平面，平面，所以．又，所以平面．过在平西内作，垂足为，连接，则为二面角的一个平面角，在正△中，，在Rt△中，△∽△，因为，所以，在Rt△中，，，所以二面角的余弦值为．点拨：本题把面面垂直的证明转化为线面垂直问题，再转化为线线垂直问题，体现了化归的思想方法，设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一平面内即可．求二面角一般用空间向量解决，但是，对于比较简单的二面角问题，也可以用定义法得到二面角的平面角，本题首先作出平面的垂线，再作出与垂直的平面，从而得到平面角，最后在直角三角形中求解．【例4】如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：(1)底面；(2)平面；(3)平面平面；【解析】(1)因为，平面底面且平面底面所以底面．(2)因为，，为的中点，所以，且，所以为平行四边形．所以，又∵平面，平面，所以平面．(3)∵，而且为平行四边形，所以，由(1)知底面，所以，所以平面，所以．∵分别是和的中点，所以，所以，因为，，所以，而平面，平面，且所以平面．又因为平面，所以平面平面．考点3平行与垂直的综合问题1．既考查平行，又考查垂直的问题．2．平行与垂直相互转化的问题．3．平行与垂直的性质的综合运用．【例5】如图所示，在直三棱柱中，，为的中点．(1)求证：∥平面；(2)若平面，求证：平面；(3)在(2)的条件下，设，求三棱锥的体积．【解析】(1)如图所示，连接交于，连接.∵是直三棱柱，且，∴侧面是一正方形，∴是的中点．又已知为的中点，∴在△中，是中位线，∴∥，∴∥平面．(2)∵平面，∴．又∵侧面是一正方形，∴．∴平面，∴．又∵是直三棱柱，∴，∴平面．(3)∵，为的中点，∴，∴平面．∴就是三棱锥的高．由(2)知平面，∴平面．∴.∴△是等腰直角三角形．又∵，∴，∴．∴三棱锥的体积．【例6】如图，在椎体中，是边长为1的棱形，且，，，，分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【解析】法一：(1)证明：取中点，连接，，．∵，有，在中，，，有为等边三角形，因此，，所以平面，．又，得，而得，又，所以平面．(2)，为二面角的平面角，在中，，在中，，．【例7】如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱,上移动，且．(1)当时，证明：直线∥平面；(2)是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)证明：如图(1)，连结，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面.(2)如图(2)，连结，因为、分别是、的中点，所以，且，又，，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，，于是，，所以四边形是等腰梯形，同理可证四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，则，，而，故是平面与平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，连结、