2022届高考数学一轮复习立体几何题型专练-解答题C卷

2022届高考数学一轮复习立体几何题型专练-解答题C卷1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，平面平面ABCD，F为棱PD的中点.（1）在棱AB上是否存在一点E，使得平面PCE？并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角.2.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，.（1）求证：平面ABC；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点D（不与B、重合），使得，并求的值.3.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，，，E为PD的中点.

（1）求异面直线AC与PB间的距离；

（2）在侧面PAB内找一点N，使平面PAC，并求出N到AB和AP的距离.4.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，,，，M,N分别是AB,AD的中点且，平面平面ABCD.

（1）证明：平面ABCD；（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.5.如图所示的几何体中，，，，，，，.（1）求证：平面ABCD；（2）若，点F在EC上，且满足，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值.6.如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点到平面ABN的距离.7.如图，在直三棱柱中，，，，点E、F分别为、AB的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面AEF所成角的正弦值.8.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.（1）求证：平面PAC；（2）若，求PB与AC所成角的余弦值.

答案以及解析1.答案：（1）在棱AB上存在点E，使得平面PCE，且E为棱AB的中点.理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ、FQ，由题意得，且，因为且，所以且.所以四边形AEQF为平行四边形.所以.又平面PCE，平面PCE，所以平面PCE.（2）连接BD、DE.由题意知为正三角形，所以，即，又，所以，且平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由题意知，，，则，，设平面FBC的法向量为.则令，则，，所以，易知平面DFC的一个法向量，因为二面角的余弦值为，所以，即，解得（负值舍去）.因为平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在中，，所以，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.2.答案：（1）证明：四边形是正方形，.又平面平面，平面平面，平面ABC.（2）由，，，得，.建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.则令，则，，.令，则，..平面与平面夹角的余弦值为.（3）证明：设点D的竖坐标为，在平面中作于点E，易得，，由（1）知，，，即，解得..3.答案：（1）由题意得，，.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

，，.

设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为，则，，

令，则，，即.

设异面直线AC、PB之间的距离为d，则.

（2）设在侧面PAB内存在一点，使平面PAC，

由（1）知，

，

解得，

N到AB的距离为1，N到AP的距离为.4.答案：（1）连接DM，显然且，

四边形BCDM为平行四边形，

且，是正三角形，，

平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，

平面PAD，，又，且，

平面ABCD.（2）连接BD，易知，，.

在中，，，，

，

，.

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面PNC的一个法向量，

，，，；

设平面PNM的一个法向量，

，，，；

，，，

设二面角所成的角为，.5.答案：（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以（负值舍去），因为，所以是直角三角形，.又，，所以平面ABE.因为平面ABE，所以，因为，，所以平面ABCD.（2）由题易得，由（1）知，平面ABE，所以平面平面ABE，如图，以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则，，，，因为，所以，易知，，设平面FAD的法向量为，则即令，则，所以.由（1）知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.设平面FAD与平面ADC的夹角为，则，所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.6.答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，是的中点，.，，则，.设点N到直线AB的距离为，则.（2）设平面ABN的法向量为，则由，，得令，则，，即.易知，设点到平面ABN的距离为，则.7.答案：（1）证明：如图，连接、，因为三棱柱为直三棱柱，所以E为的中点.又因为F为AB的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面AEF的法向量为，则令，得，记与平面AEF所成角为，则.8.答案：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.又因为，所以平面PAC.（2）