北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案

北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x3．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣14．不等式5+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第1页。6．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于（）北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第1页。A．2﹣ B．1 C． D．﹣17．若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣8．若解分式方程＝产生增根，则m＝（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣59．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AB＝AD D．∠D＝∠B10．如图所示，在▱ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接EF，CF，CE，则下列结论不一定正确的是（）A．△CDF≌△EBC B．∠CDF＝∠EAF C．CG⊥AE D．△ECF是等边三角形二．填空题（共6小题）11．分解因式：x2y﹣y3＝．12．若分式的值为0，则x的值为．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第2页。13．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第2页。14．若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为．15．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是．16．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为a，那么平行四边形ABCD的周长是．三．解答题（共9小题）17．解不等式组．18．分解因式：（1）﹣2a3+12a2﹣18a；（2）（x2+4）2﹣16x2．19．先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．20．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第3页。21．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元，则：北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第3页。（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．22．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？23．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．24．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第4页。25．如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第4页。（1）点A坐标为；（2）当t＝2时，S△OPQ＝；当t＝3时，S△OPQ＝；（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第5页。

北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第5页。参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：C．3．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第6页。【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第6页。【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，解得，x≠2，故选：A．4．不等式5+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】先解不等式得到x＜﹣2，根据数轴表示数的方法得到解集在﹣2的左边．【解答】解：5+2x＜1，移项得2x＜﹣4，系数化为1得x＜﹣2．故选：C．5．如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．【解答】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，则P（a﹣2，b+3）故选：A．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第7页。6．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于（）北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第7页。A．2﹣ B．1 C． D．﹣1【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD＝BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′＝AC′＝1，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD＝BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′＝AC′＝1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．故选：D．7．若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣9，整理得：2x＝﹣2m+9，解得：x＝，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第8页。∵关于x的方程+＝3的解为正数，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第8页。∴﹣2m+9＞0，解得：m＜，当x＝3时，x＝＝3，解得：m＝，故m的取值范围是：m＜且m≠．故选：B．8．若解分式方程＝产生增根，则m＝（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+4），得x﹣1＝m，∵原方程增根为x＝﹣4，∴把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，故选：D．9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AB＝AD D．∠D＝∠B【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC＝∠DCA，推出AB∥CD即可．【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB＝DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；B、根据∠1＝∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；C、根据AB＝AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠B＝∠D，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第9页。∴∠BAC＝∠DCA，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第9页。∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．故选：D．10．如图所示，在▱ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接EF，CF，CE，则下列结论不一定正确的是（）A．△CDF≌△EBC B．∠CDF＝∠EAF C．CG⊥AE D．△ECF是等边三角形【分析】A、根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每一个角都是60°表示出∠CDF＝∠EBC，平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得CD＝EB，DE＝BC，然后利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定正确；B、表示出∠EAF，可得∠CDF＝∠EAF，判定正确；C、根据等边三角形的性质，只有∠ABC＝150°时，CG⊥AE；D、同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等边三角形，判定正确．【解答】解：A、∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∠ADF＝∠ABE＝60°在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，∠ADC＝∠ABC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠ADC＝∠ABC，∠ADF＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；B、∵∠EAF＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故B正确；北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第10页。北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第10页。C、在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故C错误；D、同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故D正确；不一定正确的有：C，故选：C．二．填空题（共6小题）11．分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．12．若分式的值为0，则x的值为﹣3．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第11页。【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第11页。【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．解得x＝±3因为x﹣3≠0，即x≠3所以x＝﹣3．故答案为﹣3．13．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为30或150度．【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，∴∠A＝30°，②如图，∵CD是△ABC边BA上的高，DC＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30或150．14．若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为5．【分析】等式两边同除ab，然后变形即可．【解答】解：对a2﹣5ab﹣b2＝0两边同除ab，得﹣5﹣＝0，整理得，＝5，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第12页。故答案为：5．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第12页。15．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是x＞3．【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．【解答】解：当x＞3时，x+b＞kx+6，即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．故答案为：x＞3．16．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为a，那么平行四边形ABCD的周长是2a．【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC＝MA，因此△CDM的周长＝AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵OM⊥AC，∴AM＝MC．∴△CDM的周长＝AD+CD＝a，∴平行四边形ABCD的周长是2a．故答案为2a．三．解答题（共9小题）17．解不等式组．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第13页。【解答】解：，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第13页。由①得：x＜3，由②得：x≥2，不等式组的解集为：2≤x＜3．18．分解因式：（1）﹣2a3+12a2﹣18a；（2）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．19．先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．【分析】此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．【解答】解：（1﹣）•，＝•，＝，∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，x≠3，∴把x＝2代入得：原式＝＝﹣2．20．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第14页。（2）把△A1B1C1绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第14页。【分析】（1）把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到△△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2，从而得到△A1B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A1B2C2为所作．21．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元，则：（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．【分析】（1）根据收费总额＝学生人数×单价+校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；（2）分两种情况讨论，当y甲＞y乙、y甲＜y乙时，求出哪种情况更优惠．【解答】解：（2）设学生人数为x人，由题意，得y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720；（2）y甲＞y乙时，600x+1200＞720x+720，解得：x＜4故当x＜4时，乙旅行社优惠．当y甲＜y乙时，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第15页。600x+1200＜720x+720，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第15页。解得：x＞4，故当x＞4时，甲旅行社优惠．22．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10＝，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．23．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第16页。①写出BP，BD的长；北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第16页。②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP＝BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD＝AD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2＝（4﹣x）2+22，推出x＝，推出DN＝＝，由△BDN∽△BAM，可得＝，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得＝，由此求出AE＝，可得EC＝AC﹣AE＝4﹣＝由此即可解决问题．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC＝2，AC＝4，∴AB＝＝2，∵AD＝CD＝2，∴BD＝＝2，由翻折可知，BP＝BA＝2．②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDP＝135°，∴∠PDC＝135°﹣45°＝90°，∴∠BCD＝∠PDC＝90°，∴DP∥BC，∵PD＝AD＝BC＝2，∴四边形BCPD是平行四边形．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第17页。（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第17页。设BD＝AD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2＝CD2+BC2，∴x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝，∵DB＝DA，DN⊥AB，由△ADN∽△ABC，可得＝，∴＝∴BN＝AN＝，在Rt△BDN中，DN＝＝，由△BDN∽△BAM，可得＝，∴＝，∴AM＝2，∴AP＝2AM＝4，由△ADM∽△APE，可得＝，∴＝，∴AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝4﹣＝，易证四边形PECH是矩形，∴PH＝EC＝．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第18页。24．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第18页。探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝10，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第19页。理由如下：连接CE，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第19页。由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝10，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝5，∵∠DAE＝90°，北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第20页。∴AD＝AE＝DE＝．北师大版八年级数学第二学期期中考试试题及答案全文共23页，当前为第20页。25．如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．（1）点A坐标为（3，3）；（2）当t＝2时，S△OPQ＝6；当t＝3时，S△OPQ＝；（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，由△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，可求出AD、OD的长度，从而得出点A的坐标