概率练习册第三章答案

试求试求(1)系数c； (2)X和Y各自的边缘密度函数;X\Y123Pi.101/61/121/421/61/61/61/231/121/601/4P・j1/41/21/42.一II袋中有四个球，它们依次标有数字122,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求(X,y)的分布律与关于X和Y的边缘分布率及P(x=r)o解：P{x=Y}=P{X+1,Y=1}+P{X=2,y=2}+P{X=3,/=3}=0+丄+0=丄663.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为：cxy20(0<x<2,0<y<1),(其他).I:/(^y)dxdy=1HRMG曲)=(2)fx(x)=Cf(x,y)dy•r—Xi3鳥曲儿0＜丫＜2=0,其他j-,0<x<2fo,其他f23 .fy(y)=匸TV,y)dx=p02可dx,Q<y<{=<0,其他3v\0<y<10,其他⑶P(X<Y)=\；^dydx=[x4〔2Tdx=0.154•求在D上服从均匀分布的随机变量(X“)的密度函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+l围成的三角形区域；并写出关于X及关于Y的边缘密度函数。4,--<x<0,0<y<2x+l2 0,其他氏⑴=匸/(忑刃dy4dy--<x<0_J8x+4-—<x<0人(y)=p7(x,y)dx=<k0,其/I 0,人(y)=p7(x,y)dx=<k4d”0<y<1J2(l-y),0<y<10,其他 l。其他5•设国际市场上甲、乙两种产品的需求量(单位：吨)是服从区域G上的均匀分布，G={(x,y)|2000<x<4000,3000<y<6000},试求两种产品需求量的差不超过1000吨的概

率・解:皿吒十“ ■ 『40000rx+iooop(r-x<iooo}= dydx=-6000000' 3JJ/(xOp(r-x<iooo}= dydx=-6000000' 3y<.v+1000习题3-2 独立性与条件分布1.袋中有2个红球，3个白球。现随机地抽取2次，每次抽取一个，定义1第一次取到红球 1第二次取到红球X—< 9Y— 90第一次取到白球 0第二次取到白球分别就有放回和无放回抽样两种情况,求(XV)的分布律和关于X#的边缘分布律,并判断是否相互独立。［解］(1)有放回抽样：rx,Y丿的分布律和出边缘分布为:X、/相互独立。TOC\o"1-5"\h\z3 2 3 3 2 3(2)无放回抽样：p{x=o.r=o}=-x-=—,p{x=o,r=i}=-x-=—'5 4 10 5 4 102 3 3 2 1 1P{X=l”=0}=—x—= P{X=1』=1}=—x—=—5 4 10 5 4 10(X、)的分布律和边缘分布为:显然,P{X=O,Y=O}=—hP{X=O}P{Y=O}=—10 25X、Y不相互独立。2.2.甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙命中的次数。试求X和Y的联合概率分布。解：因为X与Y相互独立P{X=m,y=n}=P{X=m}P{Y=n}=CT0.2m0.S2'mC^.5n0.52~n,m,n=0,1,2.所以X和Y的联合概率分布律为：Y\X01200.160.080.0110.320.160.0220.160.080.013•设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取值，而随机变量Y在1〜X中等可能地取一个整数•求：(1)X=2时，丫的条件分布律；(2)Y=1时，X的条件分布律.解：1234P・j11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/161/4840001/161/16(2))2(2))2Pi・1/41/41/41/4P{X=2}=l/4P{Y=yjP{Y=yj\X=2}=P{X—兀}P{X=2}故X=2时“的条件分布律k1234P^Y=k\X=2)0.50.500P{y=l}=25/48P{X=XiP{X=Xi\Y=l}=P{Y=1}故Y=1时，X的条件分布律为:k1234P(X=k\Y=l)0.480.240.160.124.设二维随机变量(Xf)的联合密度函数为/(^y)=x>0/(^y)=x>0、y>0其他求：(1)系数S(2)P(0<X<l,0<y<2)：(3)证明X与丫相互独立。解：(1)J'-KCf-HX-xJ_ock^e-ixk^e-ixdx^e-4ydy=k+ooko=n=1^=12P(0<X<L0<y<2)=12(k'dxfe~4ydy=12丿0〔4o=(l-e-3)(l-e-s)fx(x)=^f(x9y)dy『ne-ixe~4ydy,x>00,x<0「3严x>00/50f+Xfy(y)=\f(^y)dxV—X12广f+Xfy(y)=\f(^y)dxV—X12广ZTydx』>0OjYO21x2y\0,0<x<y<1

其它4严」>0o,y<o显然f（x,y）=fx（x）fY（y）,所以，X与Y相互独立5.己知（X,Y）的联合密度函数为214 0,其他fY(y)=^f^y)dx£2lx214 0,其他fY(y)=^f^y)dx£2lx2yzdx,0<y<1° 0,其他7y\0<y<10,其他fx\y(x\y)=/(x,y)_f3x2/y3A()0Io0<x<y<1

