平行线与相交线-直角坐标系知识总结与练习题

第4页共14页第五章相交线与平行线复习课(一)知识结构图基本知识提炼整理主要概念邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。对顶角：一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。垂线：两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。平行线：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。命题：判断一件事情的语句叫做命题。平移：把一个图形整体沿着某一方向平行移动，这种移动叫做平移变换，简称平移。平移的要素：平移的方向和平移的距离。两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做两条平行线的距离。主要性质对顶角的性质：对顶角相等邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为垂线的基本性质：经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线垂线段最短平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两条直线平行5、垂直于同一条直线的两条直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补平移的特征：①对应线段平行（或在同一直线上）且相等；②对应角相等；③对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。（三）尺规作图只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利基础知识填空1、如图，∵AB⊥CD（已知）∴∠BOC=90°（）2、如图，∵∠AOC=90°（已知）∴AB⊥CD（）3、∵a∥b,a∥c（已知）∴b∥c（）4、∵a⊥b,a⊥c（已知）∴b∥c（）5、如图，∵∠D=∠DCF（已知）∴_____//______（）6、如图，∵∠D+∠BAD=180°（已知）∴_____//______（）（第1、2题）（第5、6题）（第7题）（第9题）7、如图，∵∠2=∠3（）∠1=∠2（已知）∴∠1=∠3（）∴CD____EF()8、∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°（已知）∴∠1=∠3（）9、∵a//b（已知）∴∠1=∠2（）∠2=∠3（）∠2+∠4=180°（）四、例题讲解如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F，∠1=∠2.试说明∠BDG+∠B=180°.8．如图所示，已知，，垂足分别是、，那么以下线段大小的比较必定成立的是（）A.B.C.D.9．下列说法中，正确的个数为（）⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角A、1个B、2个C、3个D、4个10．轮船从A地出发向北偏东70°方向行驶了4海里到达B地，又从B地出发向南偏西20°方向行驶5海里到达C地，则∠ABC等于（）A．90°B．50°C．110°D．70°二.填空题A1ABCB1C11．如图，若OE⊥AB，∠2比∠1大70°A1ABCB1C12．观察如图所示的三棱柱.（1）用符号表示下列线段的位置关系：ACCC1,BCB1C1；（2）⊿A1B1C1可看作是把⊿ABC而得到的.3．如图，一条路两次拐弯后和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是4．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q,用p、q、y来表示x得.EEDCBAABABCDE5．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______6．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是．三.解答题1.如果下图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.2．如图，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线⑴若∠AOC∶∠COG=4∶7，求∠DOF的大小；⑵若∠AOC∶∠DOH=8∶29，求∠COH的大小.3．已知：∠BAP+∠APD=180°，∠BAF=∠CPE，求证：∠E=∠F．4．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140º，求∠BFD的度数.5.图11，BE∥AO，∠1=∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CO于点H，那么∠5=∠6，为什么？6．如图，已知∠ABC.请你再画一个∠DEF，使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC边与点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系?并说明理由.AABC

