等差数列前n项和公式的推导及简单应用第1课时【知识精讲+高效课堂】高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用

第四章数列问题引入高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.新知探索等差数列的前n项和问题1计算1＋2＋3＋…＋99＋100的值．设an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，…新知探索等差数列的前n项和等差数列中，下标和相等的两项和相等.若数列{an}

是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at.追问1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？

这是巧合吗？试从数列角度给出解释.新知探索等差数列的前n项和追问2：高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？第1层1根第2层2根第n层n根1＋n根1＋n根……因为，n层所以.新知探索等差数列的前n项和追问2：高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

新知探索等差数列的前n项和追问3：倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？因为所以新知探索等差数列的前n项和梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝_________Sn＝_____________新知探索等差数列的前n项和

注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数．典例精析题型一：等差数列基本量的计算例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一由题意知S10＝310，S20＝1220，典例精析题型一：等差数列基本量的计算例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？②－①，得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.典例精析题型一：等差数列基本量的计算反思与感悟

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型三：由Sn与an的关系求an解

根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，典例精析题型三：由Sn与an的关系求an反思与感悟

已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.跟踪练习1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于()A.2300 B.2400 C.2600 D.2500√解析由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，跟踪练习2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A.2 B.3 C.6 D.7√方法二由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.跟踪练习3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.190＝19a10

＝19×10＝190.跟踪练习4.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝_______.3(n＋1)解析由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(