离散型随机变量及其分布列 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2

离散型随机变量及其分布列一般地，一个试验如果满足下列条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行;

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个;

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.1.随机试验的概念

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.2.样本点与样本空间的概念

求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系.例如，掷一枚骰子，用实数m(m＝1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为m”;又如，掷两枚骰子，样本空间为Ω＝{(x,y)|x,y=1,2,‧‧‧,6}，用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x,y)就与实数x+y对应.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.情景引入类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5,4,3,2,1；等等.对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引人一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.情景引入

探究考察下列随机试验及其引入的变量:

试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；

试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y有哪些共同的特征?对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1组成长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示.

探究考察下列随机试验及其引入的变量:

试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；

试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y有哪些共同的特征?对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h,th,tth,tth,‧‧‧}.Ω2包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示.一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下共同点:

(1)取值依赖于样本点；(2)所有可能取值是明确的.随机变量：

随机变量将随机事件的结果数量化1.随机变量和离散型随机变量试验1中随机变量X的可能取值为0,1,2,3,共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1,2,3,‧‧‧，有无限个取值，但可以一一列举出来.离散型随机变量的定义:1.随机变量和离散型随机变量例1

判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由.题型一随机变量的概念(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；(3)体积为8cm3的正方体的棱长.解(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量.(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量.(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.1.解题的关键是判断变量(试验结果)是否符合随机变量的定义.2.随机变量X满足三个特征：(1)可以用不同的数来表示不同的试验结果；(2)试验前可以判断其可能出现的所有值(取值是明确的)；(3)在试验前不能确定取何值.思维升华训练1

指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)一个袋中装有3个白球和2个黑球，从中任取2个，其中所含白球的个数；(2)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度.(3)某个人的属相随年龄的变化.解(1)从5个球中取2个球，所得的结果有以下几种：2个白球；1个白球和1个黑球；2个黑球.且出现哪个结果都是随机的，因此是随机变量.(2)林场树木的高度可以取(0，30]内的一切值，是一个随机变量.(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量.2.随机变量与函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0,1,2,‧‧‧,10；某网页在24h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0,1,2,‧‧‧；等等.现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.解：2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500ml的饮料，其实际含量与规定含量之差.(1)点数之和X是离散型随机变量，X的可能取值为2，3，‧‧‧，12.{X＝k}表示掷出的点数之和为k.(2)进球个数Y是离散型随机变量，Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射进k个球.(3)误差Z不是离散型随机变量.课堂练习课本P60T2根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由掷出各种点数的等可能性，我们还可以得到这一规律我们还可以用下表来表示.X123456P随机变量X的概率分布列3.随机变量表示随机事件一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，简称分布列.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn4.离散型随机变量的分布列与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示.例如，下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:5.离散型随机变量的分布列的性质利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为类似地，事件“掷出偶数点”的概率为2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为X0123P0.20.30.150.45课本P61T2T4课堂练习

试说明该同学的计算结果是否正确.不正确4.某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为解：

例1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.用表格表示如下：X01P0.950.05两点分布例题研讨6.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，

表示“失败”,定义如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示.X01P1－pp实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.我们称X服从两点分布或0—1分布.3.篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列.设罚球得分为X，{X＝0}＝“罚球未命中”，{X＝1}＝“罚球命中品”，则X的分布列为解：用表格表示如下：X01P0.30.7课本P60T3课堂练习

由题意得，X的可能取值为1,2,3,4,5，则X的分布列为解：

例2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4).用表格表示如下：等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030X12345P例题研讨4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列.由题意得，正面向上的次数X的可能取值为解：用表格表示如下：0，1，2.∴X的分布列为由于抛掷一枚硬币2次可能出现的结果有正正，正反，反正，反反.X012P课本P60T4课堂练习

设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，可得X的分布列为解：

例3一批笔记本