【中考数学精创资料】中考数学复习专题-三角形

中考数学复习专题——三角形一、单选题1．如图，已知直线则（）A． B． C． D．2．依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（）A． B．C． D．3．如图，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，∠CAE=20°，则∠AED的度数为（）A．60° B．90° C．80° D．20°4．直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（）A．10 B．5 C．4 D．35．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．如图，正六边形螺帽的边长是12mm，这个扳手的开口x为（）A． B． C． D．247．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C． D．8．已知，过点作射线、，使、是的平分线，则的度数为（）A． B．或 C．或 D．9．已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（）A．1个 B．2个 C．1或2个 D．无数个10．以下各组线段中，能组成三角形的是（）A．1cm、2cm、4cm B．2cm、3cm、6cmC．4cm、6cm、8cm D．5cm、6cm、12cm二、填空题11．直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为，则.12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是.14．如图，在中，，若，过点A作于点D，在上取一点，使，则.三、解答题15．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.求证：△ADC≌△CEB.16．如图所示，在四边形中，，，，平分交边于点，求的长．17．如图，△ABD、△ACE都是等边三角形．求证：BE=DC．18．如图，在中，，点E是边上一点，，于点D，交于点F，若，，求CF的长.四、综合题19．在等腰△ABC中，底角x为（单位：度），顶角y（单位：度）（1）写出y与x的函数解析式（2）求自变量x的取值范围20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．（1）求证：OB=OA；（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是度．21．下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段求作：一个直角三角形，使线段为斜边．作法：①过A任意作一条射线l；②在射线l上任取两点D，E；③分别以点D，E为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线交射线l于点C．则就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）证明：连接，∵_▲_∴点D在线段的垂直平分线上（）．（填推理的依据）同理可证：点E在线段的垂直平分线上根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．∴．（3）在中，，如果，猜想：与满足的数量关系，并证明．22．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F.（1）求证：BF=EF；（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长.23．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE＝，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】如图，在△中，∵，∵．故答案为：D【分析】如图，在△ABC中，根据外角性质，求出∠4度数，再根据平行线的性质，求出∠3度数即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，

A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；

B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；

C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；

D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.故答案为：D.【分析】由于三角形内心是三角形三条角平分线的交点，故根据尺规作图判断出各个选项中分别作的是什么，从而即可判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】∵△ABC≌△ADE，∴AE=AC，又∠CAE=20°∴∠C==80°，∴∠AED=∠C=80°.故答案为：C.【分析】先根据等腰三角形的性质知∠C的度数，再利用全等三角形的性质得出∠AED=∠C=80°.4．【答案】A【解析】【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为6和8，∴它的斜边长＝＝10．故答案为：A．

【分析】利用勾股定理求出斜边的长即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：∵，，∴，∵平分，∴；故答案为：C.【分析】根据平行线性质可得，再根据角平分线定义可得结果.6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，∵正六边形螺帽的边长是12mm，

∴AB=BC=12mm，∠ABC==120°，

∴AD=CD，∠ABD=60°，

∴AD=AB·sin60°=12×=6，

∴AC=12mm.

故答案为：C.

【分析】连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，根据正六边形的性质得出AB=BC=12mm，∠ABC=120°，再根据等腰三角形的性质得出AD=CD，∠ABD=60°，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而得出AC的长，即可得出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．则：AB，AC．∵S△ABC＝4×52×31×53×4．又∵S△ABCAC×BD，∴BD．∴sinA．故答案为：C．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先利用勾股定理求出AB、AC，再利用割补法求出△ABC的面积，再利用三角形的面积=底×高求出BD的长，由sinA计算即得结论.8．【答案】B【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图所示：∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，∴∠BOC＝100°﹣20°＝80°，又∵OM是∠BOC的平分线，∴∠BOM＝＝40°；当OC在∠AOB的外部时，如图所示：∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，∴∠BOC＝100°+20°＝120°，又∵OM是∠BOC的平分线，∴∠BOM＝＝60°；综合所述∠BOM的度数有两个，为60°或40°；故答案为：B．

【分析】分两种情况：当OC在∠AOB的内部时，当OC在∠AOB的外部时，分类讨论即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，且OQ＝QO，∠OEQ＝∠OFQ＝90°，∴△OEQ≌△OFQ（AAS）∴EQ＝QF，若点M与点E重合，则点N与点F重合，此时满足条件的点N的个数为1个，若点M与点E不重合，则以Q为圆心，MQ为半径作圆，与OB有两个交点N，N'，此时满足条件的点N的个数为2个，故答案为：C．【分析】先求出∠AOP＝∠BOP，且OQ＝QO，∠OEQ＝∠OFQ＝90°，再利用AAS证明△OEQ≌△OFQ，最后计算求解即可。10．【答案】C【解析】【解答】A、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C、6+4＞8，能组成三角形，故此选项符合题意；D、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项不符合题意；故答案为：C．

【分析】根据三角形三边关系定理即可得出答案。11．【答案】289【解析】【解答】根据勾股定理得：斜边的平方=x2=82+152=289.故答案为：289.

