六校高一年级第二次联考数学试卷（含答案）

第第页2022-2023学年第二学期六校联合体第二次联合调研高一数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1，－1)，则2eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A．(－5，－7) B．(－5，7) C．(5，7) D．(5，－7)2．若i(z－1)＝1，i是虚数单位，eq\o(\s\up11(_),z)是z的共轭复数，则eq\o(\s\up11(_),z)＋z＝()A．2 B．1 C．－1 D．－23．下列说法中正确的是()A．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．B．若直线l上有无数个点不在平面α内，则直线l与平面α平行．C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．D．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．4．已知角α，β满足tanα＝－2，tan(α＋β)＝1，则tanβ＝()A．－eq\f(1,3) B．1 C．－3 D．35．已知m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是()A．m

⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β

C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β6．已知sinθ＋sin(θ＋eq\f(π,3))＝eq\r(3)，则sin(θ＋eq\f(π,6))＝()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(3),2)7．如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点(其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面)．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45º以及∠MAC＝75º，从C点测得∠MCA＝60º．已知C处距地面10m，则旗杆高MN＝()(第7题图)A．12mB．15mC．16(第7题图)8．在△ABC中，点P是AB上一点，点Q满足eq\o(CQ,\s\up8(→))＝2eq\o(QB,\s\up8(→))，AQ与CP的交点为M．有下列四个命题：甲：eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))

乙：eq\o(CM,\s\up8(→))＝4eq\o(MP,\s\up8(→))丙：S△AMP：S△ACP＝1：5

丁：3eq\o(AM,\s\up8(→))＝2eq\o(MQ,\s\up8(→))如果只有一个是假命题，则该命题为()A．甲B．乙C．丙D．丁二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．已知复数z，z1，z2，eq\o(\s\up11(_),z)是z的共轭复数，则下列说法正确的是()A．z·eq\o(\s\up11(_),z)＝|z|2B．若|z|＝1，则z＝±1C．|z1·z2|＝|z1|·|z2|D．若|z－1|＝1，则|z＋1|的最小值为110．若向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，则下列说法正确的是()A．若a⊥b，则λ＝－2 B．若a∥b，则λ＝eq\f(1,2)C．当λ∈(－2，＋∞)时，a，b的夹角为锐角D．当λ＝1时，a在b上的投影向量为eq\f(3,2)b11．已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝eq\r(7)，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是()A．△ABC的面积为3eq\r(3)B．AE＝eq\f(eq\r(13),2)C．BD＝eq\f(6eq\r(3),5)D．eq\f(AD,CD)＝eq\f(3,2)12．已知正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2eq\r(2)，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是()A．直线EF∥平面APDB．异面直线EF、PD所成角的大小为eq\f(π,3)C．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为eq\f(eq\r(6),6)

