《概率论与统计原理》复习资料

------------------------------------------------------------------------《概率论与统计原理》复习资料《概率论与统计原理》复习资料一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A+B+C，++，AB+AC+BC，++考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、参考答案：0.04，0.02，0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。参考答案：0.6考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）=0.6，P（B）=0.3，则P（A+B）=；P（+B）=；P（B）=；P（）=。参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。参考答案：（1）0.26；（2）0.96考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p（0<p<1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。参考答案：考核知识点：事件的独立性10、设随机变量X~N（1，4），则P{0≤X＜1.6}=；P{X＜1}=；P{X=x0}=。参考答案：0.3094，0.5，0考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质11、设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n=，p=。参考答案：3，0.2考核知识点：随机变量的数学期望和方差12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则EX=，DX=。参考答案：20，16考核知识点：随机变量的数学期望和方差13、设随机变量X服从正态分布N（-0.5，0.52），则EX2=，D（2X-3）=。参考答案：0.5，1考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质14、设由来自正态总体的容量为9的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的最大似然估计值为，的置信度为0.95的置信区间为。参考答案：5，（-0.88，10.88）考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计15、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值=15，则未知参数的最大似然估计值为，的置信度为0.95的置信区间长度为。参考答案：15，7.84考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm，标准差为0.017cm。假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为；零件长度标准差的点估计值为；零件长度标准差的0.95置信区间为。参考答案：2.125，0.017，（0.0126，0.0263）考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计17、设总体X服从正态分布，从X中随机抽取一个容量为36的样本，设为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为，当总体方差σ2未知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为。参考答案：，考核知识点：正态总体均值的假设检验18、设总体X服从正态分布，从X中随机抽取一个容量为n的样本，设S2为样本方差，则检验假设H0：的统计量为。参考答案：考核知识点：正态总体方差的假设检验19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将。参考答案：减少考核知识点：假设检验的两类错误20、设随机变量X在区间[1，3]上服从均匀分布，则X的概率密度函数为；事件{-0.5＜X＜1.5}的概率为参考答案：，0.25考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率21、设随机变量X～B（3，0.2），则EX=，DX=。参考答案：0.6，0.48考核知识点：二项分布的数字特征22、总体X服从正态分布N（μ，σ2），从X中随机抽取一个容量为n的样本，为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为，当总体方差σ2未知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为。参考答案：，考核知识点：假设检验23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为；事件“使用寿命超过600小时”可表示为。参考答案：（0，+∞）；（600，+∞）考核知识点：随机试验的样本空间24、设随机变量X的概率密度为，则常数A=，P（）=，X的分布函数F（x）=。参考答案：1，0.5，考核知识点：连续型随机变量的分布函数25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为；事件“报警次数小于5次”可表示为。参考答案：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4}考核知识点：随机试验的样本空间26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率为，至少有1枚正面向上的概率为。参考答案：3/8，7/8考核知识点：古典概率27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X为两个数之和，则P{X≤3}＝。参考答案：0.04考核知识点：古典概率28、每次试验的成功率为p（0<p<1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为。参考答案：考核知识点：古典概率29、在假设检验中，一般情况下会犯错误。