必修一讲义精练第一章111.13第一课时集合的交与并

1．1.3集合的交与并第一课时集合的交与并两个集合的交分别用Venn图或数轴表示以下各组中的3个集合：(1)A＝{－1,1,2,3}，B＝{－2，－1,1}，C＝{－1,1}；(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}；(3)A＝{x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(1)班语文、英语两门测验都优秀者}．上述每组集合中，A，B，C之间均具有怎样的关系？交集的定义自然语言把全部既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集，记作A∩B(读作“A交B〞)．符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．图形语言A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝∅可能成立吗？[提示]当A⊆B时，A∩B＝A成立．当A与B没有任何公共元素时，A∩B＝∅.两个集合的并实数可进行加法运算，类比实数的加法运算，集合能否也可以“相加〞呢？首先请同学们考察以下两组集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？第1组：(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,3,6}，C＝{1,2,3,5,6}(2)A＝{x|x是高一(1)班的男生}，B＝{x|x是高一(1)班的女生}，C＝{x|x是高一(1)班的同学}．第2组：(3)A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6}，C＝{1,3,5,6}(4)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．1．并集的定义自然语言把集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并，记作A∪B(读作“A并B〞)．符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言2．交集和并集的性质A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.并集与交集的运算[例1](1)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)<x<2))，B＝{x|x2≤1}，那么A∪B＝()A．{x|－1≤x<2}B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)<x≤1))C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2}(2)集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，那么集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2[思路点拨](1)可先化简集合B，再借助数轴直观求解；(2)分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满意集合A中条件的元素个数即可．[解析](1)B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}．结合数轴可知，A∪B＝{x|－1≤x<2}．(2)集合A中元素满意x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满意这一要求的元素只有8和14.应选D.[答案](1)A(2)D借题发挥此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，假设是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观看或用Venn图表示出集合运算的结果；假设是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要留意当端点不在集合中时，应用“空心圈〞表示.1．(2017·全国卷Ⅰ)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜2))，B＝{x|3－2x＞0}，那么()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＜\f(3,2))) B．A∩B＝∅C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＜\f(3,2))) D．A∪B＝R解析：选A由于A＝{x|x＜2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|3－2x＞0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＜\f(3,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＜\f(3,2)))，A∪B＝{x|x＜2}．应选A.2．集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，那么M∪N＝________，M∩N＝________.解析：借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3<x<－2}．答案：{x|x>－5}{x|－3<x<－2}集合的交、并、补的综合运算[例2]设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集I＝A∪B，那么集合∁I(A∩B)中的元素共有()A．3个 B．4个C．5个 D．6个[思路点拨]可先求得A∪B，A∩B，再利用补集的定义求解．[解析]法一：I＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}A∩B＝{4,7,9}．∴∁I(A∩B)＝{3,5,8}．共3个元素．法二：由法一知，I＝{3,4,5,7,8,9}．∴∁IA＝{3,8}，∁IB＝{5}，∴∁I(A∩B)＝(∁IA)∪(∁IB)＝{3,5,8}．[答案]A借题发挥(1)进行补集运算时，首先应确定全集，在全集内才能求得补集；(2)熟识补集与交集、并集的运算性质，可使相关题目的解答简洁快捷．如：∁I(A∩B)＝(∁IA)∪(∁IB)∁I(A∪B)＝(∁IA)∩(∁IB).3．I＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，假设(∁IA)∩B＝{2}，(∁IB)∩A＝{4}，求A∪B.解：由(∁IA)∩B＝{2}，∴2∈B且2∉A.由A∩(∁IB)＝{4}，∴4∈A且4∉B.分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0))，∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}．1．以下四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C②、③、④正确．2．(2017·全国卷Ⅲ)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，那么A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选B由于A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.3．设I＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，那么A∩(∁IB)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：选B∁IB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁IB)＝{x|0<x≤1}．4．集合A＝{x|x<－3或x>3}，B＝{x|x<1或x>4}，那么A∩B＝________，A∪B＝________.答案：{x|x<－3或x>4}{x|x<1或x>3}5．集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围是________．解析：由于A∪B＝R，画数轴可知，实数a必需在点1上或在1的左边，所以有a≤1.答案：(－∞，1]6．集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B；(2)求(∁RA)∩B；(3)假设A∩C＝A，求a的取值范围．解：(1)借助数轴可知：A∪B＝{x|2<x<10}．(2)∁RA＝{x|x<3或x>7}．∴借助数轴可知，(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7<x<10}．(3)∵A∩C＝A，∴A⊆C，结合数轴可知a>7.在集合的运算中，重视并把握数学的一些思想方法和解答策略是特别重要的，可以起到化难为易，简洁快捷的作用．你能否归纳出在集合的运算中有哪些常用的数学思想方法和策略？它们的使用特点是什么？集合运算中常用的是数形结合的思想，主要是把满意条件的集合借助数轴，或Venn图，或平面直角坐标系的图形表示出来，从而求集合的交集，并集和补集，既简洁又直观，实现了集合语言向图形语言的转化．补集的思想也是常用的解答策略，当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，这种“正难那么反〞策略运用的正是补集的思想，如全集I，求子集A，假设直接求A较困难，可先求∁IA，再由∁I(∁IA)＝A，求得A.其实，补集的思想就是数学中转化化归的思想，尤其在涉及到交集与并集的运算性质的应用时，通常使用等价转化的思想解决，如A∪B＝A⇔B⊆A，可把问题转化为两集合的包含关系，从而可求得题目中的参数范围，但应留意肯定要考虑B＝∅和B≠∅两种状况．一、选择题1．A∩B＝A，B∪C＝C，那么A，C之间的关系必有()A．A⊆C B．C⊆AC．A＝C D．以上都不对解析：选AA∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.2．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，那么(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选BA∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，那么(A∪B)∩C＝{1,2,4}．3．A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，那么a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,a2＝16))得a＝4.4．全集I＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图，那么阴影局部所示的集合的元素共有()A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个解析：选B由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3，那么M∩N＝{1,3}，有2个．二、填空题5．假设I＝{n|n是不大于9的正整数}，A＝{n∈I|n是奇数}，B＝{n∈I|n是3的倍数}，那么∁I(A∪B)＝________.解析：I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．∴A＝{1,3,5,7,9}．B＝{3,6,9}．∴A∪B＝{1,3,5,6,7,9}．∴∁I(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}6．某班共30人，其中15人宠爱篮球运动，10人宠爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不宠爱，那么宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为________．解析：既宠爱篮球运动又宠爱乒乓球运动的有x人，那么只宠爱篮球运动而不宠爱乒乓球运动的有(15－x)人，只宠爱乒乓球运动而不宠爱篮球运动的有(10－x)人，依题意得：(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30.解得：15－x＝12(人)．答案：12三、解答题7．全集I＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1<x<1}，∁IN＝{x|0<x<2}，求集合N，M∩(∁IN)，M∪N.解：将全集I，及集合∁IN，M分别表示在数轴上，如图．N＝{x|－3≤x≤0或2≤x≤3}，M∩(∁IN)＝{x|0<x<1}，M∪N＝{x|－3≤x<1或2≤x≤3}．8．集合A＝{x|－3<x≤4}，集合