D．存在点M使得PB⊥平面MEF三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13．sin21°cos81°－sin69°cos9°＝▲．14．在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝▲．15．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过直线A1C作与平面PBC1平行的截面，则该截面的面积为▲．(第15题图)(第16题图)16．天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球O，半径为R，两个观察者在地球上A，B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是α和β(MA，MB表示当地的地平线)，由平面几何相关知识，∠MAB＝∠MBA＝eq\f(1,2)∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，设AB弧长为eq\f(πR,2)，α＝eq\f(π,12)，β＝eq\f(π,6)，则流星高度为▲．(流星高度为SO减去地球半径，结果用R表示)四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本题满分10分)已知z是复数，z－i为实数，eq\f(z－3i,－2－i)为纯虚数(i为虚数单位)．(1)求复数z；(2)复数z1＝eq\f(z,m＋i2023)在复平面对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．18．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(2a－b)·(a＋3b)＝－5．(1)若(a－kb)⊥(ka＋b)，求实数k的值；(2)求a与2a＋b的夹角．19．(本题满分12分)已知f(x)＝4cosx·sin(x＋eq\f(π,6))―1(1)求f(x)的周期；(2)若f(α)＝eq\f(6,5)，其中α∈(0，eq\f(π,4))，求cos2α．20．(本题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PC＝eq\f(\r(3),2)，求PA的长；(2)若∠APB＝120°，求PA的长．21．(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB＝1，PA＝eq\r(2)，∠ABC＝60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E－AB－C的平面角的正弦值．22．(本题满分12分)如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且3eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，点Q为线段AP上一点．(1)若eq\o(AQ,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,15)eq\o(BC,\s\up8(→))，求实数λ的值；(2)求eq\o(QA,\s\up8(→))·eq\o(QC,\s\up8(→))的最小值；(3)求△QPC周长的取值范围．第=page33页，共=sectionpages44页2022-2023学年第二学期六校联合体第二次联合调研高一数学参考答案一选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.C2.A3.A4.C5.D6.B7.B8.D二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.ACD10.ABD11.BC12.AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13.－eq\f(eq\r(3),2)14.－315.8eq\r(6)16.(eq\r(4＋eq\r(3))－1)R四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本题满分10分)解：(1)设复数z＝a＋bi，z－i＝a＋(b－1)i是实数，b＝1，则z＝a＋i，………………1分eq\f(z－3i,－2－i)＝eq\f(a－2i,－2－i)＝eq\f(2－2a＋(a＋4)i,5)，………………3分eq\f(z－3i,－2－i)为纯虚数，2－2a＝0且a＋4≠0，解得a＝1，z＝1＋i………………5分由(1)知，z1＝eq\f(z,m＋i2023)＝eq\f(1＋i,m－i)＝eq\f(m－1,m2＋1)＋eq\f(m＋1,m2＋1)i………………7分z1在复平面上对应的点为(eq\f(m－1,m2＋1)，eq\f(m＋1,m2＋1))，z1在复平面上对应的点在第二象限，eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(m－1,m2＋1)＜0，,eq\f(m＋1,m2＋1)＞0．))………………………9分－1＜m＜1，即实数m的取值范围为(－1，1)…………………10分18．(本题满分12分)解：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝－5解得a·b＝1…………3分(1)(a－kb)·(ka＋b)＝ka2－(k2－1)a·b－kb2＝－k2－3k＋1＝0………5分k＝eq\f(－3±eq\r(13),2)…………………………6分(2)a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝3，(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2QUOTE3eq\r(3)…9分………………11分，……………………12分19．(本题满分12分)(1)f(x)＝4cosx(QUOTE32eq\f(eq\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝2QUOTE3eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1………2分＝QUOTE3QUOTE3eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))………………………4分T＝π………………5分(2)f(α)＝2sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(6,5)QUOTE∴∴sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)由QUOTE00＜α＜eq\f(π,4)得eq\f(π,6)＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)，由sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)＜QUOTE32eq\f(eq\r(3),2)得0＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)……………7分cos(2α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2(2α＋eq\f(π,6)))＝eq\f(4,5)…………………9分所以cos2α＝cos[(2α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,6)]＝cos(2α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(2α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝QUOTE32eq\f(3＋4eq\r(3),10)……12分20．(本题满分12分)解(1)由已知得，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30o，PB＝EQ\F(1,2)…………2分在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋EQ\F(1,4)－2×EQ\r(,3)×EQ\F(1,2)cos30°＝EQ\F(7,4)，∴PA＝EQ\F(EQ\r(,7),2)；…………………5分（2）设∠PBA＝α，由已知得，PB＝sinα，…………………7分在△PBA中，由正弦定理得，EQ\F(EQ\r(,3),sin120°)＝EQ\F(sinα,sin(60°－α))＝EQ\F(PA,sinα)化简得，EQ\r(,3)sinα＝2cosα，………10分又由cos2α＋sin2α＝1,0＜α＜eq\f(π,2)，得sinα＝eq\f(eq\r(21),7)所以PA＝eq\f(2eq\r(21),7)……………………12分21．(本题满分12分)(1)证明：设AC与BD交于点O，连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO∥PA……………2分又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又EO∥PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD＝O，所以EO⊥底面ABCD，……………4分又AC平面ABCD，所以EO⊥AC，

又四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

又因为EO∩BD＝O，EO，BD平面BED，所以AC⊥平面BED；…………6分

(2)过O作OF⊥AB于F，连接EF，

OE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以OE⊥AB，又EO∩FO＝O，EO、FO都在平面EOF内，所以AB⊥平面EOF，又EF平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO为二面角E-AB-C的平面角，……9分

由EO＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(eq\r(2),2)，△ABC是边长为1的等边三角形，即FO＝eq\f(1,2)sin600＝eq\f(eq\r(3),4)，

在直角三角形EOF中，EF＝eq\f(eq\r(11),4)，即cos∠EFO＝eq\f(FO,EF)＝eq\f(eq\r(33),11)，sin∠EF