参考答案：第一类错误和第二类错误考核知识点：假设检验30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为。参考答案：0.4考核知识点：古典概率31、设随机变量X在区间[2，7]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为；随机变量X的分布函数为；P{-0.5＜X＜2.5}=。参考答案：，，0.1考核知识点：连续型随机变量的性质32、设随机变量X服从参数为（100，0.4）的二项分布，则EX=，DX=。参考答案：40，24考核知识点：二项分布的数字特征33、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的最大似然估计值为，的置信度为0.95的置信区间长度为。参考答案：5，7.84考核知识点：正态分布的估计值和置信区间34、在假设检验中，第一类错误是指。参考答案：原假设本来正确，却被错误地拒绝了考核知识点：假设检验35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为。参考答案：0.3考核知识点：古典概率36、设随机变量X在区间[2，6]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为；随机变量X的分布函数为；P{-0.5＜X＜2.5}=。参考答案：，，0.125考核知识点：连续型随机变量的概率37、设随机变量X服从参数为（10，0.6）的二项分布，则EX=，DX=。参考答案：6，2.4考核知识点：二项分布的数字特征38、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的最大似然估计值为，的置信度为0.95的置信区间为。参考答案：5，（1.472，8.528）考核知识点：正态分布的估计值和置信区间二、单项选择题1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（）。A．-1/3B．0Ｃ．0.3Ｄ．1参考答案：A考核知识点：概率的公理化定义2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（）。A．B．C．D．参考答案：B考核知识点：古典型概率3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”，A2为“产品是由乙车间生产的”，A3为“产品是由丙车间生产的”，B为“产品是次品”。今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（）。A．P(A1)B．P()C．P()D．P(A1B)参考答案：D考核知识点：概率的表示与条件概率4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”，A2为“产品是由乙车间生产的”，A3为“产品是由丙车间生产的”，B为“产品是次品”。今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（）。A．P(A1)B．P()C．P()D．P()参考答案：D考核知识点：概率的表示与条件概率5、任何连续型随机变量的概率密度f(x)一定满足（）。A．B．在定义域内单调不减C．在定义域内右连续D．参考答案：D考核知识点：概率密度的性质6、设随机变量X~N（2，1002），且P{0<X<4}=0.3，则P{X<0}=（）。A．0.25B．0.35C．0.65D．0.95参考答案：B考核知识点：正态分布7、设X是随机变量，x0为任意实数，EX是X的数学期望，则（）。A．B．C．D．参考答案：B考核知识点：方差的性质8、设假设总体X服从参数为p（0<p<1）的0-1分布，p未知。（X1，X2，…，X5）是来自X的简单随机样本，则下面的（）是统计量。A．X1+pX3B．X5+2p（X5-X2）C．min（X1，X2，…，X5）D．X2-EX4参考答案：C考核知识点：统计量的定义9、设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而为该总体的一个样本，，则总体均值μ的矩估计量为（）．A．B．C．D．参考答案：A考核知识点：参数的矩估计10、设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而为该总体的一个样本，，则总体方差的矩估计量为（）。A．B．C．D．参考答案：B考核知识点：参数的矩估计11、从估计量的有效性是指（）。A．估计量的抽样方差比较小B．估计量的抽样方差比较大C．估计量的置信区间比较宽D．估计量的置信区间比较窄参考答案：A考核知识点：评价估计量的标准12、在一次假设检验中，当显著性水平为0.01时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（）。A．可能会被拒绝B．就不会被拒绝C．也一定会被拒绝D．需要重新检验参考答案：C考核知识点：假设检验的显著性水平13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）。A．一个增大，一个减少B．都增大C．都不变D．都减少参考答案：D考核知识点：假设检验的两类错误14、假设检验中，一般情况下，（）错误。A．只犯第一类B．只犯第二类C．既可能犯第一类也可能犯第二类D．既不犯第一类也不犯第二类参考答案：C考核知识点：假设检验的两类错误15、要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（）。A.B.C.D.参考答案：A考核知识点：单边假设检验16、设随机变量X~N（2，102），且P{0<X<4}=0.5，则P{X<0}=（）。A.0.95B.0.65C.0.35D.0.25参考答案：D考核知识点：正态分布的性质17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概率为（）。A．B．C．D．参考答案：B考核知识点：古典概率18、设随机变量X~N（2，16），则P{X＜2}为（）。A．0B．0.25C．0.5D．0.75参考答案：C考核知识点：正态分布的性质19、在一次假设检验中，当显著性水平为0.02时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（）。A．需要重新检验B．就不会被拒绝C．可能会被拒绝D．也一定会被拒绝参考答案：D考核知识点：假设检验20、下列数字中能是随机事件概率的是（）。A．-1B．-0.4C．0.5D．