P(a,b)oP(a,b)oyx·ab第一象限第___象限第___象限第___象限(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)一、点的坐标从直角平面上的一点P，分别向x轴、y轴引垂线，垂足在x轴、y轴上分别对应实数a、b，那么把有序是数对（a,b）叫做P点的坐标，a叫做P点的横坐标，b叫做P点的纵坐标.二、四个象限内点的横纵坐标的特点若点P(a,b)在第一象限，则a>0,b>0；若点P(a,b)在第二象限，则a<0,b>0；若点P(a,b)在第三象限，则a<0,b<0；若点P(a,b)在第四象限，则a>0,b<0；练习：(1)若M(m,m+4)在第二象限，则m的取值范围是__________(2)若A(a+1,2-a)在第一象限，则a的取值范围是__________(3)若M(2m,m-4)在第四象限，且m是偶数，则m的值是__________(4)已知点A(3a-15,3-a)是第三象限的整数点，则点A的坐标为______________(5)对于任何实数x,点(x,x-1)一定不再第______象限(6)若a<0,b>0,则点（a,b）在第_______象限，点（-a,-b）在第________象限，点（a2+1,b2）在第______象限，点(-a2-1,-b2)在第_________象限.三、坐标轴上的点的坐标特点1、x轴上的点纵坐标为0，即若点P(a,b)在x轴上，则b=___________2、y轴上的点横坐标为0，即若点P(a,b)在y轴上，则a=______________练习：(7)点P在x轴上，对应的实数是，则点P的坐标是，若点Q在y轴上,对应的实数是2，则点Q的坐标是.(8)点（a,0）在________上，点(0,b)在_____上.(a≠0,b≠0)(9)若点P(x,y)的坐标满足x=0,y≠0,则点P在_______上(10)若点P(x,y)的坐标满足xy=0,则点P在_________________上(11)若点P(k+2,k-3)在y轴上，则点P的坐标为_______________(12)若点A(a-2,a+3)在x轴上，则点P的坐标为_______________(13)已知点M(2+x,9-x2)在x轴的负半轴上，则点M的坐标为_________________(14)直线y=2x-1与x轴的交点坐标为____________,与y轴的交点坐标为______________(15)直线y=-2x+2与x轴的交点坐标为____________,与y轴的交点坐标为______________四、两坐标轴角平分线上的点的坐标特点1、第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；2、第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。练习：(16)若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在______________(17)若点(a,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=.(18)已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x=,点P的坐标为_________.(19)已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则a=_______,点的坐标(20)已知点（a+2，-2a）在第四象限的角平分线上，则a=_______,点的坐标(21)若点D(6-5m,m-2)在第二、四象限角平分线上，则m=___________.五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点1、与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；2、与y轴平行的直线上的点的横坐标相等.练习：(22)已知AB平行于y轴，且A点坐标为（2，3），B点坐标为（a,-5）,那么a=_________.(23)已知CD平行于x轴，且C点坐标为（-2，3），D点坐标为（3,m）,那么m=________.(24)直线a平行于x轴，且过点（-2，-3）和（5，y），则y=(25)过A（4，－2）和B（－2，－2）两点的直线一定平行于_______轴.(26)已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是六、点到坐标轴及原点的距离1、点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值.即点P(a,b)到x轴的距离d=∣b∣.2、点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值.即点P(a,b)到y轴的距离d=∣a∣.3、点到原点的距离d=.练习：(27)已知点Q（-8，6），它到x轴的距离是，它到y轴的距离是它到原点的距离是_____(28)已知点P的坐标（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是(29)在第一象限到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是______________；在第四象限到x轴距离为5，到y轴距离为2的点的坐标是________________；(30)点Ａ（２，３）到x轴的距离为；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是.(31)若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为_________________;(32)点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能为(33)已知直角三角形ABC的顶点A(2，0)，B(2，3).A是直角顶点,斜边长为5，则顶点C的坐标为.(34)如图3所示的象棋盘上，若eq\o\ac(○,帅)位于点（1，－2）上，eq\o\ac(○,相)位于点（3，－2）上，则eq\o\ac(○,炮)位于点(35)右图是某学校的平面示意图，在10×10的正方形网格中（每个小方格都是边长为1的正方形），如果分别用(3,1),(3,5)表示图中图书馆和教学楼的位置，那么实验楼的位置应表示为．