9年级培优专题01-二次根式的化简与求值

九年级数学专题01二次根式的化简与求值 阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.想一想：若（其中x,y,n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】当时，代数式的值是（）A、0B、－1C、1D、（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1）（黄冈市中考试题）（五城市联赛试题）（3）（北京市竞赛试题）（4）（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x，y满足，求x＋y的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1）代数式的最小值.（2）求代数式的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设，求的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：（“希望杯”邀请赛试题）2.若，则＝_____(北京市竞赛试题)计算：（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞06、计算的值为（）A．1B.C.D.5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999B.2000C.2001D.不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）（2）（3）（4）（天津市竞赛试题）（5）（“希望杯”邀请赛试题）10、设，求代数式的值.（“希望杯”邀请赛试题）11、已知，求x的值.设（n为自然数），当n为何值，代数式的值为1985？B级1.已知.(四川省竞赛试题)2.已知实数x，y满足，则＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知.（重庆市竞赛试题）4.那么＝＿＿＿＿＿.（全国初中数学联赛试题）5.a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（）A.2B.4C.6D.8(全国初中数学联赛试题)6．已知，那么a，b，c的大小关系是（）B.b＜a＜cC.c＜b＜cD.c＜a＜b(全国初中数学联赛试题)7.已知，则的值是（）A.B.C.D.不能确定8.若[a]表示实数a的整数部分，则等于（）A.1B.2C.3D.4（陕西省竞赛试题）9．把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（）A.B.C.D.（武汉市调考题）10、化简：（1）（“希望杯”邀请赛试题）（2）（新加坡中学生竞赛试题）（3）