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高等数学要上课了，同学们准备好了吗？第一章：函数、极限与连续

第三节无穷小与无穷大一、无穷小量二、无穷大量三、无穷大量与无穷小量四、无穷小量阶的比较Ay=f(x)x0XY0Y=f(x)AXY0Y=f(x)Ay=f(x)A例如注意:2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小量1.定义极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.1.函数f(x)是无穷小，必须指明x的变化趋势.例1性质1.有限个无穷小量的代数和是无穷小量2.无穷小量的性质

推论常数与无穷小的积是无穷小.必须注意:两个无穷小的商未必是无穷小.性质2有限个无穷小的积仍是无穷小.性质3有界函数与无穷小的积是无穷小.3.利用无穷小的性质求极限：4.函数极限与无穷小的关系:二、无穷大量注：定理1中自变量变化趋势换成中任何一种形式都成立.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

定理1.6在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系

例4

讨论极限．解因为当例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.四、无穷小的比较定义1.7:定理1.7(等价无穷小替换定理)证明常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,解例例解例解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．用恰当的等价无穷小作代换，能简化极限的计算。但不能滥用等价无穷小代换.原则：只能对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各无穷小不能分别代换.注意例解例解解错小结：无穷小与无穷大的定义2.无穷小的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无穷量性质2有限个无穷小的积仍是无穷小推论常量与无穷小的积是无穷小.

性质3无穷小与有界量的积是无穷小.

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