【人教数学A版选修】《定积分的概念》

1.5.2汽车行驶的路程问题提出1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？，

分割→近似代替→求和→取极限.2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？

v＝f′(t0)3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v＝f(t)，那么f′(t0)的含义是什么？如何求物体在某时段内经过的路程呢？

f′(t0)表示加速度汽车行驶的路程探究（一）：汽车行驶的路程

思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？

s＝vt

不相等思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分成n个小区间，那么各个小区间对应的时段分别是什么？思考3：当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？，，，…，思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程的近似值如何计算？其结果是什么？思考5：利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究

思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？思考2：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？思考3：由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？tyO21

y＝－t2＋2汽车在各时段内行驶的路程的近似值.思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？相等理论迁移

例一辆汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝(单位：km/h)，求汽车在1≤t≤2时段内行驶的路程.s＝3tyO21小结作业1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限.2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.1.5.3定积分的概念

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。

(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x一、定积分的定义

如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作:从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.

定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx

—叫做被积表达式，

x

———叫做积分变量，

a

———叫做积分下限，

b

———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限按定积分的定义，有:定积分的定义：(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为:(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：

说明：

(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关.（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。

当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，xyOabyf(x)y-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。二、定积分的几何意义：abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy三:定积分的基本性质性质1.性质2.三:定积分的基本性质

定积分关于积分区间具有可加性性质3:Oxyabyf(x)Ｃ

aby=f(x)cOxy性质3:

不论a，b，c的相对位置如何都有:

例1：利