2023年考研数学真题及解析

2023年考研数学〔一〕真题一、选择题：1~8432分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。x0时，以下无穷小量中最高阶是〔〕 0

et21dt

xln(10

t3)dt.sinxsint2dt .cos

sint3dt0D

xt

1)dt

xt

01)dt 1 1【解析(A)lim 0x0+ x3

lim 0x0+

可知x0x(et21dt~ x3，3x2 3 0 3xln(1 t3)dt

2 x 2 5lim 0

lim ，可知 ln(1 t3)dt~ x2，x0x0+

5ln(1 x3ln(1 x3)inxsint2

x0+ 2 3 5 0 5x2x5lim 0

limsin(sin2x)cosxlimcosx1

，可知

1sint2dt~ x3，x0+x0

x31cosx

x0+10 2sint3dt10 2

3x2

x0+ 3 3 0 3sin3sin3(1cosx)sinx(1cosx)3sinxlim 0

lim x0+1cosx

x5 x0+ 5x41

5x410 2 sint3dt~10 20

x5，x0通过比照，cosx0

sint3dt的阶数最高，应选(D)fx在区间1,1内有定义，且limfx0，则〔〕x0x当limfx0fxx0处可导.xx0x2当x2x0

fx0fxx0处可导.x.fxx0limfx0x.x0x2.fxx0limfxx2.x0【答案】C 【解析】当f(x)在x0处可导时，由f(0)limfx0，且xx0xf(0)lim

f(x)f(0)

f(x)，也即lim

f(x)存在，从而lim

fx0，应选Cx0

x0 x

x0 x

x0nx,ynx,y,fx,yx2y2

n

f , ,1 d在点 处可微，

， x

非零向量与nxnx,y,fx,yx2y2

0,0A. limdx,y,fdx,y,fx,yx2y2

0存在.

limdx,y,fdx,y,fx,yx2y2

0存在.limC.x,y0,0

0存在.

limy0,0

0.Afxy在点0,0f0,00，x2y2f(x,y)f(0,0)f(0,0)xx2y2limx0y0

x yx2y2f(x,y)f(0,0)xx2y2

0，limx0y0

x y 0由于nx,y,fx,y=f

(0,0)xf(0,0)yf(xy)，所以nnx,y,fx,yx2y2limx,y0,0设R为幂级数n1

0存在arnr是实数，则〔〕n.n1

arn发散时，rR. . nn1

arnrR.n.rR时，n1

arn发散. . rR时，nn1

arn发散.nA【解析】R为n1

arn的收敛半径，所以nn1

arn在(,R)必收敛，所以nn1

arn发散n时，rR.应选AA经初等列变换化成B，则〔A.PPAB.〕B.PBPA.C.PPBA.D.Ax0Bx0同解.【答案】BA经过初等列变换化成BPAP

B,P1P，得出ABP,应选Bxa直线L: 21 a1

yb 2c2 b c1 1

1xa与直线L: 32 a2

1 1yb 2c3 b c2 2

相交于a ii一点，法向量ii

bi1,2,3.则ciA.a1

可由aa2

线性表示. B. a2

可由aa1

线性表示.

可由aa

线性表示. D. a,a,a

线性无关.3 1 2 1 2 3【答案】C

x a axa

yb

2c

1

+t【解析】令L: 2a

2 b c

t，即有y

tb=21 2

2 1 2 111 1 1x a a

z

c

2=

+t

L方程得y

tb

，两条线相交，得 +t +t2 z

3 2 3 2

2 1 3 232 c c 32即+t2 t2

t3

(1t)2

，应选C3ABC为三个随机大事，且PAPBPC1PAB0，4PACPBC1ABC中恰有一个大事发生的概率为123 2 1 5A. . B. . C. . D. .4 3 2 12DPABC)PABUC)PA)PA(BUC))P(A)P(AB)P(AC)P(ABC)101014 12 6P(BAC)P(BAUC)P(B)P(B(AUC))P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)101014 12 6P(CAB)P(CAUB)P(B)P(C(AUB))P(C)P(CB)P(CA)P(ABC)

11

1014 12 12 12PABCPABCPABC)

1115xx1 2

, ,xn

6 6 12 12X的简洁随机样本，其中PX0PX11，2x

表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得

P100Xii1

B. 1. 0,2. BEX

1，DX

1,依据中心极限定理100

~N(50,25)2 4 i ,i1100

100i125i125

i

5550P

X55=i

(1)2525i1 二、填空题：9~14224分.请将解答写在答题纸指定位置上. 1 1 9. lim 9. ex

.x0【答案】-1

1 ln1x 1

ln1xex1 ln1xex1【解析】limx

lim x limx0e1

ln1x x0(e1)ln1x1 1

x0 x2ln1xex1

x x21x x212 2=lim lim 1x0 x2 x0 x2.设 x

t21

，则 .d2ydx2ylnt td2ydx22【答案】2

t1dy【解析】

1dydtdxdt1tdydtdxdt1t2dx t ttt21ddy ddy 1 t21t21 t21t21

dx

dtdt =dx2 dx dt dx t2 t t3d2ydxd2ydx2210

.f(x)dx .【答案】nam2a101 2

a, 1 2

1f(x)dxf(x)af(x)dxf(x)af(x)nam0f

0

xyext

2dt，则

02fxy2fxy【答案】4ef

02 2f

1,1【解析】

ex(xy)

x， ex(xy)2

x3x3ex3y

ex3y2，

4ey yx

1,122fxy0行列式

0 1 1a 1 1 .1 1 a 01 1 0 a【答案】a44a2【解析】a 0 1 1

1 1 0 a

1 1 0 a

1 1 0 a11a11a011a00 0aa0011110aa0110 a11a20022a2

10 a

1 1

0 a 1

1 a0 a 1 11 1 0 a=a0 a 10 0 1

1 a(a)(4a2)a44a210 0 2 2a21x服从区间

,上的均匀分布，YsinX，则CovX,Y . 2 22【答案】

1

x【解析】f(x) 2 22220 其他2222CovX,YEXYEXEY= 2

xsinxdx

1x

1sinxdx

1xsinxdx22

2

2

234分..解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔10分〕fxyx38y3xy的极值.【答案】 1216f【解析】令ff

