【2022高考数学一轮复习】二次函数

1第十一课时二次函数第三章基本初等函数（Ⅰ）

1.二次函数的解析式（1）一般式：

，（2）顶点式：

，（3）两根式：

.2y=ax2+bx+c（a≠0）y=a（x-m）2+n（a≠0），顶点（m,n）y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，且Δ>0）

2.二次函数的图象与性质（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴的方程为

.当

a＞0时，抛物线开口向上，在（-∞，

］上单调递

，在［

,+∞）上单调递

；当a＜0时，抛物线开口向下，3增减

在（-∞，

］上单调递

，在

［

，+∞）上单调递

.

（2）记Δ=b2-4ac，则当

时，图象与x轴有两个交点；当

时；图象与x轴只有一个交点；当

时，图象与x轴没有交点.

4增减Δ＞0Δ=0Δ＜0

1.已知a、b、c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.0或1

因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac＞0，所以Δ=b2-4ac=-3b2＜0，故选A.5

2.（2008·北京卷）函数f（x）=（x-1）2

+1（x<1）的反函数为（

）

A.f

-1（x）=1+

（x>1）

B.f-1（x）=1-

（x>1）

C.f

-1（x）=1+

（x≥1）

D.f

-1（x）=1-

（x≥1）

由y=（x-1）2+1（x<1），得x-1=

即x=1

（y>1）,故选B.6

3.已知二次函数y=f（x）满足f（3+x）=

f（3-x），且方程f（x）=0有两个实数解x1,x2，则x1+x2=（）

A.3

B.6

C.-3

D.-6

由已知得函数图象的对称轴为直线x=3，所以x1+x2=6.故选B.7

4.已知函数y=x2+（a+4）x+3（a≤x≤b）的图象关于直线x=1对称，则b=

.

由于对称轴方程，则a=-6.由1-（-6）=b-1，得b=8.88

5.已知函数f（x）=x2-6x+8,x∈［1,a］,且函数f（x）的最小值为f（a），则a的取值范围是

.

抛物线的对称轴方程是x=3，又函数f（x）在区间［1，3］上是减函数，于是a∈（1,3］.9（1,3］

1.二次函数的性质（1）定义在R上的二次函数f（x）与x轴有两个交点（-1,0）,（2,0）,若f（0）>0，则f（x）有最

值（填“大”或“小”）.（2）若f（x）=ax2+bx+2b>0的解集为（-1,2），则实数b的取值范围是

.（3）已知二次函数f（x）的二次项系数为1，且满足f（1-x）=f（1+x）,f（2）=-1，则f（x）=

.10x2-2x-1大（0,+∞）

（4）若函数f（x）=（m-1）x2+2mx+3是偶函数，则f（x）的单调递增区间为

.

2.二次方程根的分布

（1）函数f（x）=-x2+2ax+2-a，若f（x）=0在［-1,1］上的根只有一个，则a应满足的条件是

.

（2）函数f（x）=x2-x-3的图象被x轴截得的弦长是

.11（－∞,0）a≤-1或a≥

（3）设f（x）=x2+px+q，且f（1）=f（2）=0，则f（x）<0的解集为

.

（4）若关于x的方程ax2+2x+1=0只有负实数根，则实数a的取值范围是

.

3.二次函数性质的应用

（1）函数f（x）=x2-4x-1（0<x≤5）的值域是

.

（2）若函数f（x）=x2-2（2+a）x+1在

［-1,+∞）上是增函数，则实数a的取值范围

是

.12（1,2）［0,1］［-5,4］（-∞,-3］

题型１二次函数的解析式已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-2,6）时，f（x）>0，当x∈（-∞,-2）∪（6,+∞）时，f（x）<0，且f（0）=48，求f（x）.13

依题意知函数f（x）的图象是抛物线，且开口向下，故a<0,且x=-2和x=6是f（x）=0的两个根，则设函数f（x）=a（x+2）（x-6）=

ax2-4ax-12a，所以f（x）=-4x2+16x+48.14比较得解得

【评注】二次函数的表示方法有三种：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=

a（x-b）2+c（a≠0）；交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式.根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x=-2或6是f（x）=0的两个根，所以x=2是其对称轴方程，于是设f（x）=a(x-2)2+c.由即得所以f（x）=-4x2+16x+48.15

已知二次函数f（x）满足

f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.（1）求f（x）的解析式；（2）在区间［-1,1］上，函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围.

