浙江省宁波市镇海区2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷（含解析）

镇海区2023学年第一学期期末质量检测试卷初三数学考生须知：1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上．3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效．试题卷I一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列事件中，属于必然事件的是(

)A．打开电视机，正播放新闻 B．抛一枚硬币正面朝上C．射击运动员射击一次，命中10环 D．我们看到的太阳从东边升起2．若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．3．点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（

）A． B． C． D．4．在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（）．A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的 D．没有变化5．把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象(

)A． B． C． D．6．如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为(

)A． B． C． D．7．如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为(

)A．4 B．5 C．6 D．78．如图，在中，，分别在，边上，，于点，与交于点，若与四边形的面积相等，则的值为(

)A． B． C． D．9．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为(

)A． B．C． D．10．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(

)A． B．或 C．或 D．或试题卷Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分，第16题每空2分）11．五边形的内角和等于度．12．从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为．13．如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为．（结果保留）14．如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为．15．已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为．16．如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为，的值为．三、解答题（第17—19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17．（1）计算：．（2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求线段的长．18．有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个球号码之和为偶数的概率．19．由小正方形组成的的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．(1)作的中线．(2)过作的垂线，垂足为．20．如图，已知二次函数的图象经过点．(1)求的值和图象的顶点坐标．(2)若点在该二次函数图象上．①当时，求的值．②若，请根据图象直接写出的取值范围．21．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上．(1)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）．(2)求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）．22．如图1，在矩形中，对角线，交于点，点在边上，．(1)求证：．(2)如图2，点在线段上，，，求的长．23．根据以下素材，探索完成任务．如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．素材1图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图1素材2图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．图2图3素材3安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．图4问题解决任务1确定喷泉形状．在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．任务2确定喷泉跨度的最小值．若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．任务3设计通道位置及儿童的身高上限．现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？（精确到）24．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点．(1)若，用含的代数式表示．(2)如图2，连结，，若，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长．

参考答案与解析1．D解析：解：、打开电视机，正播放新闻，是随机事件，故选项不符合题意；、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，故选项不符合题意；、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故选项不符合题意；、我们看到的太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意．故选：．2．D解析：解：A.由，可得，不符合题意；B.由，可得，不符合题意；C.由，可得，不符合题意；D.由，可得，符合题意；故选：D．3．A解析：解：点在圆外点到圆的距离大于圆的半径点到圆的距离为6故选：A．4．D解析：∵中，如果每个边都缩小为原来的，∴锐角A的对边与邻边的比值不变，∴锐角A的正切值不变．故选D．5．C解析：解：由题意得：平移后的解析式为：，即：故选：C6．C解析：解：扇形面积为：，故选：C．7．A解析：解：∵三条直线，，互相平行，∴，即，解得．故选：A．8．B解析：解：∵与四边形的面积相等，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故选：B．9．B解析：解：如图，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，∵，∴，∵弦于点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴的长的范围是，故选：．10．C解析：解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：；整理得：，令，二次函数的“优和点”有且仅有一个，与x轴只有一个公共点，第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，，且，解得：，且，；第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，且，解得，综上，的取值范围为或．故选：C11．540解析：解：五边形的内角和．故答案为：540．12．解析：解：拼音“”的六个字母中字母有2个，抽中字母的概率为，故答案为：．13．解析：解：连接，∵，∴，∴的长，故答案为：．14．4解析：，，，，是的中线，，，是的中线，，，，，．15．##解析：解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为，∴当时，有最小值为：，∵，∴当时，的最大值为．故答案为：．16．解析：解：如图，连接，交于点，作，∵矩形，与关于直线对称，∴，，∴，，平分，∴，∵，平分，，，∴，∴，，∴；∵，，∴，设，则：，∵折叠，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴．故答案为：．17．（1）；（2）解析：（1）解：原式；（2）解：线段为线段，的比例中项线段，，．18．（1），图见解析，6种；（2）解析：解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）设两个球号码之和为偶数5事件A，摸出的两个球号码之和为偶数的结果有2种，∴P（A）＝．19．(1)见解析(2)见解析解析：（1）解：如图，即为所求．（2）如图：，点即为所求．20．(1)；(2)①；②解析：（1）把点代入中，，，顶点坐标为；（2）①把代入，可得：，②，对称轴为，．21．(1)(2)解析：（1）解：处离地面，操控者从处观测无人机的仰角为，，，，又，（2）解：延长交于点，则，，，．22．(1)证明见解析(2)解析：（1）证明：在矩形中，，，，，又，，．（2），，，，，，，，，在矩形中，，．23．（1）抛物线的函数表达式为；（2）OB最小值为；（3）能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米解析：任务点坐标为，点坐标为，抛物线的对称轴为直线，抛物线的最高点为3，顶点坐标为设抛物线的函数表达式为过点，解得：，∴抛物线的函数表达式为．任务当喷水管最高可伸长到时，设此时的抛物线的函数表达式为