2023-2023年全国高中数学联赛试题及答案

PAGEPAGE12023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空〔共8小题，每题7分，共56分〕假设函数且，那么．，……．故．直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，那么点横坐标范围为．设，那么圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，那么和的公共面积是函数．由题意知使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．设．显然单调递减，那么由的最大值，可得．椭圆上任意两点，，假设，那么乘积的最小值为．设，．由，在椭圆上，有①②得．于是当时，到达最小值．假设方程仅有一个实根，那么的取值范围是．或当且仅当 ① ② ③对③由求根公式得，④或．(ⅰ)当时，由③得所以，同为负根．又由④知所以原方程有一个解．(ⅱ)当时，原方程有一个解．(ⅲ)当时，由③得所以，同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得或为所求．一个由假设干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，那么最后一行的数是〔可以用指数表示〕易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，那么……故．某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，那么它候车时间的数学期望为〔精确到分〕．27旅客候车的分布列为候车时间〔分〕1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题〔本小题总分值14分〕设直线〔其中，为整数〕与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，假设存在，指出这样的直线有多少条？假设不存在，请说明理由．由消去化简整理得设，，那么①………………4分由消去化简整理得设，，那么②………………8分因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．………14分〔本小题15分〕，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，(Ⅰ)求数列的通项公式〔用，表示〕；(Ⅱ)假设，，求的前项和．方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，整理得令，那么．所以是公比为的等比数列．数列的首项为：．所以，即．所以．①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为；……………5分②当时，，．整理得，．所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．………………10分(Ⅱ)假设，，那么，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以．……………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，．特征方程的两个根为，．①当时，通项由，得解得．故．……………………5分②当时，通项．由，得解得，．故．…………10分(Ⅱ)同方法一．〔本小题总分值15分〕求函数的最大和最小值．函数的定义域为.因为当时等号成立．故的最小值为．……………5分又由柯西不等式得所以．………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………15分2023年全国高中数学联赛一试一、填空题〔每题8分，共64分，〕函数的值域是.函数的最小值为，那么实数的取值范围是.双曲线的右半支与直线围成的区域内部〔不含边界〕整点〔纵横坐标均为整数的点〕的个数是.是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，那么.函数在区间上的最大值为8，那么它在这个区间上的最小值是.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否那么轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,那么.方程满足的正整数解〔x,y,z〕的个数是.二、解答题〔此题总分值56分〕9.〔16分〕函数，当时，，试求的最大值.10.〔20分〕抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.〔20分〕证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.提示：令，那么原函数化为，即.由，，及知即.〔1〕当时〔1〕总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，那么线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，那么〔1〕，〔2〕〔1〕代入〔2〕得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.5.提示：令那么原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，那么，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，那么由此可设，所以，即.所以.解法二：如图，.设与交于点那么.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,那么为二面角的平面角.设,那么易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：〔1〕均相等的正整数解的个数显然为1；〔2〕中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一：由得.所以，所以.又易知当〔为常数〕满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，那么当时，.设，那么..容易知道当时，.从而当时，，即，从而,，由知.又易知当〔为常数〕满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，那么，.线段的垂直平分线的方程是.〔1〕易知是〔1〕的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由〔1〕知直线的方程为，即.〔2〕〔2〕代入得，即.〔3〕依题意，是方程〔3〕的两个实根，且，所以,..定点到线段的距离..当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.设，那么的绝对值,,所以,当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.11.令，那么，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，.故数列是满足题设要求的数列.假设存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，那么，，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2023年全国高中数学联合竞赛一试试题〔A卷〕考试时间：2011年10月16日8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合，假设中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，那么集合．2．函数的值域为．3．设为正实数，，，那么．4．如果，，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，那么满足上述要求的不同安排方案数为．〔用数字作答〕6．在四面体中，，，，那么四面体的外接球的半径为．7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，那么点的坐标为．8．C，那么数列中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．〔本小题总分值16分〕设函数，实数满足，，求的值．10．〔本小题总分值20分〕数列满足：R且，N．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设，试比拟与的大小．yxOPAB11．〔本小题总分值20分〕作斜率为的直线与椭圆：交于两点〔如下图〕，且在直线的左上方．yxOPAB〔1〕证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；〔2〕假设，求△的面积．2023年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共８小题，每题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．设是函数〔〕的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，那么的值是．解:方法1:设那么直线的方程为即由又所以故设的内角的对边分别为，且满足，那么的值是.解:由题设及余弦定理得,即故.３．设，那么的最大值是.解:不妨设那么因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，那么的最大值是.解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．假设正三棱锥的侧面与底面所成的角为，那么正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结,那么平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,那么为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,那么,从而,因为所以即所以,故6.设是定义在上的奇函数，且当时，．假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是．解:由题设知,那么因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是７．满足的所有正整数的和是．解:由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．〔用最简分数表示〕解:用表示第周用种密码的概率,那么第周末用种密码的概率为.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等