3x2y0

x1x0 6得出 或 24y2x0

y0 y1y2f6xA,2f 1B,2f

1248yCx2 xy y2x0,y0ACB20

,y 时, A1,B1,C4,ACB201 6 121 1 1 13 13 1 1所以f( , ) 8 6 612 6 12 12 216〔10分〕4xy xyI

dx

dyLx2y2

2，方向为逆时针L4x2y2 4x2y方向.【答案】P

4xy

,Q

xy Q，且

P

4x2y28xy4x2y2

4x2y

x y (4x2y2)2L1

4x2y2

2，则I

4xy

xy

4xy

xy

dy

4xy

xydyL4x2y2

4x2y

LL

4x2y2

4x2y

L4x2y2

4x2y1 14xy=

dx

xy

1dy=

(4xy)dx(xy)dy2

dxdy

21L4x2y2 4x2y 2 L11

2 2 2D2n 〔10分〕2n 设数列

满足a

n

n1a

，证明：当x1时幂级数

axn收n 1敛，并求其和函数.

n+1

nn1【解析】依据n1a

n1a =lim2 n n2

lim 1an1aan1ann12n1R

1=1，所以当x1时幂级数n1

axn收敛。n令s(x)

axn，s(x)n

naxn1n

(n1)a

xnn1

a1

(n1)a

xnn1

1

(n1)axn2 nn1 n1 n0 n1 n111naxn1axn1xnaxn1 s(x)1n 2 nn1 n1

n 2n1s(x)1xs(x1s(x整理为(1x)s(x1s(x)1，即2 2s(x)1 1

s(x)

1 s(x)2

c ，依据s(0)2，得出2(1x) (1x)1x1xs(x)1x1x〔10分〕x2y2设x2y2

1x2y24

x

是连续函数，计算Ixfxy2xydydzyfxy2yxdzdxzfxyzdxdy.【答案】

3Zx

x ,Z yx2x2y2x2y2Ixfxy2xydydzyfxy2yxdzdxzfxyz

xy

2xy(Z

xy

2yx(Z

)zf

xy

zdxdyx yDxyx2yx2y2

x2y2

xy2

fxy x2y2dxdyDxy2 2

14x2y2dxdy dr2dr0 1 3Dxy 〔10 fx，x0,2证明存在,2fM〔假设对任意的x,2，fxM，M0.1〕由Mmaxfx，假设fc)Mx0,2假设c[0,1]，则在[0,cf(f(cf(0)

f(c)

MMc0 c cf(2)f(c)2c假设c[1,2]则在[,2]f(2)f(c)2c综上所述，存在0,2，使得fM

Mf(c)2cM2c)假设M0，则ff(c)2cM2c

f(xdxc

f(x)dxcMdxMc0 0 0f(2)f(c)

f(xdx2

f(x)dx2MdxM(2c)c c c则2MMcM(2c)2M，假设不成立，所以M0.〔11分〕

yf

x2

4xx

4x2经正交变换

1Q

1化为二次型21 2 2

12

x y2gy,yay24yy by2，其中ab.21 2 1 1 2 2求ab的值；(2)求正交矩阵Q.a4【答案】(1) ,b 1

1 2【解析】(1)fxTAx，其中A2 4,经过正交变换xQy， a 2f(Qy)TA(Qy)yT(QTAQ)yyTBy,其中B2 b，其中BQTAQ， tr(A)tr(B) a4AB相像且合同，故

，得出b 1P1AP

,P1BP

,则(PP1A(PP1)B，所以QPP11 1 2 2 12 12 12EA1 2 ，得出0,52 4 1 21 2 1 2 2(0EA)

2 40 0

，故 1 1 (5EA)4 22 1，故 1 ，故P2 1 2 1 0 0 2 2 1 1 24 2 2 1 1 (0EB)2 10 0，故1

2 1 2 1 2 2 1 2(5EB)2 4

0 0

，故 1，故P2 1故QPP112

453 5

345

2 2 〔11分〕A的特征向量.P为可逆矩阵；是否相像于对角矩阵.)所以r(P)2P为可逆矩阵。(2)A2A60，即A2A6E)0，是非零向量，所以(A2A6E)x0有非零解，故A2A6E0，即(A3E)(A2E)0得(A3E)0或A2E)0A3E)0A2E)0A2，与题意冲突，故A3E0，同理可得A2E0，特征值为3,2，所以可以对角化。〔11分〕X,X,X1 2 3

XX1 2

均听从标准正态分布，X3

的概率分布3

3

11，YXX2 3

.3 2求二维随机变量X

,Y的分布函数，结果用标准正态分布函数x表示.1证明随机变量Y听从标准正态分布.1(x)[1(y)],xy2【答案】(1)12

(y)[1(x)],xyF(x,y)P{X1

x,Yy}P{X1

x,XX3

1XX3

y}PX3