【解题指导】由递推关系求等差数列的通项公式

例1（2020·陕西省成阳市期末）已知数列{an}满足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）证明：数列{

}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．由递推关系求等差数列的通项公式（1）由递推关系式，结合等差数列的定义即可完成证明；解析：

（1）由得故数列{}是等差数列．（2020·陕西省成阳市期末）已知数列{an}满足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）证明：数列{

}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．由递推关系求等差数列的通项公式解析：

（2）由（1）知

所以（2）由（1）及等差数列的通项公式求出

的表达式，即得an．例1（2020·陕西省成阳市期末）已知数列{an}满足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）证明：数列{

}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．由递推关系求等差数列的通项公式名师点评：数列{an}未必是等差数列，但与之相关的数列{

}是等差数列，求出相关等差数列的通项公式，即得{an}的通项公式．例1由递推关系求等差数列的通项公式例2已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n（n∈N*），且a1＝1，求数列{an}的通项公式．解析：将an＋1＝3an＋3n两边同时除以3n＋1，将递推关系式的两边同时除以3n＋1，通过观察发现数列{}为等差数列，求其通项公式后易得数列{an}的通项公式．得即由等差数列的定义知，故an＝n·3n－1．数列{}是以

为首项，为公差的等差数列，所以

名师点评：对于此类递推关系式，常常是将等式两边同时除以某个指数式．由递推关系求等差数列的通项公式例3已知数列{an}满足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1＋an＝4n－3得，an＋an－1＝4n－7（n≥2），将递推关系式中的n替换为n－1，两式相减得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差数列的定义知数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，进而以奇、偶分类求通项公式．两式相减得an＋1－an－1＝4（n≥2）．由等差数列的定义知，数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列．由递推关系求等差数列的通项公式已知数列{an}满足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求数列{an}的通项公式．方法一

由a1＝2及a2＋a1＝1，知a2＝－1，将递推关系式中的n替换为n－1，两式相减得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差数列的定义知数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，进而以奇、偶分类求通项公式．所以当n为奇数时，an＝a1＋（

－1）×4＝2n；当n为偶数时，an＝a2＋（

－1）×4＝2n－5．综上，数列{an}的通项公式为an＝例3由递推关系求等差数列的通项公式已知数列{an}满足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求数列{an}的通项公式．方法二

当n为奇数时，将递推关系式中的n替换为n－1，两式相减得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差数列的定义知数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，进而以奇、偶分类求通项公式．a2k－1＝a1＋4（k－1）⇒当n为偶数时，an＝设n＝2k－1，k∈N*，则k＝

，an＝a1＋4（

－1）＝2n；设n＝2k，k∈N*，则k＝

，a2k＝a2＋4（k－1），a2＝－1⇒an＝2n－5．综上，数列{an}的通项公式为例3名师点评：已知数列中相邻两项的和的递推关系，将n替换为n＋1（或n－1）并将两式相减，建立新的递推关系是解题的突破口．解决本题时要注意，原数列的第n项或是奇数项中的第

项，或是偶数项中的第

项．由递推关系求等差数列的通项公式已知数列{an}满足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求数列{an}的通项公式．将递推关系式中的n替换为n－1，两式相减得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差数列的定义知数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，进而以奇、偶分类求通项公式．例3由递推关系求等差数列的通项公式解题通法将递推数列转化为等差数列的常见形式当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an．将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下：转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列．转化为

＝常数，则数列{}是等差数列．由递推关系求等差数列的通项公式解题通法将递推数列转化为等差数