第16讲变化率与导数、导数的计算（解析版）

第16讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．考点1导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．[典例]1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解】（1）因为，则；（2）因为，则；（3）因为，则；（4）因为，则；（5）因为，故.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由得，当时，，解得，所以，.故选：B[举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A：，故选项A正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C正确；对于D：，故选项D不正确；所以求导运算不正确的是选项D，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由两边同时乘x可得：，又，因此．由，即，可得，∴，∴．故选：C﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A：，故正确；B：，故错误；C：，故错误；D：，故正确.故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=x﹣sincos；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.【解】解：（1）y=x（x2）=x3+1；则函数的导数y′=3x2.（2）y=（1）（1）=1，则y′；（3）y=xtanx，则y′；（4）y=x﹣sinsinx；则y′=1cosx.y′axlna.考点2导数的几何意义[名师点睛]利用导数求切线方程的一般过程已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解：1．若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；2．若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤：(1)设出切点坐标P′(x1，y1)．(2)写出过P′(x1，y1)的切线方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)．(3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1.(4)将x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切线方程．[提示]“在”和“过”的区别：(1)“曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率k＝f′(x0)；(2)“曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线”指点P(x0，y0)只是切线上一点，不一定是切点．[典例]1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】，则曲线在处的切线斜率，∴切线方程为，即．故答案为：．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________【答案】或【解析】点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x0，)，由f(x)＝x2可得，∴切线的斜率.切线方程为.∵切线过点P(－1，0)，∴k＝＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.故答案为：或3．（2022·河南·三模）曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为______．【答案】【解析】由，得，因为，所以，则切点A的横坐标为－1，所以，解得，所以A的坐标为．故答案为：.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为___________.【答案】或【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），则，整理得，解得或，当时，的方程为；当时，的方程为.故答案为：或.[举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，直线的斜率为，由题意可得，解得.故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，，解得：，当时，；当时，，，又为偶函数，，即时，，则，.故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．且【答案】D【解析】作出的图象，由图可知，若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，设切点为，所以，，所以切线斜率为，整理得，即方程在上有两个不同的解，所以，，所以且.故选：D．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是(

)A．若直线l是曲线的切线，则B．若直线l与曲线无公共点，则C．若，则点P到直线l的最短距离为D．若，当点P到直线l的距离最短时，【答案】D【解析】f(x)定义域为(0，＋)，，若直线l是曲线的切线，则，代入得，，故A错误；当t＝－2时，当在点P处的切线平行于直线l时，P到切线直线l的最短距离，则，故D正确；此时，故P为，P到l：的距离为，故C错误；设，令，则，当时，，单调递减，当，，单调递增，∴，又时，；时，，∴若直线l与曲线无公共点，则t＜3，故B错误．故选：D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由可得，设切点坐标为，则，解得，故选A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则，且，所以，，且，所以，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，所以当时，，因为，，即，所以，所以，故故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于有，则上的切线方程为，即，对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，，则，解得，所以，即.对于函数，，则，又，所以，又，所以，.故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由，，则切线的斜率为．所以曲线在点处的切线方程为：，即．因此所求切线的方程为．故答案为：．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.【答案】

0

【解析】由已知，，所以，即，所以．，定义域为，，令，则，时，，所以在上递减，所以时，，所以时，，递增，时，，递减，所以．故答案为：0；．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_________．【答案】【解析】设切点坐标为，因为，所以有因为，所以，所以.故答案为：12．（2022·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.【答案】【解析】由函数，则，设切点的坐标为，则斜率，所以，解得，当时，切点为，此时切线方程为；当，切点为，不满足题意，综上可得，切点为.故答案为：.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______．【答案】【解析