数学建模美国人口预测报告材料1

实用标准《数学建模》报告课程设计题目: 美国人口预测模型 L摘要随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790-2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测美国未来的人口。首先，人口增长率是变化值。对于问题（1）假设了人口上限因此我们选择建立Logistic模型（模型1）其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合（模型2）,通过Matlab进行人口预测。2.问题分析人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。人口预测可按预测期长短分为短期预测（5年以下）、中期预测（5〜20年）和长期预测（20〜50年）。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际,现实意义较大。关键词：预测模型人II增长率Logistic班级：姓名：学号：文案大全

实用标准3.实用标准3.模型建立模型1美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.1)中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.1)中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口;人口增长率服从［1.1,1.3］上的均匀分布，结合(1.1)中建立微分方程模型，预;则美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.••年份人口百万)人口增长率1%图1为美国1790-2000年的人口数据，人179018003.95.32.953.11口增长率［为每10年的取值。首先对人口1810T.22.9918209.62.97增长率进行处理求出其他年份相对于1790183012.92.91184017.13.01185023.23.08年的增长率R186031.42.45187038.62.44rt+..…+rtRt=-^ 匚183050.22^2189062.92.05190076.01.91t〃 n191092.01.661920106.51.46其中tl=1800年.….t21=2000年（l〈nW21）1930123.21.021940131.71.041950150.71.58例如1810年相对于1790年的增长率为1960179.3L4919701980209.0226.51.161.05(3.11+2.99)/2=3.05其他年份同理可得如图1990251.41.092000281.41.162；对增长率R求平均直为Rx=2.64%图1模型1为阻滞增长模型假设人口增长率［(X)是t时人口x(t)的函数，［(X)应该是X的减函数。一个简单的假设是假设［(x)为x的线性函数i(x)=i-s*x,s>0.最大人口数量Xin=500当x=Xin时增长率为零。在线性化假设前提下可以得到r(x)=r(1-x/Xm),(公式1)其中的1-我们取之前求得的平均增长率1-0.0264,Xin=500o在公式1假设下，模型可修改为4VY（\X\(公式2)丁=皿(公式2)x（0）=儿文案大全

实用标准上述方程改为Logistic模型M）=//1+（///T）L（公式3）e取2.718,t为△/,求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。2010年的2010年的R*t=5.808,2020年的R*t=6.072,2030年的R*t=6.336,2040年的R*t=6.6,2050年的R*t=6.864,预测人口为362.32；预测人口为387.59；预测人口为408.16；预测人口为427.35；预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有180018101820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。初DJ普长率政2.95初DJ普长率政2.953.113.053.022.9952.9983.012.932.872.822.7432.682.632.542.432.344292.242.182.122.072.03图2ABCDE年份_人口（百万）平均计算值味差17903.918005.30.2645.06-0.2418107.20.5286.6-0.618209.60.7928.54-0.16183012.91.05611.03-1.871840_17.11.3214.3-2.81850_23.21.58418.44-4.761860_31.41.84823.8-7.6187038.62.11230.5-8.1188050.22.37639-11.2189062.92.6449.95-12.951900_76.02.90462.74-13.26191092.03.16878.62-13.381920_106.53.4329,25-S.651930_123.23.696120.19-3.011940131.73.96145.7714.071950_150.74.224174.2223.521960179.34.488200.120.81970204.04.752238.134.11980226.55.016270.2743.771990251.45.28303.0351,6312000281.45.544333.3351,93II匕原3身||白©|晋毂I品亳墙▼/I-I&E23 ▼共51.93图3文案大全实用标准模型2表中的人口数据，进行曲线拟合，建立数学模型：(2.1)中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(2.1)中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口;利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人II随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出20102020203020402050年的美国人口。利用MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图4。图4美国人口统计数据连线图 图5建模方法1的拟合效果图由图4可以发现美国人II的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人II满足函数关系5。，f(t)=ea+bt,a,b为待定常数,根据最小二乘拟合的原理,凡6是函数双氏份=缶(76)—再产的最小值点。其中汨是人时刻美国的人口数。f=l利用MATLAB中的曲线拟合程序“cuzefit"，编制的程序如下：首先创建指数函数的函数M一—文件用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序m-function,funl.mfunctionf=funl(a,t)f=exp(a(1)*x+a(2));t=1790:10:2000;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(tz1*,zx);a0=[0.001,1];a=curvefit(1funl1,aO,t,x)ti=1790:5:2050;xi=funl(a,ti);holdon文案大全实用标准plot(ti,xi);tl=2010;xl=funl(aztl)holdoff在MATLAB命令窗II运行该程序，输出结果a=0.0148-23.8311；xl=358.48因此，参数a=0.0148,4-23.8307,拟合函数在2010处的函数值f(2010尸358.48。通过作图,我们来看看拟合的误差如何，见图5。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合,因此，预测美国在2010年的人口数为358.48百万。同理2020年预测人口为413.33;2030年预测人口为452・57;2040年预测人口为475.89;2050年预测人口为494・18。图6为误差值*ACD份一人口(白力)曲线拟合误差%17903.918005.35.483.318107.27.352.118209.69.842.5123012.914.5412.7184017.117.452.1185023.224.385.1186031.432.22.6127038.639.763188050.250.30.2189062.962.7-0.3190076089.3-2.91920106.5102.3-3.91930123.2120.4-2.31940131.7131.2-0.41950150.7150.3-0.31960179.3177.3-0.11970204.0203.6-0.21980226.5225.7-0.31990251.4256.422000281.4285.71.5图6观察误差和图像，模型2对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人II是呈指数规律无止境地增长，此时人II的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人II增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人II无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数乙这里通过Matlab对模型1中的公式3进行一次计算文案大全实用标准这里通过Matlab对模型1中的公式3进行一次计算拟合functionf=fun3(a,t)f=a(l)./(l+(a(l)/3.9-l)*exp(-(t-1790)*a(2)));x=1790:10:2000;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(x,v，1*1,xAy);a0=[0.001,1];a=curvefit(1fun3',aO,x,y)xi=1790:5:2050;yi=fun3(azxi);holdonplot(xi,yi);xl=2010;yl=fun3(azxl)holdoff将r(即a(2))的初值取为小于1的数，比如取a=[200.0.1]时，得到a=[311.950.0280],yl=267.19,即⑵中的尸0.0280,Xm=311.95,2010年美国的人口预计为267.19。这个结果还比较合理，当tm时，静增长率趋于零，人II数趋于311.95百万人，即极限人口Xm=311.95。拟合效果见图7,这种效果比之前情形好。图7从图7看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此略加修改将拟合准则改为：n 21ininE(〃)= .尸+vv£(/(r.)-xj2Z=1 f=/Hl其中H'为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整卬和〃的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。文案大全实用标准functionf=fun5(a)n=16;w=2;x=1790:10:2000;xl=x(l:n);x2=x(n+1:21);y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];yl=y(1:n);y2=y(n+1:21);f=[fun3(azxl),w*fun3(a,x2)]-[ylfw*y2];主程序：t=1790:10:2000;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(tzxf,*'ztfx);a0=[300/0.03];a=leastsq(1fun51zaO)ti=1790:5:2000;xi=fun3(azti);holdon;plot1*');xl=fun3(az2010)holdoff.先取n=17,w=l.5,运行上述程序，得到结果a=[324.0666,0.0276];xl=272.7996.再取n=16,w=2,运行上述程序，得至IJ结果a=[345.1439,0.0270];xl=280,0