第01讲乘法公式精讲（解析版）2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第01讲乘法公式（精讲）目录一、知识衔接二、典型例题题型一：平方差公式的应用题型二：完全平方公式的应用题型三：立方和、立方差公式的应用一、知识衔接1、初中知识再现（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.（2）完全平方公式：（3）高频应用方式：①②③④⑤⑥2、高中相关知识（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）两数和立方公式：过程：（4）两数差立方公式：过程：（5）三数和平方公式：过程：二、典型例题题型一：平方差公式的应用1．（2022·辽宁大连·八年级期末）计算：_______．【答案】【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查平方差公式，熟记平方差的公式结构是解题的关键．2．（2022·江苏·七年级专题练习）__．【答案】【详解】解：原式．故答案为：【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握是解题的关键．3．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）已知，且，则＝_____．【答案】3【详解】x2﹣y2＝651，且x＝217﹣y故答案为：3．【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解及因式分解的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2022·四川南充·八年级期末）已知，，则_____．【答案】2【详解】解：，，，故答案为：【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．5．（2022·福建·福清西山学校九年级阶段练习）引入新数，新数满足分配律、结合律、交换律，已知，则_____．【答案】2【详解】解：．故答案为2．【点睛】本题考查了新定义运算及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.6．（2022·天津西青·八年级期末）计算：______．【答案】535000【详解】解：==1070×500=535000故答案为：535000【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．7．（2022·全国·九年级期中）计算：_____．【答案】【详解】原式．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，同底数幂的乘法的逆用、积的乘方的逆用以及平方差公式．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．8．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）计算：________【答案】【详解】解：====．故答案为：．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．9．（2022·黑龙江七台河·八年级期末）若_____________．【答案】654383【详解】原式=[（m+58）－10][（m+58）+10]=－100=654483－100=654383．故答案为：654383考点：平方差公式10．（2022·四川省渠县中学七年级期中）乘法公式的探究及应用：从边长为4的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）(1)上述操作能验证的等式是______________．(2)运用（1）中得出的等式．完成下列各题：①若，，求的值；②计算：【答案】(1)（a+b）（a-b）=a2-b2(2)①6；②-1【解析】(1)解：由图1得图形面积为a2-b2，由图2得图形面积为（a+b）（a-b），∴能验证的等式是（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；(2)①由（1）知（a+b）（a-b）=a2-b2，∵a－b＝4，a2－b2＝24，∴a+b=；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（2-1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（22-1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（24-1）（24＋1）（28＋1）－216=（28-1）（28＋1）－216=（216-1）－216=-1．【点睛】此题考查了整式的乘法公式：平方差公式，平方差公式与几何图形的关系，利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解题的关键．题型二：完全平方公式的应用1．（2022·四川·达州中学七年级期中）如果是一个完全平方式，则的值为（

）A．7 B．-4 C．7或-5 D．7或-4【答案】C【详解】∵=，∴，∴a-1=±6，∴a=7或-5．故选C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．2．（2022·四川眉山·八年级期末）关于x的多项式是完全平方式，则实数m的值为（

）A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】D【详解】解：∵是完全平方式，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的结构是解题的关键．3．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2【答案】B【详解】解：设AB＝x，AD＝y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周长是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．4．（2022·湖北随州·八年级期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是______．【答案】36【详解】解：找规律发现的第三项系数为3=1+2；的第三项系数为6=1+2+3；的第三项系数为10=1+2+3+4；

归纳发现的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），∴展开式的第三项的系数是1+2+3+4+5+6+7+8=36．故答案为：36．【点睛】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．5．（2022·贵州·凯里学院附属中学一模）如图所示，点A是反比例函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA=5，则△AOB的周长为______．【答案】12【详解】解：设，则∵点A在反比例函数图象上∴在中，，由勾股定理得：即：∴∵∴即：∴故答案为：12【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，以及完全平方式的应用，能够利用数形结合思想是解题关键．6．（2022·河南·开封市第二十七中学八年级期末）若是关于的完全平方式，则__________．【答案】7或-1【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．7．（2022·广东·佛山市第四中学七年级阶段练习）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，mn．解：(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，则___．【答案】(1)(2)；(3)mn．(4)29【解析】(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即故答案为：(2)方法一：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即方法二：图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；故答案为：，；(3)由（2）可得，mn．故答案为：mn．(4)∵=（a+b）2-4ab，当时，故答案为：29【点睛】考查了完全平方公式的几何背景，正方形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．（2022·山东滨州·八年级期末）（1）请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间数量关系式．（2）应用上一题的关系式，计算：xy＝﹣3，x﹣y＝4，试求x+y的值．（3）如图，线段AB＝10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2＝52，求阴影部分△ACF面积．【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）x+y的值＝±2；（3）阴影部分△ACF面积为12．【解析】【详解】（1）∵由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2，）＝4ab，即（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）由（1）题结果可得，（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝16﹣12＝4∴x+y＝±＝±2，∴x+y的值＝±2；（3）设AC＝x，BC＝y则x2+y2＝32，x+y＝10，∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝102﹣52＝100﹣52＝48，∴xy＝＝24，∴，∴阴影部分△ACF面积为12．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方公式与图形面积之间的关系，掌握完全平方公式是解题的关键．9．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______．（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．（3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，mn．（4）若x，y都是有理数，，，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）能，；（4）【解析】【详解】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于．故答案为：；（2）由题意得：，；（3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为：．（4）∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式题型三：立方和、立方差公式的应用1．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）若是的三条边，且，则这个三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【详解】解：，，，，或，或，，，为的三条边，为等腰三角形或直角三角形．故选：D2．（2018·江苏·启东中学高一开学考试）因式分解:_____________.【答案】【详解】解：故答案为：.【点睛】本题考查因式分解的过程.3．（2019·贵州·高一学业考试）因式分解：_________________.【答案】【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查立方和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.4．（2018·内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高一阶段练习）因式分解：______.【答案】【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了立方差公式，属于基础题.5．（2018·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知，，则的值为__________．【答案】.根据完全平方公式可得：，所以，解得：.【点睛】本题主要考查了三个数的和的完全平方公式，属于中档题.6．（2021·海南二中高一阶段练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)7(2)18【解析】(1)由两边平方并化简得.(2).7．（2020·全国·高一）分解因式：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3；

（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3．【答案】（1）3(b﹣a)(c﹣b)(c﹣a)；（2）3(y+z)(x+z)(x+y)．【解析】【详解】解：（1）(b﹣c)3+(c﹣a)3+(a﹣b)3＝[(b﹣c)+(c﹣a)][(b﹣c)2﹣(b﹣c)(c﹣a)+(c﹣a)2]+(a﹣b)3＝(b﹣a)(b2﹣2bc+c2﹣bc+ab+c2﹣ac+c2﹣2ac+a2)﹣(b﹣a)3＝(b﹣a)[(a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac)﹣(b2﹣2ab+a2)]＝(b﹣a)[a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac﹣b2+2ab﹣a2]＝(b﹣a)(3c2+3ab﹣3bc﹣3ac)＝3(b﹣a)(c2﹣bc﹣ac+ab)＝3(b﹣a)[c(c﹣b)﹣a(c﹣b)]＝3(b﹣a)(c﹣b)(c﹣a)；（2）(x+y+z)3﹣x3﹣y3﹣z3＝[(x+y+z)﹣x][(x+y+z)2+x(x+y+z)+x2]﹣(y+z)(y2﹣yz+z2)＝(y+z)[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2]﹣(y+z)(y2﹣yz+z2)＝(y+z)[x2+y2+z2+2xy+2