等比数列的前项和一

第二章数列§2.5

等比数列的前n项和(一)1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一等比数列前n项和公式及其推导1.等比数列前n项和公式答案na1(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况.2.等比数列前n项和公式的推导推导1

求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，若q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答案答案思考设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于(

)答案B注意参与求和的项共有多少项.知识点二错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫

法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.返回错位相减答案题型探究重点突破题型一等比数列基本量的计算例1

在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；解析答案

解析答案方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.反思与感悟解因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.反思与感悟跟踪训练1

在等比数列{an}中，解析答案∴q＝－2，∴n＝5.(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解析答案解若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴q＝2或q＝－2，题型二错位相减法求和例2

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an}，{bn}的通项公式；解析答案解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n－1.解析答案反思与感悟①－②得解析答案反思与感悟一般地，如果数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可以采用错位相减法.反思与感悟解析答案跟踪训练2

求数列{nxn}的前n项和.解(1)当x＝0时，Sn＝0.(3)当x≠0且x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，

①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

②①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1解析答案

解析答案解根据等比数列的通项公式an＝a1qn－1，n∈N*并结合已知条件得

解析答案反思与感悟∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n×2n，上式×2得：2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n×2n＋1两式相减得：－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－2＋2n－1＋2n－n·2n＋1反思与感悟∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，n∈N*.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.反思与感悟解析答案跟踪训练3

在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an及其前n项和Sn；解设{an}的公比为q，依题意得解析答案解由(1)知bn＝1＋log3an＝1＋(n－1)＝n，解析答案应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误易错点例4

等比数列1,2a,4a2,8a3，…的前n项和Sn＝________.误区警示返回错因分析忽视等比数列前n项和公式的应用条件，未对等比数列的公比2a分类讨论，导致错误.正解公比为q＝2a，误区警示误区警示准确理解公式，重视分类讨论应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q是否为1，因为等比数列前n项和公式是“分段函数”形式.若题中公比不明确，要分情况讨论，如本例，公比为q＝2a，应该分2a＝1,2a≠1两种情况讨论，否则结论就不完整.返回当堂检测123451.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(

)A.93 B.－93C.45 D.－45A解析答案123452.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7等于(

)解析答案12345答案

A12345解析答案12345解析答案4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是________.∴公比q＝3，从而a1＝3，12012345解析答案12345课堂小结1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和