其他（1） 求在Y=y的条件下X的条件概率密度函数（2） X与Y是否相互独立？说明理由。⑶求P{o<x<l|r=l}［解］⑴人（切=广/（兀刃心「21亍)卩心,0<x<l一(x2-x6)fl<x<1=Jx =SI((3)(2)显然/(X,刃H/x(x)人(刃，X与Y不相互独立p{o<x<-,y=i}J L__=ip{o<x<l,r=l}习题3-3 二维K机交量函数的0布设x与y相互独立，且同服从参数为九的泊松分布，即P{X=k}=P{Y=k}= ,k=0丄2,…，久>0,k\(1)求Z=X+Y的分布律：⑵求M=max(X,Y)的分布律；⑶求N=min(X")的分布律。解：(1)P{X+Y=n}=P{X=O.K=n}+P{X=1\Y=n-1}+…+…+P{X=厲丫=0}=(2兄化①n\(2)P{M=m}=P{X=m,Y=m}+P{X=m9Y=m-1}+P{X=m-UY=m}+-+P{X=O.Y=m}J岳"2,…P{M=n}=P{X=n,Y=n}+P{X=n,Y=n+l}+P{X=n+l,Y=n}+•…\-£品Y>0设…,X”相互独立，且具有公共分布函数F(x)=・ 0, x<0求丫=n[min(X1,X?,X”)]的分布函数。解：设Z=n1ni(X1,X2，-,XJFx(刃=P{y5刃=P{〃Z<y}=P{Z<2}=1_[1一1+异:]“,y〉00,yW0_1-严』>0一〔0,y<0Y〜E(A)设随机变量X,丫相互独立，其概率密度分别为QQ,y>00, y<0求随机变量Z=2X+/概率密度函数。解:心):諾>°Fz(Z)=P{2X+Y<z}0,z<0=<0"<2JoJo0^<0r；+1+r0,z<0加）=尺⑵=”厂，0"<24.设随机变量(X』)在正方形G={^y)\l<x<\l<y<3}±服从均匀分布，试求随机变量Z=\X-Y\的概率密度fz⑵oW：/U,y)=H4-x-34-}，-30,其他先求Z的分布函数代(Z)=P{Z<Z)=P{|X-r|<z}=\\f^y)dxdy\^-y\<z^l<x<3,l<y<3,Si0<|x-y|<2,因此，当？<0时E⑵=0当Z>2时Fz⑵=1当0"<2时，代(2)=2[4-(2-乙)']=乙一1疋4 4■Z-^z\0<z<2故钱⑵R0二<0.1,2〉2于是随机变量u=|x_丫|的概率密度fA^=F:\z)=\i~2Z,Q~z~20,其他第三章复习题一填空题(X,y)是二维连续型随机变量，用(X")的联合分布函数F(x,y)表示下列概率:p(a<X<b,Y<c)= ;p(X<a,Y<b)= ;p(O<Y<ci)= ;p(X>a,Y<b)= 答案：答案p(a<X<b,Y<c)=F(b,c)-F(a9c)p(X<a,Y<b)=F(a,b)(3)p(0<Y<ci)=F(+s,d)-F(+s,O)(4)p(X>a,Y<b)=F(+oo,b)-F(a,b)随机变量(X“)的分布率如下表，则匕0应满足的条件是 X12311/61/91/1821/3aP若X』相互独立，则&= 0= 设平面区域D由曲线y=丄及直线y= = =/所|韦］成，二维随机变量(XV)在区域xTOC\o"1-5"\h\zD上服从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为 。答案：1 t f 1厂・“ 一 l<x<e",O<y<-/(X")=2 x0 其他(01、 34・设随机变^X^X2.X3相互独立且服从两点分布，贝=月艮从、0・80.2丿 ;=1分布 O答案：二项分布b-(3,0.2)

5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(禺刃=肩°+2刃’0<X<1，0<}<1,则当0 , 其他Ovxvl时，X的边缘概率密度函数fx(x)= °2答案：彳(X+1)12-301-3则卜•列各式成12-301-3则卜•列各式成1.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，均服从两点分布立的是( )⑷X=Y (C)p(X=Y)=1(B) p(X=r)=| (£»p(X=Y)=O(A)(扛)(B)(C)(12)(A)(扛)(B)(C)(12)[1015;(D)答案：c因为0101/92/91294/92.设两个随机变量x与丫的联合分布如下X-1101/15p1q1/52153/10则当(/“)=( )时，随机变量x与丫独立。答案：C因为:P{X=2}=l/5+3/10=l/2P{X=2"=—1}=P{X=2}P{Y=—1}即1/5=1/2P{Y=-1}P{Y=-l}=2/5P{X=2,Y=l}=P{X=2}P{Y=1}即3/10=l/2P{Y=1}P{Y=l}=3/5