（1）设函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0），则a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+bx+1+2x,16所以f（x）=x2-x+1.

（2）当x∈［-1,1］时，由x2-x+1>2x+m，得x2-3x>m-1.当x=1时，（x2-3x）min=-2,所以m-1<-2，则m<-1.故实数m的取值范围是（-∞,-1）.17整理得解得

题型2

二次函数的零点分布设函数f（x）=2x2-3x+2m至少有一个零点在区间［-1,1］上，求实数m的取值范围.

间接法求解：设函数f（x）在区间［-1,1］上无零点，则2x2-3x+2m=0在区间［-1,1］上无实数根，于是方程有两个在区间［-1,1］外的根，或方程无解，18即实数m满足：或Δ=9-16m<0，得m>

.

所以f（x）在区间［-1,1］上至少有一个零点的实数m的取值范围是［

,

］.19即得

【评注】本题用直接法求解，可能要方便一些，因为符合条件的m只需满足即可，于是m∈［,］，这里主要考虑到函数的对称轴x=∈［-1,1］，否则若对称轴在给定的区间外，麻烦的分类讨论就在所难免.20

已知函数f（x）=mx2+（m-3）x+1与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.

若m=0，则f（x）=-3x+1，此时有一个零点x=

在原点的右侧，符合要求；

若m≠0，则函数的图象与x轴有交点的条件是Δ=（m-3）2-4m≥0，得m≤1或m≥9，分两种情况：21

①若只有一个零点在x轴的右侧，则由两个零点的乘积小于0知m<0；

②若两个零点都在x轴的右侧，则m满足

得0<m<3.

综上，得实数m的取值范围是（-∞,1］.22

题型3二次函数的最值已知函数f（x）=-x2+ax+发到（0≤x≤1）的最大值为2，求实数a的值.

函数图象的开口向下，对称轴方程为x=

.当

<0，即a<0时，［f（x）］max=f（0）=

=2，得a=-6;23

当0≤

≤1，即0≤a≤2时，

得a∈;

当

>1，即a>2时，

得a=

.

综上，知所求a的值为-6,

.24

【评注】二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：①定区间，定轴；②定区间，动轴，本题是这一类；③动区间，动轴.要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论.如果二次项系数是参数，那么参数是否为0要注意.25

已知二次函数f（x）满足：

①f（1-x）=f（1+x）；②函数的最大值为15；③函数的图象被x轴截得的弦长为

，求函数f（x）的解析式.

由①知，函数图象的对称轴方程为x=1，

再由②，可设f（x）=a（x-1）2+15=

ax2-2ax+a+15.26

设（x1,0）,（x2,0）是函数图象与x轴的两个交点，则x1+x2=2,x1·x2=1+

.故由弦长公式知

得a=-6.于是f（x）=-6x2+12x+9.27

题型4

含参数的二次函数

已知函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

f（x）=2（cosx-

）2-

-2a-1.

令t=cosx∈［-1，1］，则：①当

＜-1，即a＜-2时，g（a）=1；28

②当-1≤

≤1，即-2≤a≤2时，g（a）

③当

＞1，即a＞2时，g（a）=1-4a.

综上所述，有：29

【评注】本题综合考查了二次函数与三角函数.利用三角函数的有界性转化为动轴动区间的二次函数问题，合理分类即可正确求解.

30若函数f（x）=（m-2）x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围.

