【课件】等差数列的概念及通项公式第一课时+课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式第四章数列问题引入观察右图上面几组的图案，想一想每一组图案中从第二个图形起，每一个图形比上一个图形增加的点的个数，有什么规律？新知探索等差数列的概念问题1

图中三组图案上面的点的个数可用以下三个数列：(1)1,2,3,4；(2)1,3,5,7；(3)1,4,7,10.它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.新知探索等差数列的概念梳理一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差等于同一个

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.2常数公差新知探索等差数列的概念注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列．新知探索等差中项的概念问题2

下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.新知探索等差中项的概念等差中项新知探索等差数列的通项公式问题3

你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an＋1－an＝d.新知探索等差数列的通项公式问题4你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳可得an＝a1＋(n－1)d.新知探索等差数列的通项公式问题5

还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？

an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，……a3－a2＝d，a2－a1＝d.

一共有个等式，将它们进行累加，有n－1

an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*)新知探索等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*

)新知探索等差数列的通项公式问题6

观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an＝a1＋(n－1)d所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n，

(n∈N*)时的函数值，即an＝f(n).＝dn＋(a1－d)，新知探索等差数列的通项公式问题7等差数列{an}的图象与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)新知探索等差数列的通项公式问题8由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？任给f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b；an＝f(n)＝nk＋b，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

，…an＋1－an

＝[(n＋1)k＋b]－(nk＋b)＝k，n∈N*所以，数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列.新知探索等差数列的通项公式数列{an}是公差不为0的等差数列⇔数列的通项公式an是关于n的一次函数.问题9由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？新知探索等差数列的通项公式问题10可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0时，数列{an}单调递增;d＜0时，数列{an}单调递减.新知探索等差数列的通项公式d＞0时，等差数列{an}单调递增;d＜0时，等差数列{an}单调递减;d＝0时，等差数列{an}为常数列.问题11可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？典例精析题型一：求等差数列的通项公式例1

在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.典例精析题型一：求等差数列的通项公式反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.典例精析题型二：等差数列通项公式的应用例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？解由已知条件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11，所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100，所以－289是该数列中的第100项.典例精析题型二：等差数列通项公式的应用反思与感悟

等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．典例精析题型三：等差中项例3在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.解

∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴该数列为－1,1,3,5,7.典例精析题型三：等差中项

典例精析题型四：等差数列的判断与证明

典例精析题型四：等差数列的判断与证明反思与感悟

等差数列的两个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.典例精析题型五：等差数列通项公式实际应用例5

在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温.解用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.典例精析题型五：等差数列通项公式实际应用反思与感悟

解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．跟踪练习1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为()A.2 B.3 C.－2 D.－3√解析由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.跟踪练习2.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A.52 B.62 C.－62 D.－52√解析公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.跟踪练习3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A.30° B.60° C.90° D.120°√解析

因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.跟踪练习4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是()A.92 B.47C.46 D.45√解析d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.跟踪练习

4跟踪练习6.某公司购置了一台价值为180万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围(精确到0.1)．解析

设使用n年后，这台设备的价值为an万元，