七、关于坐标轴和原点对称的两对称点的坐标特点1、关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；2、关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；3、关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.练习：(36)已知A(-3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；(37)已知A(3，-4)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；(38)已知A(a，b)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；(39)若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=,n=.(40)已知点P(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则m=_____,n=______；(41)点P(2m-1,5),Q(-3,n)关于x轴对称，则m=_________,n=____________.(42)若关于原点对称，则；(43)若+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_______．八、平面上两点间的距离1、x轴上两点间的距离：已知A(x1,0),B(x2,0),则AB=∣x1-x2∣ 2、y轴上两点间的距离：已知P(0,y1),Q(0,y2),则AB=∣y1-y2∣3、异轴上两点间的距离：已知M(x,0),N(0,y),则MN=4、平面上任意两点间的距离：已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=练习：(44)已知在x轴上有A(2,0),B(7,0)两点,则AB=__________.(45)已知在y轴上有M(0,3),N(0,-5)两点,则MN=__________.(46)已知在x轴上有一点A(-3,0),在y轴上有一点B(0，4)两点,则AB=__________.(47)已知AB在x轴上，且AB=，点A坐标为(2,0)，那么B点坐标为_________________.(48)已知点A的坐标为（2，-2），那么在y轴上使△AOB为为等腰三角形的点P共有______个，它们的坐标分别是____________________________________.(49)如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线①由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3)C(-2,5)关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标:、；②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为（不必证明）；③已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

补充资料三、典型例题分析：考点一、位置的确定例1、如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为_____.解析：本题是一道与确定位置有关的试题,要表示白棋⑨位置,则需要仔细理解题意,根据黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)可以发现:用表示列的字母和表示行的数字来确定棋子的位置,其中表示列的字母在前,表示行的数字在后.解:观察白棋⑨在D列,6行,所以其位置可记作(D,6).考点二、平面直角坐标系内的点的特点：（一）确定字母取值范围：例2、(2007年重庆)若点M（1，）在第四象限内，则的取值范围是．解析：因为第四象限内点的坐标特征是x＞0，y＜0，所以2a－1＜0,因此，例3、点A（m＋3,m＋1）在x轴上，则A点的坐标为（）A（0，－2）B、（2，0）C、（4，0）D、（0，－4）解析：由点A在x轴上可知y＝0，即m＋1＝0,解得m＝－1，所以m＋3＝2,所以A点坐标为（2，0）．故选B．提示：在根据点所在象限或坐标轴确定字母取值时，先根据坐标系内点的坐标特点确定，坐标的正负，然后列出不等式（或方程）解答．同时也可利用这一特点由点的坐标确定点所在的象限．（二）确定点的坐标：例4、（2007年杭州市）点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（）A．(－4,3)B．(－3,－4)C．(－3,4)D．(3,－4)解析：首先由点在第二象限内，知道它的横坐标小于0，纵坐标大于0，再由到轴的距离是4，到轴的距离是3，得横坐标应为－3,纵坐标应为4，故点的坐标为(－3,4)，应选C．提示：此题主要考查了点的坐标与它到横、纵坐标轴的距离之间的关系，解这类题的最佳方法可通过画示意图来解决．（三）确定对称点的坐标（拓展考点）：例5、（2007年怀化市）已知点关于轴的对称点为，则的值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析：因为点P与点Q关于轴的对称，其规律为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，所以a＝－(－2)＝2，b＝3，则a＋b＝5，故应选Ｃ．提示：关于坐标轴对称点的特征有三条（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于坐标原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数．