【2022届高考数学一轮复习】《直线与平面的位置关系》

第3讲直线与平面的位置关系通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明线面的平行与垂直问题．-1-基础自查1．直线a和平面α的位置关系有

、

、

，其中

与

统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定

(1)定义：如果一条直线a和一个平面α没有公共点，我们就说直线a与平面α

．

(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒

；

(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒

.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒

.平行相交在平面内平行相交平行a∥αa∥βa∥l-1-4．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面

α

，记作a⊥α，直线a叫做平面α的

，平面α叫做直线a的

，垂线和平面的交点称为

．

(2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条

都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

(3)直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线

．互相垂直垂线垂面垂足相交直线平行-1-5．点面、线面距离及线面角

(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和

间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面

，这条直线上

到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．

(3)直线与平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的

所成的

，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线

平面，则称它们所成的角是直角；一条直线与平面

或

，则称它们所成的角是0°的角．垂足平行任意一点射影锐角垂直于平行在平面内-1-6．平行六面体底面是平行四边形的四棱柱叫做

，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做

，底面是矩形的直平行六面体叫做

，棱长相等的长方体叫做

．联动思考想一想：直线与平面平行的判定定理是判断平行关系的核心，运用此定理应注意什么？答案：应注意平面外的一条直线和平面内的一直线平行才能得到线面平行．平行六面体直平行六面体长方体正方体-1-联动体验-1-3．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两平面平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数为________．解析：(2)(3)(4)正确．答案：34．已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.

其中正确命题的序号是________．解析：②中m与n可能异面，③中n可能在α内．答案：①④-1-5．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、

PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形

________个．解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP.可证BC⊥平面APD，由

BC⊥AD，BC⊥PD.可证Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC共8个．答案：8

-1-考向一直线与平面平行的判定【例1】

两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.证明：证法一：如图1，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ.又AM＝NF，AC＝BF，∴MC＝NB，∠MCP＝∠NBQ＝45°，∴Rt△MCP≌Rt△NBQ，∴MP＝NQ，故四边形MPQN为平行四边形，∴MN∥PQ.∵PQ⊂平面BCE，MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE.-1--1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．证明线面平行主要找线线平行，但易忽视a⊄α这一条件．2．线面平行的判定方法还有：

(1)面面平行再推证线面平行．

(2)已知直线在两平面之一上，由两面平行，推得线面平行．

(3)一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行．迁移发散1．如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且

SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、

BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．证明：SG∥平面DEF-1-证法一：连结CG交DE于点H，如图所示．∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.-1-考向二直线与平面平行的性质【例2】

(2010·佛山高三数学质检)如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大．-1-反思感悟：善于总结，养成习惯如果已知直线和平面平行，在利用直线与平面平行的性质定理时，常过此直线作和已知平面相交的辅助平面，完成线面平行向线线平行的转化．转化思想是本章知识最常用的思想．-1-2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：如图，α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：a∥l.

证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.

同样，过a作平面δ交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.

又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.

又平面α经过b交β于l，∴b∥l.又a∥b，∴a∥l.-1-考向三直线与平面垂直的判定与性质【例3】

(2010·汕头模拟)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.-1--1-反思感悟：善于总结，养成习惯证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．迁移发散3．在四面体A－BCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，试证：AD⊥BC.

证明：如图所示，过A点作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结BO、CO、DO.

由AB⊥CD，AC⊥BD，知BO⊥CD，CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，∴DO⊥BC.∴AD⊥BC.-1-课堂总结感悟提升1．空间直线和平面的位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交．了解空间直线和平面位置关系的画法，掌握它们的特征，即直线在平面内——有无数个公共点，直线和平面平行——无公共点，直线和平面相交——

有且只有一个公共点．2．直线和平面平行时，直线和平面没有公共点，直线与平面内的直线只有两种位置关系：平行或异面．直线和平