1.5参考答案：C考核知识点：随机事件概率21、总体X服从正态分布，其中参数已知，未知。为来自X的随机样本，和分别为样本均值与样本方差，则下面的（）是统计量。A．B．C．D．参考答案：A考核知识点：正态分布的统计量三、计算题1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。（1）E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A={掷出偶数点}。（2）E2：记录一段时间内某城市110报警次数；B={报警次数小于5次}。（3）E3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其使用寿命（单位：小时）；C={使用寿命超过500小时}。（4）E4：向半径为10的平面区域D={（x，y）：x2+y2≤100}内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点的坐标；C={落点在半径为5的同心圆内}。参考答案：（1）Ω1={1，2，…，6}；A={2，4，6}（2）Ω2={0，1，2，…}；B={0，1，2，3，4}（3）Ω3=（0，∞）；C=（500，∞）（4）Ω4={}，D={}考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件2、已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（AB）=1/16，P（BC）=0，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。参考答案：，0考核知识点：概率的性质3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件。求（1）第一次取到的是次品的概率；（2）两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二次再取次品的概率。参考答案：（1）；（2）；（3）考核知识点：条件概率4、设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的35%，40%和25%，三台车床的次品率依次为4%，3%和2%。现在从全部零件中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第2台车床加工的概率。参考答案：（1）0.031；（2）12/31考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式5、已知事件A，B，C相互独立，且P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/4，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。参考答案：，考核知识点：概率的性质以及事件的独立性6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0，60个球上标有数字1，10个球上标有数字2。现在从中任取1球，用X表示取出球上的数字，即X=0表示取出的球上标有数字0，X=1表示取出的球上标有数字1，X=2表示取出的球上标有数字2。（1）写出X的概率分布列；（2）求X的分布函数；（3）求P{0≤X≤1.5}，P{0＜X≤1.5}；P{1＜X＜1.5}。参考答案：（1）X012P0.30.60.1（2）（3）0.9，0.6，0考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概率7、设离散型随机变量X的概率分布如下：X012P0.10.60.3（1）求X的分布函数F（x）；（2）求P{0≤X≤1.5}，P{1≤X＜1.5}，P{1＜X＜1.5}参考答案：（1）；（2）0.7，0.6，0考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质8、设随机变量X的分布函数为，求（1）常数A；（2）P（）；（3）X的概率密度f（x）。参考答案：（1）1，（2）0.5，（3）考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度9、设随机变量X的概率密度为（-∞＜x＜+∞），求（1）系数A；（2）P{0＜X＜1}；（3）X的分布函数。参考答案：（1）0.5，（2）；（3）考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质，利用概率密度求事件的概率，以及用概率密度求分布函数10、设随机变量X在区间[1，5]上服从均匀分布，求（1）X的概率密度函数；（2）X的分布函数；（3）P{-0.5＜X＜1.5}。参考答案：（1）；（2）；（3）0.125考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数11、设某地区年总降水量X~N（600，1502），求（1）明年的降水量在400~700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为0.1？参考答案：（1）0.6568；（2）0.9772；（3）408考核知识点：正态分布12、设随机变量X~N（μ，σ2），求Y=aX+b（a，b为常数，a≠0）的概率密度。参考答案：考核知识点：连续型随机变量函数的分布13、设随机变量X的分布列为X-2-1012P0.10.20.40.20.1求（1）X的数学期望EX和方差DX；（2）Y=X2的分布列。参考答案：（1）EX=0；DX=1.2（2）Y014P0.40.40.2考核知识点：随机变量函数的分布，离散型随机变量的数学期望与方差14、设随机变量X在区间[1，3]上服从均匀分布，求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX=2，DX=1/3考核知识点：随机变量的数学期望和方差15、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX=λ，DX=λ。考核知识点：随机变量的数学期望和方差16、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX=，DX=。考核知识点：随机变量的数学期望和方差17、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX＝μ，DX＝σ2