P{X=O,y=-l}=P{X=0}P{Y=—1}即1/15=2/5P{X=0}P{X=0}=l/61 3 1P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}即p=-x-=—P{X=1,Y=]}=P{X=1}P{Y=1}即l/5=3/5P{X=1}P{X=l}=l/3P{X=_1』=1}=P{X=-i}P{Y=1}即z15设两个随机变量x与丫相互独立且同分布p{x=-i}=p{y=-i}=l,P{X=1}=P{F=1}=丄贝IJ( )(A)P{X=Y}=- (B)P{X=Y}=1(C)P{X+Y=0}=#(D)p{xy=i}=l答案：A3 4设X和丫为两个随机变量，且P{X>0,r>0}=-,p{X>0}=P{Y>0}=-,则P{niax(X.r)P{niax(X.r)>0}=()3 4(A) - (B)-7 7(C)-7答案：C,因为(D) 1P{max(X,y)>0}=P{X>0或Y>0}=P{X>0}+P{Y>0}->0,y>0}=|5•设随机变量X与Y相互独立，且X〜NgQY〜Ng応,则X+Y仍具有正态分布，其分布为（ ）（A） +加）； （B）N（“+/z2,cr1cr2）;（C）N（“i+“2，“'穴）; （D） +穴）答案：D三将两封信投入编号为1,2,3的三个邮筒。设X,Y分别表示投入第1,2号邮筒的信的数目。（1）求（XM）的分布律；（2）问X』是否相互独立？（3）求当Y=0时，X的条件分布律；分布律；(4)求Z=2X+Y分布律:(5)求A/=max(X,y)与N=min(X』)012P-J01/92/91/94/912/9012P-J01/92/91/94/912/92/904/921/9001/9Pi・4/94/91/9的分布律。(6)求第3个邮筒里至少投入一封信的概率解：(1)(2)因为p{x=o,丫=0}=£工P{x=o}P{Y=°}=普X|(Y=0)012Pk1/41/21/4故(4)P{Z=k}=P{2X+Y=k}Z=2X+Y的分布律:z01234Pa1/92/93/92/91/9(5)因为P{M=k}=P{X=k或丫=灯=P{X=k}+P{Y=k}-P{X=k.Y=k}故耐=故耐=max(X.r)的分布律为:012Pk1/96/92/97P{W=0}=P{X=0}+P{Y=0}_P{X=0,Y=0}=g2P{/V=l}=l—P{/V=0}=§故W=min(XV)的分布律为:N0故W=min(XV)的分布律为:N01Pk7/92/9四设(X,Y)〜f(x.y)=Cxe^\0,0vxvyvs其它（1）求常数c；（2）求（x,Y）关于x,Y的边缘概率密度AW.ACy）：（3）求/沖3）'）』屮（）技）；（4）求（XM）的分布函数y）:（5）求Z=X+Y的概率密度；（6）求M=max（XY）,N=min（X』）的概率密度;（7）求P{X+Y<1}.解：（1）因为匸匸/（X，）'）dxdy=l(2)fxfX>解：（1）因为匸匸/（X，）'）dxdy=l(2)fxfX>=匸i(x,y?dy=x>0xVOfY<y)=匸i(x,y?dy=^2y6y>0y<02x

y"o,0<x<y<oo其它fv\xOHX)=fx⑴I0,0<x<y<oo

其它x<x<0或)y00<y<x<+oo0<x<y<+oo(4)F(x,y)=jf(u,v)dudv0.=<££ue~vdudv,ffue~'dvdu.JoJ”0, x<0或yv0=<l-(y2/2+y+l)e~\ 0<y<x<+ool-(x+1)广丫-x2e'v/2,0<x<y<+^U=vXXoX>yX<y(5)/z⑵=j^f(x,z-x)dx当Z<0时，/(x,z-x)=0=>/z⑵=0当z>0时，xvy即xvz—兀故0vxv上2fz⑵=^xe-^dx即fzfz>=fl+ -l>ez/2/e'zo,z<0w■[1+(|-i)^k\z>o

⑹2<时&⑵=0Z>0时®⑵=P{M<z}=P{X<z,Y<Z}=JohQdv=1一(*，+?+1)厂0,2<0|-^-(7)P{X+y<1}=dx^~xxe--(7)P{X+y<1}=dx^~xxe-ydy=U 丿M=max(X")的概率密度为丄/m丄/m⑵=尸;⑵=<2z>oz<o时仏⑵=o=1乙>o时F,v(z)=P{N<z}=i-P{N>z}=i-P{X>z,Y>Z}ue^du=1+(z，+2?+2)e=1o,z<0l+(z，+2z+2»=znoN=min(XN)的概率密度为N=min(XN)的概率密度为z>0z<02五设(X,Y)〜几兀刃」弓A|vl,|y|vl2[