考点三、与平移有关的问题例6、(2007年哈尔滨改编)在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将向下平移3个单位长度，画出平移后的．解析：要作△ABC向下平移3个单位的后的△A1B1C12，首先要作出A、B、C解：所画的图形如图所示,此时点A1(－2，0),B1(－3,－1)，C1(－1,－2)．例7、(2006年南京)在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是（）A.（3，7）B.（5，3）C.（7，3）D.（8，2）解析：由AB∥CD可知，C点的纵坐标与点D的纵坐标相同为3，横坐标应为5＋2＝7，即点D坐标为（7，3）．故选C．提示：解答平行于坐标轴直线上点的坐标时，平行条件往往被忽略，而这类问题的关键在于找出与已知点平行的横坐标或纵坐标的值，以此为突破确定其他点的坐标．考点四、建立直角坐标系 例8、（2007年泸州市）如图1是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，用坐标表示下列景点的位置．①动物园，②烈士陵园．解析：答案不唯一，若以金凤广场为坐标原点，其水平线为x轴，垂直线为y轴，则①动物园坐标为(1，2)；②烈士陵园坐标为(－2，3)．提示：这是一道开放性试题，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了．考点五、创新考点：（一）规律探索型：例9、（2006年淮安市中考试题）如图2，已知Al(1，0)、A2(1，1)、A3(－1，1)、A4(－1，－1)、A5(2，－1)、….则点A2007的坐标为________.解析：依题意，得第一象限里的点分别是A2、A6、A10、…，第二象限里的点分别是A3、A7、A11、…，第三象限里的点分别是A4、A8、A12、…，第四象限里的点分别是A5、A9、A13、…，由此可见点A2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并且由观察、推理、归纳得到A3(－1，1)、A7(－2，2)、A11(－3，3)、…，因为2007＝501…3，所以点A2007的坐标应该是(－502，502).提示：求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解.（二）阅读理解型：例10、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点P作向上或向右运动（如图1所示.运动时间(整点P从原点出发的时间(s)可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个数1(0,1)(1,0)22(0,2)(1,1),(2,0)33(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)4………根据上表中的规律,回答下列问题:(1)当整点P从点O出发4s时,可以得到的整点的个数为________个.(2)当整点P从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连结这些整点.(3)当整点P从点O出发____s时,可以得到整点(16,4)的位置.图1图2解析：本题为阅读型规律探索题，解决问题时需要认真阅读题意，即可根据题意写出整点的可能位置和坐标确定整点的个数，也可以通过表格发现出发时间与整点坐标以及整点P的个数之间的规律，通过规律解决问题.解：（1）根据表格中的规律可知，当点P从点O出发4s时，可的到整点P的坐标为(0,4)(1,3),(2,2)(3,1)(4,0),共5个.(2)如图2所示.(3).从表格规律可得当整点P从原点0出发的时间为n(s)时,可得整点P的坐标为(x,y),则x＋y＝n,因为16＋4＝20,所以当整点P从点O出发20s时,可到达整点(16,4)的位置.四、错例剖析：例1、已知点P(4,a)到横轴的距离是3，则点P的坐标是_____.错解:因为P(4,a)到横轴的距离为3,所以a＝3,所以点P的坐标是(4,3).分析:已知点P到横轴的距离,并不知道P所在的象限,点P可能第一象限,也可能在四个象限,这样的P点应有两个.正解:由已知条件可知|a|＝3,所以a＝3或a＝－3所以P点的坐标是(4,3)或(4,－3)例2已知点P(m，n)到x轴的距离为3,到y轴的距离等于5,则点P的坐标是_____.错解:因为P(m，n)到x轴的距离为3,到y轴的距离等于5,所以m＝3,n＝5,所以点P的坐标为(3，5).分析:点的坐标与点到坐标轴的距离不同,P(m，n)到x轴的距离为3,则|n|＝3,所以n＝3或n＝－3;到y轴的距离等于5,则|m|＝5，即m＝5或m＝－5,这样的P点应有四个.而错解中只写了一个,漏掉了三个.正解:点P的坐标为(2,3),(－2,3),(2,－3),(－2,－3).例3已知点P(m,2m－1)在x错解:因为点P在x轴上,所以m＝0,所以2m－2＝－2,所以点P分析:错解在把x、y轴上的点的坐标特点搞混了，x轴上的点的坐标特征是纵坐标为0．而不是横坐标为0．正解：由2m－1＝0，得m＝，所以点P的坐标是（,0）.补充习题一.选择题1.下列各点中，在第二象限的点是（）A.（2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（-2，3）2.将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（）A.（-1，2）B.（-1，5）C.（-4，-1）D.（-4，5）3.如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A.a=1B.a=-1C.a>0D.a的值不能确定4.点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（）A.