（1）若m=2，则f（x）=-8x-2，与x轴的交点是（,0），符合要求.（2）若m≠2，用间接法：f（x）的图象与x轴的非负半轴有两个交点（x1,0）、（x2,0）或与x轴无交点时，31解得m≥3或m≤-6；或Δ=16m2-4（m-2）（2m-6）<0，得-6<m<1.综合得，图象与x轴的负半轴无交点，则m<1或m≥3.于是符合条件的实数m的取值范围是［1,3）.32有

题型5二次函数的应用已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的不动点.（1）当a=-b=2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求实数a的取值范围；（3）当a=1，且函数f（x）在区间［-1,1］上的最小值为-2时，求b的值.33（1）当a=-b=2时，函数f（x）=2x2-x-4.设x为f（x）的不动点，则2x2-x-4=x，即2x2-2x-4=0，解得x1=-1或x2=2，所以函数f（x）有两个不动点-1和2.（2）由于f（x）=x，即ax2+bx+b-2=0，依题意，此方程有两个相异实数根，34则Δx=b2-4a（b-2）>0，即b2-4ab+8a>0恒成立，故Δb=16a2-32a<0，解得0<a<2,所以，实数a的取值范围为（0,2）.（3）当a=1时，f（x）=x2+（b+1）x+b-2，其对称轴方程为x=

35当<-1，即b>1时，［f（x）］min=

f（-1）=-2，符合要求；当>1，即b<-3时，［f（x）］min=

f（1）=2b=-2，得b=-1，不符合要求；当-1≤≤1，即-3≤b≤1时，［f（x）］min=f（）=-2，即b2-2b+1=0，得b=1，符合要求.综上，得实数b的取值范围为［1,+∞）.36

【评注】本题是用方程的思想，研究函数问题.本题有三点需要细心体会：一是给研究对象下定义，是数学的显著特征，不动点的概念，本质上是使函数值等于自变量的值所成立的方程的解；二是二次方程中不等式的恒成立问题；三是讨论对称轴与区间的位置关系.37

已知二次函数f（x）的二次项系数是a，设f（x）>-2x的解集为（1,3）.（1）若f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围.

（1）依题意设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）>0，即f（x）=ax2-（2+4a）x+3a>0（a<0）.38又f（x）+6a=0有两个相等的实数根，即ax2-（2+4a）x+9a=0有两个相等的实数根，所以Δ=（2+4a）2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a1=或a2=1（不符合要求）.所以

39（2）因为f（x）=ax2-（2+4a）x+3a>0（a<0），则即a2+4a+1>0,解得a<或a>

.又因为a＜0，所以实数a的取值范围是（－∞,）∪（,0）.40了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系.掌握一元二次不等式的解法，是研究基本初等函数的重要工具.高中数学的许多问题都可以转化为二次函数处理，且高考久考不衰，灵活多变.41

1.二次函数的性质

抛物线f（x）=ax2+bx+c（a≠0,Δ≥0）截x轴所得的弦长

（x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根）；二次函数

f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在定义域上存在最值，当a>0时，有最小值；当a<0时，有最大值，在闭区间［m,n］（m<n）上最值不一定在端点处取得（对称轴x=

∈［m,n］时;若a>0，最小值为f（

）；若a<0，最大值为

f（

））.42

2.二次函数性质的应用若二次项系数含有参数a，必须分a>0,

a=0,a<0进行第一层次的分类讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论，对称轴与区间的关系有三种类型，即对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动；对称轴与区间都固定.要根据具体情况分别对待.43

3.二次方程根的分布二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布可归结为二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点的分布.用二次方程研究：二次方程有两异号实数根的充要条件是x1x2=

<0；有两正实数根的充要条件是44

用二次函数研究：二次方程有两异号实数根的充要条件是af（0）<0；有两正实数根的充要条件是45有两负实数根的充要条件是有两负实数根的充要条件是46

1.（2008·湖北卷）已知函数f（x）=x2+2x+a,f（bx）=9x2-6x+2,其中x∈R，a、b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为

.

方法1：令u=bx，得x=

，所以

则b2=9,2b=-6,a=2，所以a=2,b=-3,47所以f（x）