【分析】考查直角三角形勾股定理的使用.12．【答案】3【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，即AD⊥BA，∴DE=AD，∵在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD==3，∴DE=AD=3，∴点D到BC的距离是3．故答案为：3．【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质定理得出DE=AD，在Rt△ABD中由勾股定理得出AD的长即可。13．【答案】【解析】【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∵AN=NC=AC=，∴BN=AC=∵点M是CD的中点，∴DM=MC，∴MN=AD=1∴BM≤BN＋NM，∴BM≤+1=，即BM的最大值是.故答案为：.

【分析】取AC的中点N，连接MN，BN，利用勾股定理求出AC的长；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BN的长，再利用三角形的中位线定理求出MN的长，然后利用三角形的三边关系定理，可求出BM的最大值.14．【答案】20°【解析】【解答】解：在中，，，∴，∵，∴，∴，∴.故答案为：20°.

【分析】由三角形的内角和求出∠C的度数，由线段垂直平分线的性质可得AB=AB'，利用等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可求解.15．【答案】解：∵∠DAC+∠DCA＝∠ECB+∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）.【解析】【分析】先证明，根据证.16．【答案】解：，．平分，．，．．【解析】【分析】根据，平分得到，进而得到，问题得解．17．【答案】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC．【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，根据等式的性质得出∠DAC＝∠BAE，然后利用SAS判断出△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出BE=DC。18．【答案】解：如图，过点A作于点G，过点F作于点H，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，∠AGB=∠BHF=90°∠BAG=∠FBH，，，，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，，，为等腰直角三角形，，.【解析】【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BAG=∠EAG，BG=GE，由同角的余角相等可得∠BAG=∠EAG=∠EBD，易得∠CAG=45°，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BAC=∠AFB，推出AB=BF，利用AAS证明△ABG≌△BFH，得到BG=FH，由线段的和差关系可得AB=AE=5，利用勾股定理可得BD、BE，然后求出BG、FH，推出△FHC为等腰直角三角形，则FH=CH，再利用勾股定理进行计算.19．【答案】（1）解：等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可以知道y=180-2x（2）解：顶角y满足0°<y<180°，故0°<(180-2x)°<180°，解之得0°＜x＜90°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和为180°可得y=180-2x；（2）根据0°<180-2x<180°可求解。20．【答案】（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD与△BAE中，，∴△ABD≌△BAE（SAS），∴∠DBA=∠EAB，∴OB=OA；（2）22.5【解析】【解答】（2）由（1）得：OB=OA，在△OBC与△OAC中，，∴△OBC≌△OAC（SSS），∴∠OCB=∠OCA=∠ACB=×90°=45°，∵AC=BC，AC=OC，∴OC=BC，∴∠CBO=∠COB，在Rt△BCD中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．

【分析】（1）先利用“SAS”证明△ABD≌△BAE可得∠DBA=∠EAB，再利用等角对等边的性质可得OB=OA；

（2）先利用“SSS”证明△OBC≌△OAC可得∠OCB=∠OCA=∠ACB=×90°=45°，再结合OC=BC，可得∠CBO=∠COB，最后利用三角形的内角和公式可得∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°。21．【答案】（1）解：如下图所示：（2）证明：连接，∵∴点D在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．同理可证：点E在线段的垂直平分线上根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．∴，（3）BC=2AB【解析】【解答】解：（3），证明如下：连接，如下图：由（2）可得，，，可得为等腰三角形，即AC平分，又∵，∴，∴为等边三角形，∴．

【分析】（1）根据要求作出图象即可；

（2）利用垂直平分线的判定方法和性质求解即可；

（3）连接AP，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，∴∠E=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠E=∠CBE，∴CB=CE，∵CF⊥BE，∴BF=EF.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵DE=3，∴BC=CE=9，∴平行四边形ABCD的周长为30.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CE，根据平行线的性质可得∠E=∠ABE，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，推出∠E=∠CBE，根据等角对等边得CB=CE，然后根据等腰三角形的三线合一进行证明；

（2）根据平行四边形的性质可得AB=CD=6，则BC=CE=9，据此不难求出平行四边形ABCD的周长.23．【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG（2）解：结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）解：如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，∴ME＝MD＝DE＝1，在Rt△AMD中，MD＝1，AD＝3，∴AM＝＝＝2，∴AE＝AM+ME＝2+1；如图3﹣2，当点E旋转到线